核心素养下数学“课堂小结”的探索

牛星惠

【摘 要】 当前，由于部分教师对“课堂小结”的功能、特点与价值等认识不足，用法不当，严重影响了对学生数学核心素养的培养.为此，我们有必要了解“课堂小结”的功能与特点、教育价值与教学艺术.“小结”的功能不仅在于“四基”的梳理与建构，更在于知识获取能力群、实践操作能力群、思维认知能力群（关键能力群）的发展与提高.其特点具有目的指向性与操作系列性;问题情境性与应用普适性;认知内省性与建构性.其教育价值在于服务立德树人根本任务、提高学科素养、发展关键能力、掌握必备知识.其教学艺术主要表现为设计的艺术、学生“课堂小结”的能力培养艺术、课堂操作艺术与教学评价艺术

【关键词】 数学核心素养;数学教学;课堂小结

“课堂小结”是数学课堂教学的重要环节，由于它能帮助学生及时梳理知识，建构认知结构，促使学生深刻理解知识技能的形成过程，及时总结活动经验，认真体会基本思想，无疑对学生未来的学习和发展具有十分重要的意义.可是，日常教学中，个别教师对此环节往往重视不够，理解不透，用法不当，特别是在课堂教学的最后阶段，有的以“你学到了哪些知识”提问，在学生回答后便结束此环节，须知知识的回顾应该包括过程，而不仅仅是知识点的罗列;有的提出：“你学到了哪些数学思想？”岂不知，脱离具体内容的数学思想方法是没有力量的;有的老师在课堂小结中出示教学目标：通过本课的学习，需要我们理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因，会辨别整式方程和分式方程;掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程……凡此种种，从发展学生数学核心素养的角度来说，往往会导致“基础知识”零散，“基本技能”肤浅，“基本数学思想”隐晦，“基本活动经验”杂乱，“四基”没有得到有效的建构，学生的“知识获取能力群、实践操作能力群、思维认知能力群（关键能力群）”[1]没有得到有效整合，以至于很难实现能力的正迁移.那么在數学核心素养的背景下，“课堂小结”在课堂教学中有何功能与特点？其教育价值是什么？有何教育艺术？这是一个关系到能否真正落实数学核心素养的重要问题.1 “课堂小结”的功能

“课堂小结”往往是由“小结”与“反思”两个子环节构成，“小结”的功能重在梳理知识、技能、数学思想方法、数学活动经验，“反思”的功能重在帮助学生建构完整的认知结构，体会数学的核心价值，提高学科素养，发展关键能力.“小结”是“反思”的前提，“反思”是“小结”的深化与发展.由于这两个子环节的功能不同，所以，这两个子环节有时可以独立存在

例如，在“反比例函数概念”的教学中，教师可以先出示3或4个蕴含反比例函数关系的实例（既有现实情境，也有数学情境和科学情境），在学生从实际问题抽象出具体的反比函数解析式后，教师引领学生“小结”

1.上述几个函数表达式有什么共同特征？你能用一个一般形式来表示它们吗？

2.类比一次函数的概念，你能给上述函数下一个恰当的定义吗？

评析：这里，“小结”的功能是运用抽象与联想、归纳与概括等思维方法来组织、调动相关的知识与能力，建构概念

待学生答出上述问题后，出示下面的问题

反思：1.反比例函数y=k/x（k≠0）是整式函数吗？自变量x的取值范围是什么？

2.反比例函数y=k/x（k≠0）还可以写成什么形式？

3.举例说明什么是反比例函数，什么不是反比例函数

评析：在布鲁姆的分类法里，把理解层级分为四个亚类——解释、转换、举例和定义.“解释”是指学生识别和理解信息中的关键词、思想、方法或并列概念之间相互关系的能力;“转换”是指在保持原意的基础上，换一种表述方式;“举例”是对抽象概念的具体描述;“定义”要求学生用自己的语言来描述一个术语或者一个概念，而不是完全照着课本上的描述复述.显然，问题1是帮助学生建构反比例函数与整式函数的区别，是从概念的外延上认识反比例函数，是一种对概念的解释（外延上）;问题2是从转换的角度理解概念;问题3是从举例的角度理解概念.这里“反思”的功能重在帮助学生运用辩证的、审美的、系统的思维方式，对概念从多元性、关联性、动态平衡性、开放性等方面把握概念的本质，发展学生独立性、批判性、发散性思考

在课堂教学最后的“小结与反思”中，我们可以提出下面的问题：

1.反比例函数的概念是什么？它是如何生成的？

2.反比例函数的概念与函数概念、一次函数的概念和二次函数的概念有何区别与联系？

3.在反比例函数概念生成的过程中，蕴含了建模思想，对此，你有怎样的思维经验？

4.根据你研究一次函数与二次函数的经验，你认为我们接着要怎样开展反比例函数学习？

5.运用你学习一次函数与二次函数的经验，画出反比例函数y=6/x的图象，并写出它的性质

评析：问题1的设计是帮助学生积累数学基础知识，提高“从数学的角度发现和提出问题”的能力;问题2的设计是帮助学生将概念纳入概念系统，建立概念之间的关联，有助于学生在需要时将知识顺利提取;问题3明晰了概念生成过程中蕴含的数学思想，积累抽象与建模的基本经验，使缄默的数学思想变成学生思维的指南;问题4是引导学生反思研究一次函数与二次函数的经验，开启反比例函数研究的大门，明晰研究函数的路径与方法;问题5是运用自己学习一次函数与二次函数的经验，独立自主地开展反比例函数研究，5个小问题环环相扣，层层递进，共同组成“课堂小结”问题链

由此可见，最后的“课堂小结”有助于帮助学生形成科学的世界观和方法论（相信科学，尊重事实，坚持唯物辩证法，坚持用联系、发展、矛盾的观点观察和分析问题，透过现象看本质.坚持理论联系实际，在实践中检验真理、修正错误）;有利于学生进入高中阶段，在面临生活实践或探索问题情境时，能够在正确的价值观念指导下，合理运用科学的思维方法，有效整合数学相关知识，运用数学相关能力，高质量地认识问题、分析和解决问题;有利于发展学生的数学关键能力群——知识获取能力群、实践操作能力群、思维认知能力群（“知识获取能力”主要包括：语言解码能力、符号理解能力、阅读理解能力、信息搜索能力、信息整理能力等;“实践操作能力”主要包括：实验设计能力、数据处理能力、信息转化能力、动手操作能力、语言表达能力等;“思维认知能力”主要包括：形象思维能力、抽象思维能力、归纳概括能力、演绎推理能力、批判性思维能力、辩证思维能力等）;有利于学生掌握未来学习和生活必备的数学知识

这就要求教师在设计“课堂小结”时，要坚持唯物辩证法，坚持用联系、发展、矛盾的观点观察和分析问题，站在国家课程和发展学生数学核心素养，坚持立德树人、服务未来、培养人才的国家战略高度设计问题，培养出一批具有奋斗精神，勇于担当、热爱生命、不畏艰难、勇于创新，立志成为实现中华民族伟大复兴中国梦的接班人.2 “课堂小结”的特点

2.1 目的指向性与操作系列性

在上述“反比例函数概念”的“小结与反思”中，我们可以发现：“课堂小结”具有鲜明的目的指向性，或对知识、技能理解，或对思想方法与活动经验梳理、建构，或提升学生从数学的角度发现和提出问题的能力、分析与解决问题的能力.我们还可以看到，“课堂小结”是由一系列外部操作组成，环环相扣，层层递进，每个小问题分别承载了不同的功能，共同构成一个完整的的问题链.由此可见，“小结”是“量”的积累，“反思”是“质”的飞跃，这个“质”的飞跃就是学生思维能力的发展，数学核心素养的形成.

2.2 问题情境性与应用普适性

“课堂小结”具有问题情境性.情境主要是现实情境、数学情境、科学情境，问题是指在情境中提出的问题.问题是“课堂小结”的载体，并且“课堂小结”往往是由一系列问题串构成，这些问题或层层递进，或相辅相成，有助于学生形成科学的世界观和方法论，达成“学习掌握”“实践探索”“思维方法”3个指标.又由于“课堂小结”可用于任何课型或问题，所以“课堂小结”具有广泛的普适性.教师只有科学地设计和使用“课堂小结”，才能使“课堂小结”收到良好的效果.

2.3 认知内省性与建构性

曾子曰：吾日三省吾身.笛卡尔也曾给出著名的哲学命题：“我思故我在.”他们都说明了“思考”的重要性.其实，学生每天的数学学习就是一个不断吸收——解决问题——反思——再吸收——再解决问题——再反思的循环往复的过程.“课堂小结”的核心是思考.思考是一个由态度、知识、技巧组成的复杂行为.促进有效思考的态度是：在有充分证据的情况下，不急于判断，质疑而不是简单接受权威，轻易相信证据，通过内省，不断完善自我认知，形成严谨的科学态度;扎实的基础知识有助于学生思考问题时左右逢源;思考的技巧有知识性思考、理解性思考、批判性思考（分析、综合、评价、反思）.通过思考，可以促进学生对知识的理解与掌握;“悟”出在知识的发生与发展过程、问题解决过程中蕴含的数学思想;在“做数学”的过程中积累与优化活动经验，形成良好的情感、态度、价值观，促进认知的内省，建构与优化认知结构，有利于实现知识、技能、数学思想方法与经验的正迁移

例如，在“弧长公式”的教学中，在学生得出弧长公式l=nπR/180后，接着出示练习

填空：

（1）在半径为10 cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是____________cm

（2）弧长是18π cm，该弧所对的圆心角是120°，则这条弧的半径为____________cm

（3）弧长为3π cm，半径为12 cm的弧所对的圆心角的度数是____________

在学生解答结束后，教师可以提出反思性问题

（1）你是如何理解弧长公式的？

（2）在弧长公式的生成过程中，蕴含了“特殊化思想”，请你利用探究弧长公式的经验，课后解答下面的问题

如图1，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.探究圆的半径为R、圆心角为n°的扇形面积（如图2）图1图2

评析：问题（1）有助于学生在前面计算的基础上，从函数的观点与方程的观点对公式进行深加工，辩证地看待问题，理解公式的本质;问题（2）通过学生的内省，建构一般问题特殊化的经验，并将此经验迁移到新的问题情境中，这恰恰是反思的意义所在，从而提高了学生分析与解决问题的能力，发展了学生的数学核心素养.

3 “课堂小结”的教育价值

“課堂小结”的知识价值在于使知识从具体问题情境中分离、明晰、显性化（如“反比例函数概念”教学中的第一个“小结”），有助于学生将知识纳入到知识框架中进行意义建构，这为知识的顺利提取与应用奠定基础;

“课堂小结”的思想与方法价值在于明晰数学思想方法，将内隐的数学思想方法显性化（如“反比例函数概念”教学中的“课堂小结”），有助于学生将数学思想、方法正迁移;

“课堂小结”的思维价值在于进一步积累并优化思维经验，形成经验结构，如反比例函数研究的路径：实际问题→建立概念→函数的图象与性质→应用，有助于培养学生有逻辑地思考与表达（主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性），为进一步研究其他函数埋下伏笔;

“课堂小结”的能力价值在于有助于学生的数学能力从生疏走向熟练，进而达到自动化

总之，“课堂小结”的教育价值在于服务立德树人根本任务、提高学科素养、发展关键能力、掌握必备知识.4 “课堂小结”的教学艺术

“专业化水平的教学既是艺术也是科学.一个好的教师就像艺术家一样从技术和创造性的观点出发作出教育决策.一个杰出的艺术家展示一个富含技术的技艺——一幅画、一个玻璃制品、一座雕塑——在这些技术背后都蕴含着科学.他们还知道在什么时候以什么样的方式来运用这些技术.教师做教育决策也是一门艺术.”[2]那么“课堂小结”作为一堂课重要的教学决策，其教学艺术有哪些？

4.1 设计艺术

数学常规课型通常可分为概念课、公式、法则或定理课、习题课、复习课、试卷讲评课、数学思想课，由于课型不同，所以“课堂小结”的设计也会有所差异.又由于“课堂小结”在一堂课教学环节中所处的位置不同，其设计也会有所不同.但不论怎样，“课堂小结”的教学设计都应遵循教学决策的三种视角：发展视角、行为视角和认知视角.所谓发展视角，是指问题的设计要按照能力的培养螺旋上升的观点，由浅入深、由易到难设计;所谓行为视角，是指问题的设计所针对的人群，是为学困生设计的问题，还是为中等生或学优生设计的问题;在认知上，是会聚提问、发散提问、评价提问、还是反思性提问

课堂教学伊始的“课堂小结”，重在初步抽象与归纳;中间环节的“课堂小结”，重在帮助学生建构认知，提炼经验，归纳方法，形成技能，最后阶段的“课堂小结”，重在帮助学生将“四基”建构到头脑中已有的图式中，并将其优化，继而提升“四能”.

4.2 能力培养艺术

“课堂小结”的核心是思考.怎样帮助学生提高思考的技巧？一是要培养学生阅读

——抓住关键词或关键信息展开联想的发散思维能力;二是要养成质疑——批判性思考的习惯，因为质疑是批判性思维的逻辑起点，批判质疑是科学精神的精髓，没有批判性思考，就不会有创新能力的发展;三是发展“做数学”——言之有理，落笔有据，有逻辑地思考与表达的能力;四是不断提高学生的元认知能力（元认知能力的实质是对认知的认知，是个体对自己的认知加工过程的自我觉察、自我反省、自我评价与自我调节，它包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个成分），逐步提高自己高阶思维的技巧;五是加强“一般观念”的指导，提升学生的课题研究能力.“一般观念”是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、研究途径等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”具有指路明灯的作用.例如，归纳和类比是发现和提出数学命题的重要途径;研究几何的一般路径是：概念——表示——分类——性质——判定——特例.

4.3 课堂操作艺术

在“课堂小结”中，教师要允许学生出错，允许学生在回答问题时有短暂的停顿或时间空白，此时，就是考验教师教学智慧的时候.许多教师往往在学生一时答不上来，或感觉学生的回答离题万里时心里烦操，会马上让这个学生坐下，然后迅速提问另一个学生，或立即点拨，自说自答.而一个优秀的教师则会满脸笑容，满含期待地看着这个学生，静等学生思维的绽放……在老师期待的眼神里，学生感受到了爱的力量，思维的闸门或许就被打开，清晰而准确的话语随着嘴唇的颤动汩汩而出……即使学生仍然张口结舌，教师也会微笑着说：“我知道，你也许是因为一时紧张的缘故答不上来，但我坚信下课后能听到你的回答，你说是吗？”然后教师依然微笑着对他招招手，示意他坐下

教师要善于倾听，既要学会倾听学生有声的话语，也要学会倾听学生的心情和尚未说出的话语.倾听时，要悄悄地走进学生的身旁，静静地看着他（她），以欣赏的眼光打开他（她）的心扉，无论他（她）的成绩是多么优异，或他（她）的成绩目前多么令人沮丧，但他（她）始终是我们的“爱人”啊！终会有一天，在你意想不到的时间里，你会听到令你激动不已的一句话：“老师，让我试试吧！”“苔花如米小，也学牡丹开”啊！

教师要善于在学生中培养和选聘“教授”.实践表明：“教授”们会主动带领学习小组展开讨论、辅导同伴，也会像一个优秀教师一样在台前讲解、提问同伴、点评作业、评价同伴或自我，这时的你只需侧耳倾听、组织评价、有效组织课堂，让课堂在一个有序、高效、温馨的环境中运行，因为你早已营造了一个以“学习为中心”的课堂

教师在提问学生认知建构的同时，还要帮助学生构建图式，让学生将认知同化或顺应到原来的图式中，这样会有助于学生建构完整的认知结构

教师也要经常布置“课堂小结”作业，让学生主动归纳、建构知识结构，组织典例分析，形成错题集锦，独立命制试卷，发展学生的“课堂小结”能力.

4.4 教學评价艺术

“课堂小结”的教学评价是课堂教学评价的一部分，积极、公正、准确的评价能诊断学生学习的优势与不足，进而诊断教师教学过程的优势与不足.通过诊断，可以改进学生的学习行为，进而改进教师的教学行为，激发学生数学学习的积极性，促进学生核心素养的发展

“课堂小结”的评价应有利于考查学生的思维过程、思维的深度和思维的广度，要关注六个数学学科核心素养的分布与水平;要有利于学生建构完整的、优化了的认知结构，并进行学习经验的正迁移;有利于激发学生的学习热情，端正学生的学习态度，培养学生良好的学习习惯;有利于实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”

日常评价中，可以采用形成性评价方式，采用多种策略，使“课堂小结”的评价更具科学性、激励性、立体性、系统性.具体方法是：即时评价与延迟评价相结合;评价主体的多元化与评价内容的多样化相结合;过程评价与结果评价相结合;精神鼓励为主与成绩评价为辅相结合;课时评价、阶段评价与学期评价相结合

总之，数学核心素养下的“课堂小结”教学，需要教师对“课堂小结”的功能深入地理解，对其特点要了然于胸，对其教育价值要深入地研究，对其教学艺术要灵活运用.当然，也需要教师对问题精心设计，对学生的“课堂小结”能力长久地培养，这样才会收到良好的效果，才会有利于数学核心素养的有效落实

参考文献

[1]教育部考试中心制定.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.11.

[2][美]荷烈治等著;牛志奎译.教学策略——有效教学指南（第八版）[M].北京：中国人民出版社，2010.

[3]教育部基础教育司组织编写.全日制义务教育数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.4.