“增减”有乾坤“变化”寓哲理

【摘 要】 通过对“公理”、“定理”與数学课程标准中“基本事实”关系及其变化的研究，得出了初中数学“以人为本的课程理念、大道至简的哲学思想和强化革故鼎新创新意识”的教学启示

【关键词】 初中数学，基本事实，课程理念，哲学思想，创新意识

义务教育数学课程标准从实验稿到2011年版，已走过20个年头了.20年间，课程理念发生了新的变化，课程目标在不断优化，课程内容也有增有减.新的义务教育课程标准修订工作正在紧锣密鼓地进行，相信一定又有新的变化.回眸、研究、认识课程、教材的变化及其导向意义，对初中数学教学有着极其重要的价值.本文通过对《义务教育课程标准·数学（2011年版）》[1]（以下简称《课标2011年版》）及初中数学教材关于“公理”、“定理”和“基本事实”之间关系及其变化的研究，谈谈对初中数学的理性思考与教学启示.

1 教学疑问与困惑

经常有初中数学教师提出疑问：《课标2011年版》与现行初中数学教材出现了“基本事实”这样的名词.比如将“两点确定一条直线”、“三边分别相等的两个三角形全等”称为“基本事实”，但传统教材将“两点确定一条直线”称为公理，而对“三边分别相等的两个三角形全等”进行了证明，并称之为定理.那么，《课标2011年版》为何称为“基本事实”？为什么要引入这个名词？“公理”、“定理”和“基本事实”之间有何关系？苏科版数学教材七年级下册明确定义：“经过证明的真命题称为定理”[2]，人教版数学教材七年级下册指出：“定理也可以作为继续推理的依据”[3]，浙教版数学教材八年级上册明确：“定理也可以作为判断其他命题真假的依据”[4].那么问题来了：数学中那么多证明题都是“经过证明的真命题”，教材中为何没有将它们都称为定理，课程标准和现行教材为何将传统教材的部分定理进行删减？

进而思考：“基本事实”与公理、定理之间是什么关系？《课标2011年版》和现行教材对“公理”数量的增加、“定理”数量的减少体现了什么理念？对初中数学教学有何启示？

2 对“公理”、“定理”与课程标准中“基本事实”的关系的理解

首先，我们必须弄清楚“公理”和“基本事实”.“公理”是“经过人类长期反复实践的考验，不需要再加以证明的命题”，是“社会上多数人公认的正确的道理”[5]，由此可见，公理具有三个特征，即“不证自明”、“大家公认”，“是证明其他命题的起点”

《课标2011年版》使用了“基本事实”这个名词，明确了初中“空间与图形”的9个基本事实，主要出现在“线段、射线和直线”、“两条直线的位置关系”和“三角形的全等与相似”部分.浙教版八年级数学教材对“基本事实”是这样描述的：“本书挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实”[4].进一步说明“基本事实”是“无需证明的真命题，并作为证明其他结论的依据”.如此说来，“基本事实”应该等同于“公理”

那为什么不直接将“基本事实”称为公理呢？比较发现：在《课标2011年版》的9个基本事实中，只有“两点确定一条直线”、“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”属于欧几里得几何体系中的公理，其他7个“基本事实”没有列入公理范围.如基本事实“三边分别相等的两个三角形全等”在人教版1989年版《初级中学课本·几何》第一册[6]中就称为“边边边定理”，该教材在“等腰三角形性质”之后给予了证明，而基于《课标2011年版》的湘教版教材八年级上册在第二章《全等三角形》[7]也给出了证明，只不过仍然称为基本事实

为什么《课标2011年版》和现行教材用“基本事实”这个名称呢？《课标2011年版》中的9个基本事实在几何原本中有的是公理，有的是定理，用“基本事实”这个名称可以避免与传统的“公理”、“定理”混淆.这种安排要从数学的学术形态与教育形态关系上来理解

从学术形态来看，数学及其发展进程体现了数学的严谨性、逻辑性和系统性特征.一些数学分支在形成过程中会出现“漏洞”，有的数学结论在现实中已有广泛应用，但理论上还不完备，需要数学家想方设法加以完善，使之更加严密与系统.如牛顿用微积分解决了物理中的变速运动问题.物体自由落体的垂直位移h（m）与时间t（s）的关系为h=12gt2，该物体在t=4时的速度v=h′|t=4=（12gt2）′|t=4=gt|t=4=4g（m/s）.这是因为：limΔt→012g（t+Δt）2-12gt2Δt=limΔt→0（gt+Δt）=gt.但有人发现了矛盾：由limΔt→012g（t+Δt）2-12gt2Δt得到limΔt→0（gt+Δt）的前提是Δt≠0，而从limΔt→0（gt+Δt）得到gt的前提是Δt=0，二者是矛盾的.这个矛盾直到“无穷小量理论”的产生才得到解决，这不仅让微分理论更加完善，而且使数学产生了新的突破，让人类文明向前迈进了一大步.数学史上的三大危机、非欧几何的产生等都说明了这一点

严格意义上说，数学知识在教材中的呈现一般具有一定的逻辑顺序.如坐标平面内两点间距离公式、余弦定理都源于勾股定理，因此教材中最先呈现勾股定理.回到“全等三角形判定”的3个基本事实，苏科版和湘教版等大多版本的教材呈现顺序依次是“SAS”、“ASA”和“SSS”，而人教版教材八年级上册[8]、浙教版教材八年级上册都在《全等三角形》[4]这一章按照“SSS”、“SAS”和“ASA”的顺序呈现.为什么不同版本会出现不同的呈现顺序呢？是否某种顺序不符合数学逻辑呢？由于这3种判定方法在《课标2011年版》中被作为“基本事实”而没有证明，因此呈现顺序无关紧要.而湘教版虽然也将“SSS”看成“基本事实”，但运用了“SAS”进行了证明，此时的呈现顺序就不容颠倒

从教育形态来看，数学学习是一个“從不严格到严格”、从直观到抽象、从归纳到演绎的过程.有些命题的正确性显而易见，有些命题以学生现有认知难以证明，教学中就要尊重学生认知，先通过操作与直观感知，让学生了解其合理性，承认其正确性，并作为证明其他命题的依据，等学生知识积累和思维能力达到一定程度，再引导他们深入探究，并加以证明.正如宋乃庆先生在《淡化形式，注重实质》[9]一文中所说：“教学中不能为概念而概念，要使概念教学恰如其分地发挥‘通过知识培养能力的作用.从这个意义上说，‘淡化是为了真正的‘强化.”如果“对名词、术语等在形式上和细微处理上孜孜以求，出现形式和繁琐的倾向”，就可能“冲淡实质，脱离学生认知实际，不利于学生能力的培养”.

3 关于课程标准减少“定理”数量的认识

将《课标2011年版》下的教材与教学大纲时期的教材相比，定理数量大为减少，一部分作为基本事实，一部分直接删除.《课标2011年版》为何对“定理”做大幅度调整呢？为何未将经过证明的所有真命题都称为定理呢？

首先，定理除了是可以证明的真命题外，还有以下特点：一是具有本质性，反映事物或关系的本质属性;二是具有简洁性，无论是结构还是表达都具有独特而简洁的特征，易于理解与表达;三是具有普遍性.定理反映普遍规律，无论在数学内部还是外部都具有广泛的应用.以勾股定理及逆定理为例.第一，直角三角形是几何中最常见的特殊三角形，无论两个锐角如何改变，结论“斜边的平方等于两直角边的平方和”都不变，且与“直角三角形”互为充要条件，这反映了直角三角形“变中不变”的本质属性.第二，将勾股定理及逆定理用数学符号表示为“△ABC中，∠C=90°c2=a2+b2”，这个结构形式显得独特和简洁.第三，直角三角形在现实生活中比比皆是，体现了勾股定理及逆定理应用的广泛性

其次，定理本身就是一种数学模型，即“把某种事物的主要特征、主要关系系统地抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构.数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映”[10].因此，数学定理教学就是数学模型教学，既然是模型，那就应该少而精，体现本质性、简洁性和普遍性.部分传统意义上的“定理”可以化归为已有的“基本事实”或定理，如梯形中位线问题可以转化为三角形中位线问题，用有限的公理、定理、模型解决无限的问题，以不变应万变.“教学中要通过定理、公式的归纳与证明、发现与推导、选择与运用，培养学生建模意识，并在这个过程中积累解决数学问题的经验”[11].事实上，与初中几何有关的所谓的定理还很多.如欧拉线、西摩松线、费马点、九点圆定理、梅勒劳斯定理、托勒密定理、塞瓦定理、迪沙格定理，等等，由于证明复杂、应用范围不广，有些可以作为知识巩固与内化的素材和资源，有些可以作为数学结论供有兴趣的学生研究.如果将这些都作为定理，那就会造成模型泛化，学生只能机械记忆结论，势必增加学生不必要的负担

再者，在信息化、网络化、智能化的今天，几何教学的根本任务是培养学生的逻辑思维能力和理性精神.如果将传统意义上的几何“定理”如数保留，必然衍生出无数繁、难、奇、怪的几何问题，这与几何教学的初衷相悖.

4 理性思考与教学启示

如前所述，《课标2011年版》对初中数学定理进行了重大调整.部分传统意义上的定理调整为基本事实，使“公理”数量有所增加;有些耳熟能详的定理直接作为证明依据更为方便，但被删除或调整为选学内容，可用工具有所减少.这“一多一少”的变化看似矛盾，但背后蕴涵着以人为本的课程理念、大道至简的哲学思想和革故鼎新创新意识，可谓“增减有乾坤，变化寓哲理”.4.1 体现以人为本的课程理念

对“基本事实”做“加法”，对数学定理做“减法”，“一加一减”之间体现了以人为本的理念

许多传统意义上的“定理”证明过程繁杂，有的证明方法为学生力所难及.如三角形全等的“SSS”判定的证明，既要运用图形变换与构造，又要用到等腰三角形的“等边对等角”和“SAS”，显然无论是知识还是方法都超越了当时学生的认知.因此教材循序渐进，暂时先作为“基本事实”，只要学生认识到其正确性与合理性，并会运用于解决问题即可.以“点到直线，垂线段最短”为例图1

在苏科版教材七年级上册第6章《平面图形的认识（一）》[12]的正文中是这样安排的：如图1，点P在直线l外，PO⊥l，垂足为O，在l上取点O1、O2、O3，…量出线段PO，PO1，PO2，PO3，…的长度，在这些线段中，哪一条最短？从而得出结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.教材这样安排，旨在让学生通过操作感知结论的正确性、合理性，并可以作为证明其他结论的依据

其实，教材也为学生提供了自主探究与拓展的空间.如苏科版教材七年级上册第6章《平面图形的认识（一）》[12]的《阅读》栏目，介绍了用图形变换的方式对“点到直线，垂线段最短”的证明图2

如图2，点P在直线l外，PO⊥l，垂足为O，O1是l上的任意一点（不与O重合），把图2沿直线l翻折，则P′O=PO，PO1=P′O1，因为PO⊥l，P′O⊥l，所以点P′，O，P三点在一条直线上，根据基本事实“两点之间线段最短”得到P′O1+PO1>P′P，即2PO1>2PO，也就是PO1>PO图3

随着知识的积累，学生自然考虑用新的知识能否证明.如到了八年级学习了“垂直平分线性质”后还可以这样证明：如图3，作PO的垂直平分线交PO1于M，连接MO，则PM=OM=O1M，因为PO1与PO不重合，所以M不在PO上，故PM+OM>PO，所以PO1=PM+MO>PO.

这个过程经历了从操作探究和直观感知、用图形变换方法说明理由到纯演绎推理的过程，这种安排充分考虑了学生的认知基础和认知特点，体现了以人为本的课程理念

教学中，要严格执行和落实课程标准，理解和领会教材意图，给学生探究与思维的时间，引导学生经历操作、发现、猜想和验证的过程，让学生的认知和能力“螺旋式”上升，而不能肆意补充教学内容、加深教学难度，以减轻学生不合理的学习负担.

4.2 蕴涵大道至简的哲学思想

数学的知识如浩瀚海洋无边无际，数学的技能似百般武艺千变万化，但数学最上位的是“抽象”、“推理“和“模型”，这反映了数学由繁至简的道理;数学特点之一是简洁美——方法、过程和形式的简洁，这其中蕴涵了大道至简的哲学思想.课程标准、教材设计和数学教学就应该体现“删繁就简、以简驭繁”，“寓繁于简、简之有道”的哲学思想

一是删繁就简，以简驭繁.欧几里得几何体系由23个定义、5个公设和5条公理演绎而成，众多的定理、结论都可以归结到有限的几个公理、定理上来，这反映了数学的本质.因此，无论课程标准还是教材与教学，应该删繁就简、以简驭繁，用有限的知识和方法解决无限的数学问题.《课标2011年版》中“定理”数量的减少正体现了这种哲学思想

二是寓繁于简，简之有道.“简”与“繁”是相对的.数学不能为了“简”而“简”，而应该“简之有道”.这里的“道”就是数学本质，既有数学的基本方法，也有数学的探究之道.数学的思维过程“就是由‘繁到‘简逐渐接近数学本质的过程”[13].如抽象、推理和模型等基本数学思想要在解决具体问题中逐步渗透，数学有限的公理、定理要在问题的不断探索和演绎中发挥作用.如“点到直线，垂线段最短”这个结论，通过多种方法说理或证明，让学生在确信其正确性的同时，也培养了数学的理性精神.这个过程看似“繁”，但正是通过“寓繁于简”，才能让学生得到数学问题探究之道

教学中，既要关注数学本质，引导学生的思维回归本源，追求通性通法，以不变应万能变;也要将数学本质融于具体问题的解决之中，从而达到“寓繁于简”、“大道至简”的境界.4.3 强化革故鼎新的创新意识

从促进人的发展的教育属性来看，数学的学习不应只是逻辑与推理，更需要发现与创新.青年数学人才刘路认为：学习数学不只需要严谨.数学家在工作的时候靠直觉，表面上看数学很枯燥、很冗长，但是在数学家的头脑中很快就会完成，他们的头脑中形成一些东西时，并不是靠一步一步思考的，而是靠不严格的直觉得到的.史宁中先生也说：“数学根本上是看出来的”.“直觉”是什么？是知识、方法和经验积累到一定程度的“顿悟”.如果教学中拘泥于严谨与“逻辑”，学生的创新能力可能会在过度形式化中遭到扼杀

教学中，要转变知识观和育人观，将增强学生创新意识、培养学生探究能力作为数学教学的目标之一.一是引导学生发现、猜想与验证结论;二是通过由简单到复杂、由特殊到一般的教学，引导学生综合运用数学知识、方法;三是通过变式教学，引导学生将已有数学知识、方法迁移至新的情境之中;四是以类比或顿悟的方式发现新结论.让学生经历发现与验证、综合与运用、迁移与拓展、类比与顿悟的过程，培养学生创新能力.需要说明的是：这种教学不能一蹴而就，可能需要较长的时间跨度，甚至还需要一定的反复.同时，教学范式也不是一成不变，需要因教学内容和学生情况而定.

参考文献

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[13]钱德春.对数学解题“繁”与“简”的辨析与思考[J].中学数学杂志（初中），2015（10）：17-21.