基于核心素养的圆锥曲线离心率问题分析

陈耀

[摘 要]圆锥曲线离心率问题是取值范围问题中的一个典型，也是新课改背景下解析几何问题的一个考查重点。结合一些实例，给出求解圆锥曲线离心率的几种常用方法和所运用的求解策略，并借此谈谈如何在培养学生能力的同时，落实学生的数学核心素养。

[关键词]高中数学;核心素养;取值范围

圆锥曲线离心率问题是解析几何的重点知识，也是历年高考的宠儿，如何在当下高中数学考查中，并在“核心素养”的背景下，做好该知识点的梳理，就显得尤为重要。圆锥曲线离心率问题的命题涉及面很广，有以考查圆锥曲线几何性质为主的;有以考查直线与圆锥曲线关系为主的;有以考查知识交汇为主的。总之，关于离心率问题的考查综合性较强，解题过程中主要涉及函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等重要数学思想的考查，及涉及教师对学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算等数学核心素养的培养。既然考试大纲中明确提出了核心素养，在试题中就势必会予以呈现，如何把握此类问题的求解的“命脉”，下面笔者将结合典例来谈谈求解离心率的常用方法和策略。

一、直接法

二、利用圆锥曲线的性质

三、利用平面几何的性质

四、利用三角函数

五、利用方程根的判别式见上例。

六、利用基本不等式

七、利用特定参数的范围

【评注】根据已知条件，进行合理推导，得到[e]与参数[λ]之间的函数关系，将问题转化为已知值域求定义域的问题，或者就是已知定义域求值域的问题，比如例4的解析1和另解，都是将求[e]问题转化为已知定义域求值域問题来处理。而且本方法中所谓的“参数”，可以是已知给的，也可以是默会的，比如当[θ∈R]时，[sinθ≤1]、[cosθ≤1]的三角有界性知识;对于任意的实数[a]，[a2≥0]恒成立的非负数性质等。通过此法可培养数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。

综上所评，关于圆锥曲线离心率问题，关键是寻找一个关于三个基本量[a]、[b]、[c]的关系式，或方程或不等式，然后将其转化为含离心率[e]的式子，进而求其值或其范围。在上述所涉及的七种解法中，我们主要用到的策略是定义分析策略;几何性质分析策略;位置关系分析策略;构建函数策略;数形结合策略。这里结合例3的几种解法来谈谈几种策略的应用，例三的第一种解法是先运用定义分析策略，利用双曲线的定义得到[PF1]与[PF2]的关系，然后用几何性质分析策略，结合图形分析其几何性质，利用图形中体现出的位置关系建立与离心率[e]相关的不等关系;或者画出相应图形后认真观察分析，运用数形结合策略，巧妙地引入合适的参变量，用构造函数策略列出相关的解析式，求[e]的取值范围，解法虽异，但最终都有异曲同工之妙，体现了多种解题策略融合的优势。

从命题者“考”的角度分析，上述典例涉及对学生多种数学核心素养的考查，如何能够命出更优的试题，来考查核心素养是他们的当务之急，就圆锥曲线离心率问题而言，命题者应特别加强对数学运算素养的考查，重视对通过各策略简化运算、优化思维进行考查.从教师“教”的角度分析，教师应结合上述多种解法及策略，在方法讲解中更要注重过程，将以往的“知识导向”变为“素养导向”，让学生体会在自主或者协作思考中获得策略的喜悦，教师在学生喜悦中培养学生的解题技巧和能力，并同时关注对学生相关数学核心素养的落实，比如“翻转课堂模式”“先学后教模式”“以问导学模式”“本真教学模式”等，都是教师们在探求培养核心素养的教学模式中所做的尝试。从学生“学”的角度分析，应该把圆锥曲线离心率问题的这些解法特别是解题策略，类比、创造性地应用到其他知识点的学习中，主动地配合好教师的“导”，以此来做好自身的“学”，在提高自身解题能力的基础上，有意识地从中体会命题者如何考查“核心素养”，如何更好应对新课改带来的挑战，真正打通自身“任督二脉”，做一名真正具备核心素养的学生。

[参 考 文 献]

[1]王剑红，杨素芳.巧用圆锥曲线定义解题[J].吕梁高等专科学校学报，2007（3）.

[2]曾晓阳.圆锥曲线离心率取值范围的几种求解策略[J].福建中学数学，2011（4）.

[3]赵建勋.圆锥曲线第二定义解题例说[J].中学生数理化高二版，2006（11）.

（责任编辑：张华伟）