巧造原函数解抽象不等式

江凯榕

摘   要：自导数进入高中数学的教材后，高考题中出现了条件含有导函数与原函数的不等关系的一类题，这类题一般求解的也是不等式或是求范围等的问题.在课堂教学中通过专题案例分析，构造函数，层层深入，有助于学生对这类问题的理解。

关键词：导数;不等式;原函数;

1  利用导数运算法则构造函数

在必修一中，我们就已经掌握了解决抽象不等式问题的一种常规方法，也就是将不等式转化为与之对应的函数，再利用函数的单调性进行求解.而函数导数的符号与函数的单调性直接相关。题目中的这些含导不等式大多都是反映某个原函数的导数符号，隐性地给出某原函数的单调性.下面我们给出对这类问题总结的一堂课的实录与思考。

【例题1】（2015全国高考II卷12题）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）>0，则使得函数f（x）>0成立的x取值范围是（）。

A.（-1，0）∪（1，+∞）         B.（-∞，-1）∪（0，1）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞）     D.（-1，0）∪（0，1）

解析：这是一道高考原题，要解决这类问题，就要引导学生从题目中的条件“xf'（x）-f（x）>0”入手，分析出这个不等式所蕴含的结论，这是解答本题的难点。

师：解决这道题的关键在哪里？

生：对条件xf'（x）-f（x）>0的理解。

师：对本道题的条件xf'（x）-f（x）>0同学们有什么想法？

生：可以从此不等式的结构特征中发现它符合两个导函数除法公式中的分子的结构。

师：那么你们可以构造出这个式子的原函数吗？

生：是由f（x）与x相除组合来的，可以假设g（x）=，此时g'（x）的分子就是题中的不等式，而分母是一个平方项，因此g'（x）的符号是确定的。

师：我们将g（x）称为原函数，那么你们可以得到关于它的更多的性质吗？

生：可以求出原函数的单调性、奇偶性、零点，从而大致掌握原函数g（x）的图象。而要求的是f（x）>0的解集，又由构造知f（x）=xg（x），因此可以由x与g（x）的符号变化判断出f（x）>0的解集。

师：本题蕴含着函数、方程的思想，很好的体现了导数的工具性。感受如何结合已知不等式结构，通过类比、联想、验证等数学思想方法构造与不等式相关的函数，从而解决所求不等式的问题[ 1 ]。

2  结合y=ex考虑导数运算法则构造函数

【例题2】已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）>f'（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（）。

A.e2015·f（2016）>e2016·f（2015）

B.e2016·f（2016）=e2016·f（2015）

C.e2015·f（2016）

D.e2015·f（2016）与e2016·f（2015）大小不确定

师：这次我们的入手点依然是含有导函数的条件“f（x）>f'（x）”，与上一题相比有什么不同？

生：需先對f（x）>f'（x）进行变形得到f（x）-f'（x）>0，这样的形式能得到含导函数式子与0的大小比较，也有助于构造出原函数。

师：根据导数除法的原理，因为1的导数不可能是1，这个式子是绝对不能直接符合导函数加减法后的结果的。那么能找到一个函数，使得它的原函数和导函数是一致的吗？

生：y=ex可以符合要求，那么可以看成原式f（x）-f'（x）>0同时约去了ex。那我们将其补上变成exf（x）-exf'（x）>0，此时式子就拥有了导数的意义，即

师：非常好，那么我们构造了一个函数g（x）=，它的导数的符号为负，从而由它的单调性可知g（2015）>g（2016），得出正确选项是C。

3  利用复合函数的导数运算法则构造函数

【例题3】已知f（x）是定义在R上的可导函数，若在R上3f（x）>f'（x）恒成立，且f（1）=e3（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）。

A：f（0）=1     B：f（0）<1     C：f（2）e6

生：本题依然要把式子移项变形为3f（x）-f'（x）>0，同上题，将式子两边同乘ex，得到3exf（x）-exf'（x）>0，但是此不等式依然不具有构造函数导数的意义。

师：非常棒，这类题目虽然千变万化，但是你已经抓住了它的规律。我们可以把方法总结为：第一步，移项变形，使得不等式的右边为0;第二步，抓等价转化，利用恒等变形将目标进行适当的转化;第三步，将不等式的左边看作是某一个函数的导数，还原出导数的原函数。 那么我们思考3exf（x）-exf'（x）>0中的唯一的系数3是怎么由求导得到的？

师：我们发现函数结构不变，多出的系数可能是由复合函数产生的。给出原函数熟练地求出导函数是我们需要掌握的基础知识，但本类问题需要大家根据观察到的式子特征，逆向思维，由含导不等式变形转化，最终联想到它的原函数是由什么基本初等函数或复合函数构造而成的[ 2 ]。再利用构造出的原函数的导数符号，明确函数单调性，来解不等式或比较大小等。

4  掌握运算法则与规律，灵活构造函数

（1）逆用导数加减法法则 （不等式为导函数与常量或变量的和与差）。

综上，构造原函数来解决问题是解决函数、不等式、数列等问题的一种基本方法，需要综合地分析问题与解决问题的能力，同时还需要有直观想象、数形结合等多种数学素养和思想方法.构造函数是一种创新思维，对能力的要求较高，需要在解题实践中不断积累经验，且学且悟[ 3 ]。

参考文献：

[1]鲍远春.构造原函数，利用导数解决一类函数题[J].课堂内外.教师版，2018（11）.

[2]浦丽俐.以微专题的形式评讲作业-以构造原函数题型为例[J].中学数学月刊，2017（9）.

[3]孙玉才.构造函数，巧解题[J].中学数学（高中版）上半月，2018（2）.