各美其美 美美与共

扈保洪

【摘 要】 考虑到对一组数据离散意义的刻画与离散程度的量化密切相关的特点，文章将教科书（青岛版）中“数据的离散程度”和“方差”两节内容进行了整合，在使其内容更加凝练的同时，主要探讨了第1课时的教学问题，并给出新颖的教学设计

【关键词】 离散程度;散点图;教学设计

在一次区级教学能手评选活动中，笔者有幸聆听了几节课，课的内容分别是“4.4 数据的离散程度”和“4.5 方差（第1课时）”（见青岛版八年级数学教课书（上册），130—137）.听课引发笔者对上述教学内容的关注和探究，因而有了自己的教学思考及设计.现整理成文，与同仁交流.

1 基于课程目标的教学分析

1.1 目标与现状

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“数据的离散程度”及其相关内容，规定了以下教学目标：

（1）体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差;

（2）知道可以通过样本方差推断总体方差;

（3）能解释统计结果，根据结果做出简单地判断和预测，并能进行交流

显然，在上述目标体系中，“体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差”，是教学的关键，属于重中之重.而在该条具有二元结构（“体会意义”和“简单应用”）的目标中，“体会意义”进而提炼方差公式又起着主导作用.但由于揭示数据离散意义的过程比较繁琐，更难以使学生真正理解方差公式的直观意义，故面对上述同样的课程目标体系，不同的教科书的处理方式却有很大差别.例如：

“20.2 数据的波动程度（第1课时）”（见人教版八年级数学教科书（下册））的编排思路为：认识研究数据离散程度的必要性→直接给出方差公式，并结合散点图简单解释其意义→方差公式的简单应用.这种教学设计匠心独运，它不仅使学生对数据离散程度的意义有所了解，而且巧妙的避开了教学难点，让学生把更多精力投入到运用方差公式解决实际问题上来，因而有利于培养学生的应用意识.按照这样的设计进行教学，既省时又省力，很适合在学习基础较薄弱的班级使用

而“4.4 数据的离散程度和4.5 方差（第1课时）”的编排思路为：认识研究数据离散程度的必要性→利用散点图刻画数据离散的意义→以离差为背景，提炼方差公式→方差公式的简单应用.这种教学设计立意高远，它以数形结合思想为指导，注重刻画数据离散的意义，充分展现方差公式的提炼过程，因而抓住了培养学生数学能力的重要契机，能使他们经历研究一个数学对象的完整过程，有利于学生砥砺思维，去联想、去创造，对提升其数学素养极其有益

鉴于不同的教学设计各美其美的现状，如果能创新设计思路，美美与共，就上述内容推出愈加完善的教学设计成果，那么对教学无疑具有重要意义.

1.2  教学设想

基于上述课程目标体系的要求，考虑到数据离散意义的刻画与其离散程度的量化密切相关，前者能自然升华为后者的特征，笔者认为教学上述内容时，可在保持青岛版教科书立意深刻这一风格的基础上，汲取人教版教科书内容凝练的优点，将“4.5 方差”整合到“4.4 数据的离散程度”中，从而把对数据离散意义的刻画与提炼方差公式有机融合起来，以达到内容更精当、思路更自然、过程更精炼的目的.这样处理可在教学内容基本保持不变的情况下，教学时间由原来的3课时缩减为2课时，其中第一课时的教学目标为“体会刻画离散程度的意义”，并提炼出方差公式;第二课时的目标为运用公式“计算简单数据的方差”，培养学生的应用意识

特别地，对第一课时的教学作如下构思：

（1）构建合理的逻辑过程，强化数据分析的基本套路

为了使《义务教育数学课程标准（2011年版）》所规定的目标落地生根，教学中本着“学生是主体，教师为主导”的课程理念，以学生为中心，引导他们积极思考，主动探索，充分利用方差公式的提炼过程，设计一些更富有启发性的探究活动：

①通过一个仅由数据的集中指标难以解答的典型问题搭桥引渡，促使学生拓展思路，在原有知识的基础上做出较为自然的选择，想到画统计图（散点图）考察数据的稳定性，并由此引出课题：“数据的离散程度”

②不直接给出方差公式，而是站在育人的高度，运用几何直观手段启迪想象，使学生通过直觉联想，从散点图上直接找出反映每个数据点离散状况的量及其表达式，再因势利导，考察这组表达式的集中趋势，得到反映所有数据点平均离散状态的综合表达式，并以此为铺垫拾级而上，逐步提炼方差公式

（2）注重对数据离散的意义进行刻画，打牢离散程度的量化根基

因为数据离散的意义内涵较为深刻，学生不好理解，所以不仅通过具有辩证性质的动态散点图模型把复杂的问题形象化，变深奥为浅显，便于学生由浅入深地理解与把握;还要用不同形式的散点图创设在比较、发现中螺旋上升的教学思维模式，在此框架下组織学生互动交流，启发他们从不同的侧面深刻领悟数据离散的意义，进而得出反映数据离散情况的不同量化标准及量化表达式，最后择优而选得到结论

（3）用数学符号代替数据进行推理，培养学生的符号意识

将问题中的具体数据用符号代替，可充分发挥字母表示数的优越性，进一步挖掘数据内在的逻辑力量，优化数学思维过程，使学生能够根据数据中所蕴涵的信息，更好地表达思想和进行数学推理，从而将他们的认识不断引向深入，直至发现数量规律性.这样，既能培养学生的数学符号意识，又有助于顺利达成教学目标.

2 基于教学分析的活动设计

2.1 问题情境

（1）提出问题

过渡语：在学习了数据的集中趋势后，就可以对一组数据的一般水平有一个大体的把握，但是，仅仅用集中指标来描述一组数据是远远不够的.对此，请思考下面的问题：

时代中学田径队的甲、乙两名运动员最近8次百米跑的训练成绩如下表所示：

现要从甲、乙两名运动员中挑选一人代表学校参加区级运动会，选谁去比较好呢？

（2）情境导航

提问：对于这个问题，要想知道选哪位运动员比较好，首先应看他们的平均成绩（强调：平均成绩是各个训练成绩的偶然性、随机性特征互相抵消后的稳定值，它是对所提供的成绩信息运用得最充分的指标），可是两人的平均成绩相同，都是12.5s.这种情况下，你认为应怎样比较两名运动员的训练水平呢？

意图：推陈出新，将学生的思维引向考察训练成绩的离散情况，想到把统计数据转化为统计图

预设：若学生提出比较两组成绩的中位数或众数，则指明它们的中位数都是12.45s、众数都是12.2s，以便将学生的思路及时引导到画统计图上来;若学生的思路转换有困难，则引导学生回顾七年级学过的“数据的收集、整理与描述”等相关知识.

2.2 建构活动

提问1：既然要用统计图描述数据，那么你能画出两个散点图（提醒：根据画折线统计图时描点的方法来画即可）分别描述甲、乙两名运动员的训练成绩吗？

意图：把统计数据转化为统计图（见图1），使学生在“做”数学中体验数据分析的基本套路

甲百米跑的成绩统计图乙百米跑的成绩统计图图1预设：纠正学生画图中的错误，指导他们准确地画出散点图模型

追问1：通过所画的散点图（图1），你发现了什么？如果把平均成绩也画到散点图中，那么你又发现了什么？（甲的成绩上下波动性较大，因而比较分散，其平均成绩的代表性差;乙的成绩上下波动性较小，因而比较集中，其平均成绩的代表性好）

意图：在直观上的逻辑与逻辑中的直观相得益彰的氛围中，使学生初步了解数据离散的意义

预设：教给学生借助散点图提取数据信息的方法，并及时纠正他们认识上的偏差

提问2：如果把图1称为横向排序式散点图，那么你能以平均成绩为中心，画出旋转排序式散点图吗？（见图2）甲百米跑的成绩统计图乙百米跑的成绩统计图图2

意图：引导学生换一种参考框架考察数据的离散问题，使他们进一步体验数据分析的套路，积累基本的数学活动经验

预设：若学生画图有困难，则提醒他们想象射击或射箭时所用靶子的形象，引导学生准确画出旋转排序式散点图模型

追问2：根据图2观察两组成绩的分布情况，所得结论与由图1所得结论相同吗？

（不完全相同.从图2看：甲的成绩在多个方向上波动，且幅度较大，比较分散，其平均成绩的代表性差;乙的成绩在多个方向上波动，且幅度较小，比较集中，其平均成绩的代表性好）

意图：通过用图2刻画数据的离散状态，丰富学生对数据离散的感性认识，培养他们的直观想象力

预设：教给学生读图的方法，引导他们仔细观察，并对所得结论进行充分的交流.

2.3 领悟意义

提问1：根据图1和图2的直观意义，你能对两图中数据点xi（i=1，2，…，8）相对于平均数x的离散状态分别进行描述和量化吗？

意图：利用散点图模型中的参变量，引导学生从动、静两方面辩证认识数据的离散问题，并在变化中探寻不变量（量化指标），敏锐地捕捉来自图形和数据的双重信息

预设：提醒学生注意，在散点图中变量ti，θi表示数据点xi是动点，它反映出数据xi的出现时机具有随机性这一本质特征.并引导学生互动交流及小结

（在图1中，不仅因为数据点xi的静态位置有确定的偏移距离和方向，而且当ti变化时，数据点xi也只是在一条水平的定直线上移动（参考图1中x1的轨迹），其偏移距离和方向始终不变，所以可用“偏移距离xi-x+向下（或向上）的单一方向”（向量的平移）来表示数据点xi相对于平均数x的位置，即这个相对位置不随数据xi出现时机的变化而改变，因而用距离xi-x量化xi相对于x的离散状态.在图2中，因为数据点xi所在射线的旋转角是θi，所以xi的偏离方向只是相对固定的.而当θi（0°≤θi<360°）变化时，数据点xi的运动轨迹是以点x为圆心、以xi-x为半径的圆，故可用“偏移距离xi-x+任意方向”（向量的旋转）来表示xi相对于x的位置，即这个相对位置随着数据xi出现时机的变化而变化，因而用该“分布圆”的面积π（xi-x）2量化数据点xi的离散状态）

追问：在分别找出两图中各点离散状态的量化表达式后，那么数据组x1，x2，…，x8的离散状态又应该怎样量化呢？请写出其量化表达式

（在图1中，用各偏移距离的平均数来量化，表达式为x1-x+x2-x+…+x8-x8 （Ⅰ）;在圖2中，用各分布圆面积的平均数（不妨称其为“平均分布圆”的面积）来量化，表达式为π·（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x8-x）28 （Ⅱ））

意图： 通过由简单到复杂、由分散到集中（趋势）的逻辑过程，诱导学生的思维向着揭示一组数据离散意义的本质特征聚焦

预设：如果有学生不能写出上述两式，应该是没弄清每一点离散的意义，可就此问题进行辅导

提问2：上述（Ⅰ）、（Ⅱ）两式表明，可从不同视角量化数据的离散状态.那么，根据自己的生活经验，你认为用它们中哪一个表示数据组x1，x2，…，x8离散状态更好呢？

意图：把学生的知识学习植根于厚重的生活底蕴之中，并通过分析、比较两种量化方法的优劣，使学生更准确地把握数据离散的含义

预设：启发学生围绕“分布离散”这一关键词列举实例，进而结合实例互动交流并小结.（举例来说，向水中投一石子，泛起的波纹是从中心向外逐渐扩散的;打靶时的弹着点是围绕靶心分布的.显然，这些事例均符合图2中用“偏移距离+任意方向”表示数据点位置的原理（即体现数据的随机性），而不符合图1的原理，这是因为图1把数据的离散抽象成了狭隘的比较数据大小的问题，使“偏移距离+任意方向”变为“偏移距离+向上（下）方向”，因而使数据离散问题的本源性特征有所伤逝，所以用（Ⅰ）式反映数据的离散状态往往存在着一定的片面性（一般不常用），故（Ⅱ）式较好一些.这充分表明：数据离散的意义包含着数据间的差异和离散方向两方面的内涵，二者不可偏廢（方向虽不是量化指标，但它却影响着量化的方式）.在这样的意义下，数据的离散程度反映的则是数据间分布离散和差异的程度）

2.4 提炼公式

提问：既然用（Ⅱ）式量化数据组x1，x2，…，x8的离散状态比较好，那就请你指出（Ⅱ）式中影响量化结果大小的部分？

意图：追求简洁、简单、简约，从反映一组数据离散状态的表达式中分离出其关键部分，为提炼方差公式搭建台阶.（（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x8-x）28）

过渡语：由于（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x8-x）28决定着量化结果的大小，为简单起见，不妨用它来刻画数据组x1，x2，…，x8的离散程度，并将其称为该组数据的方差

追问：一般地，对于数据组x1，x2，x3，…，xn ，设其平均数为x，方差为s2，请写出计算该组数据方差的公式.你能说明方差的大小与离散程度的对应关系以及s在图2中的几何意义吗？

（①公式：s2=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n;②关系：方差越大，数据的离散程度就越大，反之则反是;③几何意义：s在图2中表示一组数据的“平均分布圆”的半径）

意图：由特殊到一般，使学生在合情推理中建构方差的意义，提升其数学建模能力.

2.5 验证与小结

利用方差公式解答本节课开始时提出的问题，验证方差公式的合理性.（其余略去）意图：通过验证与小结让本节课的结尾焕发新的生机与活力，从而更有效地促使学生反思活动过程，领悟和欣赏所得经验，并将活动经验及时升华为理论，使其成为后续数学学习的起点和依据.

3 基于活动设计的结语

上述教学设计的价值诉求在于，注重发展学生的“数据分析”“直观想象”“数学建模”等数学核心素养，并通过营造蕴含多样活动的“情境串”，不断强化几何直观、合情推理等思维策略在数据分析中的作用，为学生创设多种学习数据分析基本套路的机会，特别是引领学生通过实质性的数学思考，理解和掌握数据分析的知识与技能，体会和运用其思想与方法，获得基本的数学活动经验.显然，要做到这些，教师自己的数学素养是关键.只有教师自己具有研究的意识和能力，才能设计出思维含金量高的探究活动，进而让学生在活动中思索，在思索中创新，在创新中提升;只有把握了学生的认知发展规律，才能灵活运用启发式和因材施教原则，循循善诱，引导学生深度学习;只有深谙课堂教学规律，才能以独具匠心的教学手法，设计出层次分明、疏密有致，适时而动、相机而止的教学活动，使教学过程中各要素间的搭配有一种恰到好处的协调与美感.总之，要把学生的知识学习过程转化为提升其认识事物智慧的过程，教师必须在“理解数学，理解学生，理解教法”上花心思下苦功.