联系生活实际提高解决问题的正确性

田立敏++司志本

解决数学问题，尤其是解决日常生活中的一些数学问题，一定要注意理论联系实际，否则就会出现错误.本文将通过对三个相关问题的讨论，来说明“理论联系实际”的重要性.

问题1在1—150这150个整数中：

（1）是3的倍数的数有几个？

（2）是5的倍数的数有几个？

（3）既是3的倍数又是5的倍数的数有几个？

（4）是3的倍数或是5的倍数的数有几个？

分析前三个小问题都比较简单.通过简单计算就可以知道：在1—150这150个整数中，是3的倍数的数有50个；是5的倍数的数有30个；既是3的倍数又是5的倍数，也就是15的倍数，有10个.

那么“是3的倍数或是5的倍数”的数有几个呢？是50+30=80个吗？显然不是！我们把“是3的倍数或是5的倍数”这个条件分拆一下，它包括三类数：是3的倍数但不是5的倍数的数；是5的倍数但不是3的倍数的数；既是3的倍数又是5的倍数的数.因为既是3的倍数又是5的倍数的数有10个，所以，是3的倍数但不是5的倍数的数有50-10=40个；是5的倍数但不是3的倍数的数有30-10=20个.所以，是3的倍数或是5的倍数的数有40+20+10=70个.

问题2在1—150这150个整数中，既不是3的倍数又不是5的倍数的数有几个？

分析从问题的叙述来看，问题2比问题1中的（3）只多一个“不”字.我们可以这样来讨论问题2：

因为在在1—150这150个整数中，是3的倍数的数有50个，所以，不是3的倍数的数就有150-50=100个，在不是3的倍数的这100个数中，是5的倍数的数有20个（注意不是30个，因为有10个15的倍数已经包括在3的倍数当中），所以，既不是3的倍数又不是5的倍数的数有100-20=80个.

问题2也可以这样来分析：它与问题1的（4）是向对立的.即在这150个整数中，除了“是3的倍数或是5的倍数”以外，就是“既不是3的倍数又不是5的倍数”，而是3的倍数或是5的倍数的数有70个，所以，既不是3的倍数又不是5的倍数的数就有150-70=80个.

问题3150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，…，150.将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏？

问题3是2011年第九届“走进美妙的数学花园”解题技能大赛中的一道试题.这道题与前面的问题1和问题2属于同一个类型的问题.我们先看下面的两种分析方法：

分析1与前面问题1中的（4）进行比较，不难知道，将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，共拉灭了50盏灯；再将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下，共拉30下.因为既是3的倍数，又是5的倍数的灯被拉了两次，所以，在拉5的倍数的灯的拉线时，只拉灭了20盏灯.由此可知，两次一共拉灭了70盏灯.所以，问题3的答案是150-70=80（盏）.

分析2与前面的问题2进行比较，没有拉到拉线的灯的盏数，就是问题2中既不是3的倍数又不是5的倍数的数的个数，所以，拉完两次拉线后仍然亮着的灯有150-70=80（盏）.

读者朋友，你认同前面这两种分析方法吗？如果你对这两种分析方法持怀疑态度的话，那么请你注意这样两个事实：第一，上面的两种分析方法得出的结果是一致的，都是80盏；第二，2011年第九届“走進美妙的数学花园”解题技能大赛组委会提供的标准答案也是80盏.你还怀疑这两种分析结果的正确性吗？

实际上，你应该坚持你的怀疑态度！因为上面的两种分析方法所得出的结果是错误的！当然，2011年第九届“走进美妙的数学花园”解题技能大赛组委会提供的标准答案也是错误的！

现在我们来看下面的分析3.

分析3我们还是与前面问题1中的（4）进行比较.将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，共拉灭了50盏灯，这一点是没有问题的；但是，在将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下时，一共拉30下.在这30下中，有20下拉灭了20盏灯（编号是5的倍数，但不是3的倍数的灯），另外10下把第一次已经拉灭的10盏灯（编号既是3的倍数，又是5的倍数的灯）又拉亮了.这样一来，两次一共拉灭了（50-10）+20=60盏灯.所以，拉完两次拉线开关以后，仍然亮着的灯有150-60=90盏.

如果你对上面的分析3还不太清楚的话，那么你可以把灯的数量减少.例如，只考虑15盏灯的情况，结果就会一目了然.

就问题3本身来讲，并不是一道难题.但是，这样一道并不困难的问题，为什么那么多人，包括大学数学系的高材生，当然也包括2011年第九届“走进美妙的数学花园”解题技能大赛命题专家都做错了呢？其主要原因就是没有把理论知识与生活实际结合起来.所以我们说，在解决与生活实际关系比较密切的一些数学问题时，一定要注意理论联系实际，否则就会出现错误.

作者简介司志本（1959—），男，河北兴隆人，教授.主要从事数学教学和研究工作.曾被授予河北省优秀教师、获国家曾宪梓教育基金会教师奖；发表论文160余篇，主编或参编了9部数学及相关书籍.

《中学数学杂志》（初中）2017年总目录endprint