不妨从“整体”来思考

胡剑

[摘 要]  从整体出发来思考，在单元复习、期末复习中得到很广泛的应用。在解决实际问题时，也可以培养学生用整体的眼光来看问题，用整体的思维来解决问题，“整体”思维是一个非常有效的解题策略。

[关键词]  小学数学;整体思维;解题策略

整体思维又称系统思维，它认为整体是由各个局部按照一定的秩序组织起来的，要求以整体和全面的视角把握对象。我们在平时的教学中，经常会用到整体思维的方式，比如在单元复习中，遵循的就是“整体—部分—整体”的学习模式，“整体”把握单元知识结构，“部分”研究各个知识节点，再“整体”理顺单元知识脉络，而期末复习中着眼的整体又是全册，部分是个单元。“智慧数学”创始人江苏省特级教师陈士文先生指出：“世界是一个有联系的整体，我们的教材设计要从整体出发，在知识的来龙去脉中培养学生整体的眼光、整体的思维，感悟智慧的生长。切忌‘斩头去尾烧中段，把对世界的整体认识切割成一道道琐碎的提问，而缺少宏观的思考。”[1]

其实，在解决实际问题时，培养学生用整体的眼光来看问题，用整体的思维来解决问题，也是一个非常有效的解题策略。有一道很有意思的题目：小明和小敏家相距1200米，两人打好电话相约一起出发。小明牵着一只小狗从家出发去见好朋友小敏，小明每分钟50米，小敏每分钟70米，小狗和小敏也很熟，一出门就以每分钟240米的速度奔跑过去，小狗遇到小敏后立即返回奔向主人，遇到小明后又奔向小敏……一直到小明和小敏相遇了才停了下来。问小狗一共跑了多少米？一位大学毕业的实习教师看到题目说小狗与小敏的相遇是动态的，可以用微积分来解决，可立马又说可以整体来看，不去考虑中间的相遇状态，只要先求出小明与小敏的相遇时间，这个时间就是小狗来回跑的时间。从一开始下意识用微积分来思考，到用“整体思维”，成人的思考方式的转变已经说明了策略上的繁简和优劣。用“整体”思考的方式，也是一种解决问题的好策略，下面是笔者在教学中应用“整体”思维方式解决问题的一些思考。

一、整体思考：不考虑中间狀态

【案例一】苏教版数学四年级上册P17有一道这样的题目：

如果按照常规思路，3只小猴轮流抬西瓜，分别编序号A、B、C，先AB、再AC、再CB，示意图如下：

但要画出这个示意图，对于小学生来说，是有一定难度的，班级里只有少数学生才画得出来。于是，笔者这样来设计教学过程：

【片段一】

师：假设这个大西瓜就只有2只小猴在抬，到家时一只小猴一共抬了多少米？

生：走完全程一只小猴抬了300米。

师：2只小猴呢？

生：300×2=600（米）

师：也就是说，要想把这只西瓜抬回家，两只小猴一定一共抬600米。2只小猴所走的路程是一个整体，这个整体（总量）是不会变化的。现在多了1只小猴，不是2只，而是3只了，所行的总量还是一样的，只要把这600米平均分配一下就可以了。

生：老师我知道了，整体考虑，总量不变，再平均分。300×2÷3=200（米）

【片段二】

师：还是这只西瓜，现在是4只小猴来轮流抬，平均一只小猴抬多少米呢？

生：300×2÷4=150（米）

师：5只小猴来抬呢？

生：300×2÷5=120（米）

师：能看出什么规律？（什么变什么不变）

生：行的总路程不变，平均分摊的份数变了。

师：以后遇到这样的题型怎么做？

生：总路程÷总份数就可以了。

师：我们再做一道题，爸爸买了一辆私家车，还配有一只备用轮胎。爸爸打算带全家去距离2000千米的西藏自驾游，考虑到对轮胎的磨损，打算用上备用轮胎。问平均一只轮胎走了多少千米？

生：2000×4÷5=1600（千米）

波利亚关于怎样解题的四个步骤，即①问题的理解，②制定计划，③计划的实施，④结果的反馈。[2]设计这两个教学片段，老师的意图非常明显，就是引领学生对这一类题目进行思考，怎样有效地来解决问题。【片段一】是基于对问题的理解，帮助学生从整体出发来思考问题，建立“整体思维”：这道题的中间过程比较复杂，但整体来看，不管是哪两只小猴来抬，所行的总路程是不变的，要先求到实际发生的路程是多少米，再去除以一共分摊的小猴数，这是教学的第一层次，教会学生会做这道题;【片段二】是实施阶段，并对整体思维的一个巩固并延伸，这是非常必要的，授之以鱼不如授之以渔，这是笔者安排教学的第二层次。仅仅会一题是不够的，把3只小猴来抬变成4只、5只……让学生明白，总路程是不变的，改变的只是平均分摊的小猴数，仍然是从整体出发来思考，实际上只是除数发生变化。而后面补充练习是对知识的延伸，这样的题型经常会遇到，都可以用这种思维方式。对于这类问题，引导学生不要机械地、按部就班地去解题，从整体出发，不考虑中间状态，是一种非常有效的方法。

二、整体思考：不要急着计算

【案例二】

师：下面是一个4×3表格，第一行和第一列的数是已知的，空格的数是它所在行的第一个数与它所在列的第一个数的乘积。求下表中所有数的和是多少？

[1 3 5 7 7 12 ]

生1：比较简单，一个个数先算结果，再把这些数都加起来。

生2：这样要加12个数，太复杂了。可以利用乘法分配律来算。先算已知数的和，1+3+5+7+7+12=35;再算第二行空格的数，7×（3+5+7）=105;再算第三行空格的数，12×（3+5+7）=180;最后全部加起来，35+105+180=320。

生3：老师，我发现了，还可以再简单些。第二行可以把自己加进去的，7×（1+3+5+7）=112;第三行也是，12×（1+3+5+7）=192。再把三行的结果全部加起来，16+112+192=320。

师：同学们的方法在一步步改进。我们先不要着急去计算。

随着老师的一句“先不要着急去计算”，缓下节奏，重新进行梳理。乘法分配律是苏教版数学四年级下册学习的一个重要运算律，运用运算律对这道题进行理论上的分析，给学生以理论的支撑。用字母a、b、c、d表示第一行的四个数，a、e、f表示第一列的三个数。

第一行求和：a+b+c+d=a×（a+b+c+d）;

第二行求和：e×a+e×b+e×c+e×d=e×（a+b+c+d）;

第三行求和：f×a+f×b+f×c+f×d=f×（a+b+c+d）

所有這些数的和：（a+e+f）×（a+b+c+d）

此时，学生会明白，根据题目要求，这些数的和其实就是第一行的数之和与第一列的数之和相乘。此题可以这样算：（1+3+5+7）×（1+7+12）=16×20=320。

“在小学数学的教学中我们仍然要求学生在可能的范围内作出必要的论证，因为，这正是促进学生思维发展、特别是逐步形成一定的理性精神与批判能力的一个重要手段，包括逐步养成良好的学习习惯”。[3]所以，我们要完成这么一个推导过程。等一等，不急着去计算，其实就是一种整体考量，一个大整体呈现，来发现里面的细节，在这道题里，乘法分配律是总基调，如何更好地利用这个运算律，这就要着眼于整体了。从整体去思考，有效地把“大”计算化解为“小”运算了。我们还可以对此题进行加固，表格可以改为：6×5、10×8……，算理上都是一样的。

又如，在学习圆周率相关计算时，为了提高计算速度，相信很多学生背了不少数据，1π=3.14，2π=6.28，3π=9.42……有的甚至背到20π，其实大可不必，从整体来考虑，不要急着去计算，也起到很好的效果。如：把一个底面半径为6厘米、高为8厘米的圆柱体铁块，可以铸成多少个底面半径4厘米、高为3厘米的圆柱体铁块？很多学生拿到题目闷头就算：先算大圆柱体的体积：3.14×6×6×8=904.32立方厘米，再算小圆柱体的体积3.14×4×4×3=150.72立方厘米，最后再求大体积里有几个小体积：904.32÷150.72=6（个），学生们做错了吗？没有，但算得很辛苦。计算量很大，任何一个计算环节都不能出现差错，否则前功尽弃。可以这样来列式：

（π×6×6×8）÷（π×4×4×3）=[π×6×6×8π×4×4×3]=6（个）

这里，圆周率π与其他数据融合在一起，一直没有去“动”它，特意保留到最后，能约分的先约分。因此，在处理圆周率的相关计算时，让学生养成从整体来把握，保留π到最后的习惯，大大地提高了计算的时效性。

从“整体”着手进行思考，把握整体思维，远远不止上面所述，寻找解决问题的策略，遵循的是“快捷”和“有效”“引导学生积极地去寻找更为简单、更为迅速的算法和解题方法，更加方便、更为实用的表征方法，更具有普遍性的结果”。[4]新课程标准要求学生领悟“基本思想”，积累“基本活动经验”，这对于培养学生的“整体”思维，起到了很好的推动作用。

[参 考 文 献]

[1]陈士文.“智慧数学”的内涵及特质[J].江苏教育，2011（10）：7-8.

[2]张兴华.儿童学习心理与小学数学教学[M].南京：江苏教育出版社，2011（7）：224.

[3]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2012（9）：146.

[4]郑毓信.数学教师的三项基本功[M].南京：江苏教育出版社，2011（9）：89.

（责任编辑：李雪虹）