在深度对话中让数学概念课教学走向本真

卢娟+孙道斌

【摘 要】 概念是数学思维的细胞，教好概念是教好数学的内在要求，概念教学如果搞不好，数学课程目标的实现就失去了根基.为了体现《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“概念”教学的目标要求，本文拟结合“§51定义与命题”教学实录与点评，谈谈如何进行有效的概念教学.

【关键词】 定义；命题；教学实录；点评

2016年11月29～30日，山东省初中数学课堂教学观摩研讨会在著名的江北水城聊城举行.来自全省500余名数学骨干教师参加了此次活动.29日下午，由菏泽市开发区广州路中学卢娟老师执教的“§51定义与命题”（青岛版《义务教育教科书·数学》八年级上册）一课，切实根据数学学科的特点和初二学生的实际情况开展概念教学，注重了概念形成的针对性和有效性，很好地体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）对数学概念课教学的要求，尤其是创新的教学设计，为概念课教学起到了引导、示范的作用.在听课的基础上，笔者对这节课的教学进行了实录和点评，供老师们教学时参考.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

师：分享一个故事，前两天我把一张表格忘在家里了，下班回来，上小学三年级的儿子兴奋地对我说，他帮我填了一部分内容，我一看，笑了.同学们，大家来看看吧.

（学生发出善意的笑声.）

师：大家发现问题了吗？

生众：他把老师的政治面貌填成圆形脸了.

师：对！如果让大家来填“政治面貌”的话，你们会填成这样的内容吗？

生众：不会.

师：像这样的例子，生活中很多，要避免交流上的障碍，就要对同一名称或术语有正确的认识.而在数学的学习中，也有这样的名称或术语，那就是数学概念，而要规范地认识数学概念，就要进行下定义.这节课我们就来学习第五章“几何证明初步”的第一节“定义与命题”.（板书课题）

点评 通过分享儿子的趣事，让学生体会到人与人之间的交流必须建立在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，需要给出它们的定义.进而让学生体会到在数学学习中下定义的重要性.

二、探索新知，形成定义

师：在过去的数学学习中，我们学过许多数学概念，比如角、直角三角形等.回忆一下，什么叫做角？什么叫做直角三角形？

（在学生的回答中一一出示两个定义.）

1.有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.

2.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

师：观察上面两个语句，在叙述形式上它们有什么共同特点？

（让学生先独立思考，然后再做小组交流.）

生众：都有“叫做”俩字

师：对，这是这两个语句叙述形式的共同特点.（板书：叙述形式：“……叫做……”）

师：那叙述内容上有什么共同特点呢？

（学生面带难色.）

师：我们以“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”为例来说明一下.这个语句是说明哪个概念含义的？

生众：角.

师：通过这个语句可以看出“角”这个概念具有的本质特征是什么？

生1：有公共端点的两条射线所组成图形.

师：因此，这个语句就叫做角的定义.那么第二个语句叫做谁的定义？

生2：第二个语句叫做“直角三角形”的定义.

师：从“直角三角形”的定义可以看出“直角三角形”这个概念具有的本质特征是什么？

生3：有一个角是直角的三角形.

师：因此，这两个语句叙述内容上的共同特点就是都能揭示其本质特征.

点评 让学生通过回忆这些概念的定义，引导学生感受数学是如何给概念下定义的.

师：观察这两个定义的语句，你能试着给定义下个定义吗？

师生共同归纳：用来说明一个概念含义的语句叫做这个概念的定义.（教师板书定义的定义）

师：对于一个定义而言，“叫做”前面的部分是被定义项，后面部分是定义项.那么一个定义通常由几部分组成？

生众：定义由被定义项和定义项两部分组成.

师：这就是定义的结构形式.（板书：结构形式：被定义项 定义项）

师：通过以上的学习，你能给已学过的概念下定义吗？

生4：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

生5：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫做三角形.

生6：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

生7：把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫做代数式.

师：由此可见，要准确地给概念下定义，首先得是一个完整的语句，并且这个语句能准确、清晰、简洁地揭示出这个概念的含义即本质特征.大家考虑一下，要想说明一个三角形是否是直角三角形，关键的一步是什么？

生8：看这个三角形是否有直角.若有一个角是直角，就说这个三角形是直角三角形.

师：这样看来，直角三角形的定义除了作为一种性质使用外，还可以作为一种判定的方法.所以，一个概念的定义一般具有两方面的作用：①作为性质使用，②作为判定方法.（板书：定义的作用）

点评 通过对定义的学习，让学生在已有的直接經验的基础上发现定义的结构及作用，培养学生归纳总结的能力，并为命题的学习做好铺垫.

师：同学们，我们学习了定义的定义，并知道了定义的叙述形式、定义的结构形式以及定义的作用等，可以说，对定义有了一个全面的认识，那么，你能判断下列语句哪个属于定义吗？endprint

（展示问题.）

下列语句属于定义的是（ ）.

A.花儿在春天开放.

B.同角的余角相等.

C.内错角相等，两直线平行.

D.使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

生9：D选项属于定义.

师：哪位同学来解释一下，为什么D选项中的语句是定义？

生10：它说明了方程的解这个概念的含义，并揭示了其本质的特征，符合定义的定义.

点评 及时检查学生掌握情况，进一步巩固定义的定义.

三、再探新知，认识命题

师：定义作为一种判别标准，可以产生很多判断，比如根据对顶角的定义，我们可以得出这样的判断：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果两个角不相等，那么它們不是对顶角.可以看出，这些结论在表述形式上都是对某件事情做出判断的语句.

点评 通过由具体概念的定义产生的判断，让学生体会学习定义的必要性，也作为从定义到命题的过渡.

师：大家能对下面句子的表述形式做出选择吗？

（展示问题.）

比较下列句子在表述形式上哪些对事情作了判断？哪些没有对事情做出判断？

（1）鸟是动物.

（2）若a2=4，求a的值.

（3）如果a2=b2，那么a=b.

（4）a、b两条直线平行吗？

（5）画一个角等于已知角.

（6）033是无理数.

（7）如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的商也小于0.

生11：（2）、（4）、（5）没有对事情做出判断；（1）、（3）、（6）、（7）对事情做出了判断.

生12：我觉得（6）是错误的.

师（对生12）：老师知道你的疑问了，（6）的结论确实不正确，尽管不成立，但它确实对事情做出了判断.

生12：谢谢老师，我明白了.

师：这样，我们就把（1）、（3）、（6）、（7）归为一类，叫做命题.

点评 通过将上述表述分为两类：一类是对某一个事情做出了判断；另一类没有对某一个事情做出判断.引导学生通过这两类具体例子的辨析，了解什么是命题，什么不是命题.

师：按照刚刚学习的下定义的方法，哪位同学能给命题下一个定义？

生12：表示判断的语句叫做命题.

师：很好，请坐.同学们想想看，命题这个概念的本质特征是什么？

生13：命题的本质特征就是它能对事情做出判断.

师：非常好！我们判断一个语句是不是命题，关键在于是否做出判断，而与正确与否无关.详细说来，命题的特征有三个，即：是句子、有判断、有对错.再看下面的几个例子：

（1）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行.

（2）过直线l外一点P作l的平行线.

（3）如果a>b>c，那么b=c.

（4）什么叫做对顶角？

（学生独立完成，然后小组内交流.）

点评 及时检查学生掌握情况，一方面，让学生“学以致用”，在获得成就感的同时激发他们学习的兴趣与信心，另一方面，也进一步巩固学生对命题定义的理解.

四、类比定义，深化命题

师：我们学习了命题的定义，类比定义的学习，接下来该学习命题的什么内容呢？

生众：命题的叙述形式和结构形式.

师：再观察这些语句，看看它们的叙述形式和结构形式各有什么特点？

（1）如果a2=b2，那么a=b.

（2）如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的商也小于0.

（3）如果a>b>c，那么b=c.

（4）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

生14：命题的叙述形式是“如果……，那么……”.（教师板书：命题叙述形式）

师：命题的结构形式呢？

生15：命题有两部分构成，也就是“如果”后面的内容与“那么”后面的内容.

师：好！请坐.我们把“如果”引出的部分，也就是已知事项，称为条件；“那么”引出的部分，也就是由已知事项推断出的事项，称为结论.因此，命题的结构形式是什么？

生16：命题由条件和结论两部分组成.（教师板书：命题结构形式）

师：既然大家掌握了命题的结构特点，看大家能不能根据这种理解准确地找出下面命题中的条件和结论呢？

（展示例题.）

例：请说出下列命题的条件和结论：

（1）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.

（3）等腰三角形的两底角相等.

（让学生先独立完成，然后再小组交流.）

生17：命题（1）的条件是“一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边分别相等”，结论是“这两个三角形全等”.

师：命题（1）写成了命题的一般叙述形式，所以能容易地区分出条件和结论.对于命题（2），哪位同学来说一说？

生18：命题（2）的条件是“同位角相等”，结论是“两直线平行”.

师（对生18）：那“如果”前面的内容是什么呢？

生18：也是条件.

师：能完整地说一下吗？

生18：命题（2）的条件是“两条直线被第三条直线所截所得的同位角相等”，结论是“两直线平行”.

师：说得太好了！因此说，“如果……，那么……”只是命题的一般叙述形式，命题（2）是一种特殊形式，还有更特殊的形式呢，请看命题（3），它特殊在哪里？endprint

生19：没有“如果”和“那么”.

师：对于这样缩写的命题，如何区分它的条件和结论呢？

生20：转化成“如果……，那么……”的形式.

师：这个主意不错，哪位同学来改写一下？

生21：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等.

生22：如果两个角是等腰三角形的两个底角，那么这两个角相等.

师：这两种改写方法都对.所以，一个命题的改写形式并不唯一.现在我们一块来看生21的改写结果.哪位同学来说一下他的条件和结论？

生23：这个命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“它的两个底角相等”.

师：很好，请坐.由此可知，命题的改写一定要找准条件，那条件如何去找呢，我们可以来分析一下句子成分，关注谓语前后，一般定语是条件，谓语或者宾语后面是结论.大家再结合命题（3），看是不是这样？

生众：是.

点评 通过对命题叙述形式和结构形式的探究，意在让学生体会命题的条件与结论之间存在的因果以及假设关系.对于条件和结论不明显的，可以将这个命题改写成“如果……，那么……”的形式，然后再写出条件和结论.

五、了解真假，掌握反例

师：通过探究，我们知道了命题通常由条件和结论两部分组成，基于条件推断出的结论是不是都正确的呢？大家来看下面的问题：

想一想，在这些命题中，有没有条件成立时，结论却不正确的命题.如果有，请指出来.

（1）如果一个三角形的两边及一角与另一个三角形的两边及一角分别相等，那么这两个三角形全等.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.

（3）等腰三角形的两底角相等.

（独立思考，合作交流，代表展示.）

生24：命题（1）的结论不正确.

师：像（1）这样，当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.像（2）（3）这样，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题.哪位同学能说一下你是如何发现这个命题是假命题的？

（学生思考并讨论，因为不好说明，举手的同学很少.）

师：看样大家遇到了困难，哪位同学能给我们指点迷津？

生25：可以通过举一个反例来推翻这个结论.

生26：老师，什么样的例子是反例？

师：所谓的反例就是具备命题的条件，而不符合命题的结论的例子.大家是否掌握了这种方法，请看下面的一个问题：

请判断命题“如果a>b，a>c，那么b=c”是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出一个反例.

生27：这个命题是假命题，比如：a=5，b=2，c=1，虽然满足a>b，a>c，但b≠c.

师：很好，举的例子具备命题的条件，而不符合命题的结论，这一个反例就足以说明该命题是假命题了.

点评 通过对真假命题的学习，让学生初步掌握了判断假命题的方法，并使学生进一步明白一个命题是假命题，只要举一个“反例”就可以了，而要说明一个命题是真命题，无论验证多少例子都无法保证它的正确性，从而说明了证明的重要性，为后续学习做了铺垫.

六、归纳小结，反思提高

师：快下课了，能不能说一下你们这节课学到了什么？

生28：我们这节课学习了定义和命题的这两个概念，并且知道了它们的叙述形式和结构形式以及如何区分命题的条件和结论.

生29：还有真假命题以及判断假命题的方法，也就是举反例.

师：定义和命题这两个概念之间有什么内在联系吗？定义是命题吗？

生30：定义是命题，而且是真命题.

师：命题是定义吗？

生31：命题不一定是定义.

师：这几位同学都是从知识的层面谈了自己的收获，哪位同学能从技能的层面来谈谈？

生32：学习命题时，我们是仿照着定义的相关内容来学习的，这样，通过这个内容的学习，我掌握了类比的思想.

生33：通过小组合作学习，增强了我与其他同学之间的合作意识，不但掌握了知识，还学会了与他人交流，提高了自己的能力.

师：这六位同学说得真好（掌声），成功既要有个人的努力，更需要集体的智慧，只要我们齐心协力，一定能取得更加优异的成绩.下面，老师想通过一副对联来概括一下这节课，上联：下定义让我们的世界规范，和谐；下联：提命题让我们的社会发展，进步；横批：定义是命题.

点评 通过课堂小结，使学生对定义、命题等概念有更清楚的认识，让学生在头脑中对本节课进行系统的归纳与整理，进一步理解定义与命题以及它们的区别和联系，从而完成知识的内化与升华.

七、分层作业，内化新知

1.必做题：

习题51第1、2、3题；

2.选做题：

请查阅费尔马数、相亲数、圣经数、回文数、正直数的定义，并谈谈你的体会！

点评 必做题发展学生知识整合的能力，选做题让不同层次的学生得到不同的发展.

总评 卢老师展示的精彩课堂给我们留下了深刻的印象，总的说来，体现了如下几个方面的特点：

1.情境的创设更加注重联系实际

卢老师情境的创设更加注重联系实际，符合数学内在发展的逻辑线索，起到了很好激趣的作用.也就是说，小学生把家长的“政治面貌”填成“圆形脸”，这个看似好笑的趣事实质上是由于小学生对某些名称或术语缺少共识而造成的认知冲突，进而让学生会到在数学学习中下定义的重要性，由此导入新课.

2.关注学生主体的意识有了明显的提高

卢老师能根据学生的实际情况，注意留给学生以自主活动的空间，让学生要么思考探究，要么实践练习、要么合作交流，从而让学生有表现自我和自主发展的机会.从课堂表现来看，卢老师通过自然、亲切语调，循循善诱，让学生在学习过程中得到充分的尊重，体现了学生的主体地位.

3.重视数学思想方法的渗透

数学教学中注重思想性，引导学生领悟数学本质，体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理训练，不但引导学生归纳知识结构，而且要从数学思想方法的高度来进行概括和总结.卢老师在这个方面做得比较好，比如她把“命题”学习的方式方法与“定义”学习的方式方法进行了类比，取得了良好学习效果.

4. 超强的课堂驾驭能力使数学课堂充满魅力

课堂驾驭能力是一个老师组织能力的体现[3].这节课，卢老师显示了超强的课堂驾驭能力，她通过简洁与精炼的语言表达，有效地组织教学，使课堂魅力增色不少.在教学评价方面，卢老师通过适度的表扬调动学生学习的积极性，不时送给回答精彩的学生以阵阵掌声，让学生享受到成功的喜悦.

虽然亮点纷呈，但反思卢老师的课堂教学，感觉某些教学环节还是不同程度地反映出一些问题，需要我们今后去改进，那就是：对于合作交流过程不是能完全放得开，感觉不是很到位；对于学生判断过程中出现的问题应彻底放手让学生评析，教师不用作过多的评价，应该相信学生能有很好的表现.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]义务教育课程标准修订组.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解讀[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]方均斌.中学数学教学论[M].成都：四川大学出版社，2005.endprint