聚焦主干内容 考查关键能力

宋展添

摘   要：文章从试题评析、一题多解、题目溯源、教学启示等角度去分析高考真题，寻找高考真题对实际教学的指导意义。

关键词：高考试题;试题评析;解法探究;题目溯源

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）12-0035-4

1    高考试题呈现

（2019年高考全国Ⅰ卷，21题） 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a與弹簧的压缩量x间的关系如图1中的实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图1中的虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（      ）

A.M与N的密度相等

B.Q的质量是P的3倍

C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍

D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍

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图1  a-x图

2    试题评析

此题以物体自由下落压缩弹簧为原始模型，是一个比较复杂的过程。题目涉及到运动情况的变化、受力的变化等，要求学生根据物理过程的发生和变化情况进行建模;根据物理模型、物理条件选择合适的物理规律解题。题目给出下落过程中物体的加速度与弹簧压缩量之间的关系图像，利用图像呈现丰富的物理信息，增加了试题信息的广度。考生要能够从图像中获取信息，建立不同信息之间的联系，才能构建正确的物理图景。考生要根据a-x图，结合受力分析、万有引力定律、功能关系、动能定理、牛顿运动定律等综合分析判断。这是一道遵循考试大纲，又聚焦主干内容的好题。

此题考查了考生的理解能力、推理能力、应用数学处理物理问题的能力，既凸显了物理学科的特点，又强化了考生的关键能力。

3    解法探究

3.1    A、B选项的解法

（1）解法一：解析法

设弹簧的劲度系数为k，对物体进行受力分析，如图2所示。

根据牛顿第二定律有：a=■

解得a=-■x+g（1）

由（1）式可知，a-x图的斜率为-■，纵截距为g，结合a-x图有：mp=■，mQ=■，gM=3a0，gN=a0 。

因此，■=3， ■=6，知B选项错误。

在星球表面有：G■=mg

因此，■=■=27

星球体积：V=■πR3

因此，■=■=27

星球密度ρ=■，联立可得：■=■=1。因此，A选项正确。

（2）解法二：特殊位置法

设弹簧的劲度系数为k。根据a-x图，当x=0时，物体只受重力，物体的加速度为aP=3a0=gM，aQ=a0=gN。

当a=0时，物体处于平衡状态，有：

mPgM=kx0，mQgN=2kx0

联立以上式子，得■=6。所以，B选项错误。

A选项的解法与解法一相同。

3.2    C选项的解法

（1）解法一：动能定理

利用ma-x图围成的面积求合外力做的功。

根据a-x图，画出ma-x图，如图3所示。

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图3  ma-x图

根据W=FScosθ可知，ma-x图围成的面积等于合外力对物体做的功。

合外力对物体做的功：

W■=■×3m■a■×x■=■

W■=■×mQa■×2x■=mQa0x0

当a=0时，物体的动能最大，根据动能定理，EkP=WP，EkQ=WQ

所以，■=■=■=4，即C选项正确。

（2）解法二：能量守恒

设弹簧的劲度系数为k。当a=0时，物体的动能最大。

压缩量从0～x0过程中，P和弹簧组成的系统能量守恒：mPgMx0=EkP+■kx■■

又 mPgM=kx0，因此EkP=■kx■■

压缩量从0～2x0过程中，Q和弹簧组成的系统能量守恒：2mQgNx0=EkQ+■k（2x0）2

又mQgN=2kx0 ，因此EkQ=2 kx■■，得■=4。因此，C选项正确。

（3）解法三：图像法

当a=0时，物体的动能最大。

根据v2=2ax，a-x图围成的面积等于■，可得：■=■，■=a■x■

所以，E■=■m■v■■=■

E■=■m■v■■=mQa■x■

即■=■=4。所以，C选项正确。

3.3    D选项的解法

（1）解法一：能量守恒

设弹簧的劲度系数为k。当物体的速度为零时，弹簧达到最大压缩量。

从开始压缩到最大压缩量，P和弹簧组成的系统能量守恒：mPgMxP=■kx■■

又mPgM=kx0，知xp=2x0

从开始压缩到最大压缩量，Q和弹簧组成的系统能量守恒：mQgNxQ=■kx■■

又 mQgN=2kx0，得xQ=4x0，即■=2。所以，D选项错误。

（2）解法二：动能定理，用平均力求变力做功

弹簧的弹力（F=kx）与位移成线性关系，平均力F=■=■

从开始压缩到最大压缩量，弹簧的弹力对物体做的功W=-Fx=-■

根据动能定理，有mgx+W=0-0。联立式子，得x=■

所以，xp=■，xQ=■，得■=■=2。

即D选项错误。

（3）解法三：简谐运动

物体P和Q分别在弹簧上做简谐运动，在平衡位置（a=0）时的压缩量即为物体振动的振幅，由a-x图可知，物体P和Q的振幅分别为x0和2x0。

因此，物體P所在弹簧的最大压缩量为2x0，物体Q所在弹簧的最大压缩量为4x0。即物体Q下落过程中弹簧的最大压缩量是物体P的2倍。所以，D选项错误。

4    题源追溯

（人教版教材必修二第80页课后习题1） 把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图4甲所示。迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C（图丙），途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态（图乙）。已知B、A的高度差为0.1 m，C、B的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气阻力均可忽略。

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图4  小球压缩弹簧运动

（1）分别说出由状态甲至状态乙、由状态乙至状态丙的能量转化情况。

（2）状态甲中弹簧的弹性势能是多少？状态乙中小球的动能是多少？

（2016年Ⅱ卷第21题） 如图5，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<■。在小球从M点运动到N点的过程中（      ）

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图5  题目示意图

A.弹力对小球先做正功后做负功

B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度

C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零

D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差

5    教学启示

5.1    旧模型也能考出“新花样”，应注重变式训练

物体下落压缩弹簧是一个既旧又经典的模型，在平时的教学中此类习题也做得相当多。在此题中以旧模型为载体，考出了“新花样”。它将学生熟悉的情境转移到了不同的两个星球上，而且是两个不同的物体压缩一样的弹簧，这一转变相信会让很多学生无所适从。笔者认为，此题是选择题中难度较高的一题，得分情况应该不太理想。

这个情境来源于课本（人教版教材必修二第80页课后习题1），却又高于课本，这就提醒我们在教学中要取材于课本，以课本的物理模型为载体，进行变式教学。

5.2    既要注重数理结合，也要重视数形结合

回顾物理学的发展历史，物理理论和物理规律的建立、验证和发展都离不开数学。考试大纲中也明确提出学生要具备应用数学处理物理问题的能力。在今年全国Ⅰ卷中就有3道数形结合的题目，所占分值很高。因此，在教学中既要注重数理结合，也要重视数形结合，培养学生用几何图形、函数图像、函数表达式等数学工具来解决物理问题的能力。

本题中分析出图像的斜率、截距、特殊点等代表的物理意义，也是解决此题的突破口。

5.3    重视对变力做功及弹簧弹性势能表达式的推导过程

弹簧的弹力属于变力，求解变力做功是一个难点，也是平时教学中容易忽视的点。在人教版必修2的教材中专门有一节内容介绍弹簧弹性势能表达式推导的内容，通过推导弹簧的弹力做功来得出弹性势能的表达式，推导过程中用到了微元法。在实际的教学中，多渗透这种方法，既能提高学生的数学能力，又能让学生遇变力而不慌。

参考文献：

[1]陈显盈，仇焕敏，尤爱惠.考查图像物理意义，培养学科核心素养[J].物理教师，2018，39（12）：86-87.

[2]郭雪鹏.学习物理须重视数学——从2017年高考题谈起[J].物理教学探讨，2018，36（2）：40-41.

（栏目编辑    陈  洁）