电容器对交流电路动态变化的影响探讨

徐地虎 庄勇飞

摘   要：电容器具有通交流、阻直流的特性，在含交流电源电路中电容器不断地进行充电和放电，宏观上表现为交流“通过”了电容器。电容器在通交流电时具有容抗，且电容器两端的电压与电流存在相位差。文章通过交流电路分析，得到容抗的表达式，分析影响容抗大小的因素，得出电压和电流之间的相位關系，并与纯电阻电路进行对比，最后分析电容器对交流电路动态变化的影响。

关键词：电容器;交流电路;动态变化;相位

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）3-0059-4

1    问题缘起

从江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考第5题说起。

案例：如图1所示，电源为交流恒压源，即无论电路中的电阻如何变化，接入电路的交流电压始终保持恒定。R1、R2阻值保持不变，理想交流电压表■与理想交流电流表■的示数分别为U、I。当恒压交流源的频率变大时，理想电压表■与理想电流表■的示数变化量分别为ΔU、ΔI，下列说法正确的是（）

A. ■=R■

B. U变大，I变大

C. 灯泡变暗，I变小

D. ■=R■+R2

参考解答：恒压交流源的频率变大，根据容抗的表达式XC=■可知，容抗变小，电路的总阻值变小，干路中的电流增大，U变大，R1两端的电压变小，电流表读数变小，通过灯泡的电流增大，B、C选项都错;根据闭合电路欧姆定律ε=U+IR1可知，■=R■，答案选A。

在参考解答中，交流电源的频率增大，电容器的容抗减小，其他的分析过程与直流电路分析过程类似，相当于在直流电路中滑动变阻器阻值变小，但并没有考虑到容抗对应的电流与电压之间的相位关系，正是这个原因导致答案出现问题。

2    电容器的容抗

定义：电压有效值和电流有效值之比，叫作电路元件的阻抗。电容器对应的比值叫作容抗。

图2所示为只有交流电源和电容的纯电容电路，交流电压为U，电容为C。设电路中的尺寸为l，交流电源频率为f，光速为c，若满足

■<<■（1）

则可认为电路对电源变化的响应几乎不需要时间。在这种近似下，电流将随电源电动势同步变化，（1）式称为似稳条件。以下研究的电路都满足似稳条件。

设所加交流电的交变电压为

u=U0cosωt（2）

根据闭合电路欧姆定律，电容器两端电压满足

u=■（3）

q为电容器所带电荷量，则电路中的电流可写为i=■（4）

q增大时，dq>0电容器充电;q减小时，dq<0，电容器放电。将（2）（3）式代入（4）式有

i=U0ωCcos（ωt+■）=I0cos（ωt+■）（5）

电压与电流最大值之间的关系有

U0=I0■=I0XC（6）

有效值对应关系为

U=I■=IXC（7）

其中

XC=■=■（8）

称XC为容抗，单位与电阻的单位相同，也是欧姆。从（8）式可以看出，f越大， XC越小，电容器通交流电;f越小，XC越大，极限情况是f=0，此时为直流电，XC→∞，即电容器阻直流电。

与此同时，比较（2）和（5）式可以发现，电压与电流的相位不同，电容器上的电压相位相比“流经”电容器的电流的相位落后■，电流与电压随时间变化的图像如图3所示。将该结果与纯电阻电路进行对比。

如图4所示的纯电阻电路，电路中电压和电流服从欧姆定律，若交流电压依然如（2）式所示，则

i=■cosωt=I0cosωt（9）

其中I0=■，电流、电压有效值满足

U=IR（10）

可以看出，从最大值与有效值表达式上看，R与XC作用相当，但在纯电阻电路中，电阻两端的电压与电流相位相同，这与纯电容电路有差别。正是由于这种差别，影响了含容交流电路的动态变化分析。为此，可以利用求解电路的总阻抗对电路做进一步分析。

3    电容器与电阻串联的总阻抗及矢量图解法

如图5所示为电阻与电容组成的串联电路，分析电路的总阻抗。

分析：根据以上对电容器的容抗和电阻的分析可知，若是纯电阻串联或纯电容串联，电阻相加或容抗相加即可，但在电阻与电容串联的电路中，两者在两端的电流与电压的相位关系有差别，不能直接相加，需要重新计算。由于串联电路中各处的电流是相同的，可设电流的表达式为

i=I0cosωt（11）

根据（2）（5）（9）式可知，电阻、电容器两端的电压分别为

uR=I0Rcosωt，uC=I0XCcos（ωt-■） （12）

串联电路的总电压为

u=uR+uC=I0■cos（ωt-φ）（13）

其中

tanφ=■（14）

比较（11）与（13）式，电压相位比电流相位落后φ，电路总阻抗为

Z=■                        （15）

正是由于电阻与容抗特点的不同，导致电路的总阻抗满足（15）式，而不是直接代数相加，这也决定了电路中各处的电压和电流分布与直流电路分布的不同。

利用矢量图解法能更直观地描述电压与电流之间的相位关系。电流或电压的瞬时值可对应于某矢量在X轴或Y轴的投影。如（12）式所示，uC=I0XCcos（ωt-■）=UC0cos（ωt-■），可对应于■■的矢量以角速度ω逆时针旋转，UC为该矢量在X轴上的投影，ωt-■为相位;uR为uR=I0Rcosωt=UR0cosωt，对应于■■的矢量以角速度ω逆时针旋转，但相位始终比■■超前■，则串联电路中总电压可先求该两个矢量之和，再在X方向投影。将零时刻各矢量放在同一矢量图中，如图6所示，其中电流始终与电阻两端电压同相位，tanφ=■，■以角速度ω逆时针旋转，总电压U为■在X轴上的投影。则电压有效值U=■■，电流有效值I=■I0，根据阻抗的定义可知，电路总阻抗就是（15）式所示。

同样，根据并联电路中用电器两端电压相同，利用矢量图解法，可求得电容器与电阻并联后的总阻抗

Z=■   （16）

讀者可自行画矢量图推导。

根据以上的分析可知，当交流电路中含电容器时，由于电容器两端电压与“通过”电容的电流相位不同，不能简单地利用电阻串并联方法计算总阻抗，利用矢量图解法可以有效、直观地反映电流与电压之间的相位关系，从而可以进一步分析含电容器交流电路的动态变化问题，继续以案例为例进行分析说明。

4    含交流电源电路中电容器对电路动态变化的影响

电路结构如图1所示，设“通过”电容器的电流为iC=IC0cosωt，则灯泡与电容器的电流、电压矢量关系如图7（a）所示，设灯泡的电阻为RL，则tanφ1=■;根据并联关系可知R1两端的电压也为U1，电流中的总电流与各支路之间的电流关系如图7（b）所示，图中■■=■，tanφ■=■;R2两端的电压与通过R2的电流同相位，电路中的总电压与各处电压的关系如图7（c）所示，其中tanφ3=■。

分析电路的动态变化。电路总电压U0恒定，ω增大，XC变小，φ■减小，φ■减小，■20增大，■10减小，■20减小，电流表与电压表测量的是有效值，可知电压表示数增大，电流表示数减小。从以上的矢量图分析可知，R2两端电压与通过R1的电流有相位差，大小关系较复杂，不是简单的线性关系，A、D选项都不正确，此题无正确答案。参考分析中利用ε=U+IR1，事实上ε、U与I相位不同，已不能直接进行简单的代数计算。

因此，在分析含容交流电路的动态变化问题时，根据容抗的变化情况，一般定性分析电路中的电流、电压变化是比较可靠的，但是当要定量计算电路中的电流、电压关系时，则需要考虑电容器两端电压与“通过”电流相位的不同带来的影响，计算相对比较复杂，高中学生不要求掌握，所以在研制相关考题或训练题时应加以考虑。

5    小  结

电容器具有通交流、阻直流的导电特性，容抗XC=■=■，随交流电的频率变化而变化，f越大容抗越小;与此同时，电容器两端的电压与“通过”电流存在■的相位差，这也导致在计算电路总阻抗时不能与电阻阻值直接代数相加。在处理含电容器的交流电路动态变化时，定性分析电路中的电流、电压变化是比较可靠的，但要定量计算电路中的电流、电压变化关系时，则需要考虑相位带来的影响，利用矢量图解法可以有效、直观地分析电路中各部分的电流与电压的相位关系。

参考文献：

[1]程稼夫.中学奥林匹克竞赛教程·电磁学篇[M]. 合肥：中国科学技术出版社，2014.

[2]赵凯华，陈熙谋. 电磁学（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

（栏目编辑    罗琬华）