核心素养视域下变式策略在初中数学命题教学中的应用

王霞

[摘 要]  初中数学命题教学应立足核心素养，有效运用变式策略，从命题的发现、证明和运用方面，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等学科素养。

[关键词] 初中数学;变式策略;命题教学;核心素养

数学命题是表示数学对象性质或关系的判断语句。初中阶段的命题学习主要是指对定理和公式的学习。定理公式具有言简意赅、环环相扣的特点和严谨的逻辑性，直接关乎到学生抽象、推理、建模等能力的培养，而“数学抽象、逻辑推理、数学建模”又是初中阶段学生所必备的重要核心素养。因此，命题教学是培养学生核心素养的基础和关键。变式策略是指通过变更观察事物的角度和方法，将问题中的非本质因素改变，突出和实现对数学问题本质教学的一种方法模式。变式策略对学生创新精神和思维品质的培养具有积极能动作用，是落实命题教学培养学生核心素养的有效手段。由于命题包含着数学发生发展的完整的逻辑关系，命题教学可以分为发现的、证明的和运用的三种形式。下面，从这三方面入手，立足核心素养，就如何在命题教学中有效实施变式策略进行探讨。

一、命题发现教学中的变式——同化认知，寻探“问题境域”必然性

案例1 在学习人教版教材七年级下册“垂线段最短”时，教材中提出如下问题：如图1，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？对于七年級的学生而言，刚接触几何证明，解决这个问题有若干困难：首先，题目中的“河岸”和“农田”应抽象为哪些要素;其次，直线外一点和直线上某点所连的“线”中，选择哪种连线更适合;再次，连线的位置在哪里才能保证路径最短，为什么最短。基于学生的这种心理需求，可利用几何画板软件，设计可观量的动态变化操作：操作1，如图2，将“河岸”和“农田”分别抽象为直线L和直线外一点P。从直线L上任取一点D，分别用线段、折线、弧线连接点P和点D，同时度量显示它们的路径长度。拖动点D，不断变换点D在直线上的位置，观察对比点D在同一位置时三条路径长度的大小。操作2，如图3，改变观察对象，拖动点D，不断变换点D在直线上的位置，观察对比点D在不同位置时线段PD的长度及∠PDF的度数。

【设计意图】以上两个“操作”的设计，旨在让学生从不同的点位和视角来观察比较，体会“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”这一命题的合理性。“垂线段最短”是几何公理，属于原发性命题，对于这类命题的教学，需要引导学生借助变式思维寻找合适的路径，对命题进行深刻解读学习，使命题出现的合理性和必要性同化到学生的认知结构中，从而不断提升学生的数学抽象能力和思维能力。

案例2 如图4，点O是四边形ABCD内部一点，连接AO、BO、CO、DO，利用所得到的四个三角形，求四边形ABCD四个内角的和;若将四边形变为五边形，则五边形的内角和是多少度？n边形呢？

变式1，如图5，若点O与四边形ABCD的顶点B重合，连接BD，其他条件不变，则有怎样的结论？变式2，如图6，若点O是四边形ABCD边BC上任一点（不与B、C重合），连接OA、OD，其他条件不变，则有怎样的结论？

【设计意图】本例是在学习了三角形内角和定理的基础上，对多边形内角和定理的探究和发现。以四边形为例，设计点O在不同位置时的问题情形，让学生在不同情境的探索中，发现归纳多边形内角和公式。像这种在已有定理的基础上推理得到的继发性命题，要着眼于构造不同情形下而本质不变的问题“境域”。在解决问题的过程中，让学生感受到命题发生、发现的必然性，同时在探究过程中，培养学生逻辑推理能力和数学建模意识。

二、命题证明教学中的变式——多元组合，提升数学思维层次

案例3 勾股定理的证明。

人教版教材八年级下册介绍了利用“赵爽弦图”证明这个命题的方法（如图7，证明过程略）。由此，可以沿着“拼接全等直角三角形”的思路，设计不同的变式图形加以证明。

变式1，将图7中的四个全等直角三角形沿各自斜边翻折，得到如图8所示的图形，试证明勾股定理;变式2，将图7中相邻的两个全等直角三角形沿各自斜边翻折，其他两个直角三角形位置不变，得到如图9所示的图形，试证明勾股定理;变式3，只保留图7中两个相邻的直角三角形，构造如图10所示的图形，试证明勾股定理。

【设计意图】基于“赵爽弦图”的三个图形变式，都能较为容易地证明勾股定理，命题证明中宏观思路的确立，通常都与解决问题的视角有关，不同图形下的证明思路对应不同的思维层面，这些变式之间既有相通之处又各有特点。像本案例中通过变化直角三角形的排列方式，也变化出多元思维的“万花筒”，给学生提供了洞察这一连串推导证明背后真相的机会，进而对知识的精髓产生深刻的认识，更好地提升数学思维层次。

三、命题运用教学中的变式——形成能力，促进学科素养发展

案例4 在学习了平方差公式[（a+b）（a-b）=a2-b2]后，教材提供了以下例题：

例1 运用平方差公式计算：（1）[（3x+2）（3x-2）];（2）[（-x+2y）（-x-2y）]

多数学生能够正确地解答上述例题，但在日常教学实践中也不难发现，不少学生对公式的理解仅停留在比较浅的层面，对公式本身结构特征的理解还不够透彻。为此，设计下列逐层递进的变式训练题组：

变式1 利用平方差公式计算各式：（1）[（2+3x）（3x-2）];（2）[（2y-x）（-2y-x）]

变式2 填空：（1）[（____-____）（-3x+2）=9x2-4];（2）[（____-____）（___+____）=x2y2-0.36]

变式3 化简求值：当[x=-12]时，求[（x-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）]的值。

【设计意图】以上变式训练设计采用了题组的形式，旨在拓宽思路，加强对命题的理解和巩固。变式1是改变多项式中“项”的位置，打破了各项“按位就坐”的顺序，学生经过观察整理后会发现各项符号特征与公式是完全对应的，从而明确决定公式结构特征的关键因素是符号特征;变式2是让学生从逆向运用的角度，进一步理解公式结构特征的内涵，也为后续学习因式分解做铺垫;变式3需要添加因式[（x+1）]后使用公式，旨在在巩固平方差公式的基础上，让学生对问题结构层次的理解更加深刻，初步建立运用公式解决问题的思维体系。

命题运用教学中的变式训练，要注意数学活动的开展，遵循学生的认知规律，循序渐进，夯实基础，建构体系，形成能力。通过提供系统的、多样化情境的变式训练活动，不断启发学生从解决问题中获取思维活动经验，进而提高学生将陈述性命题转化为程序性命题的能力，逐步提升学生的学科素养水平。

[参 考 文 献]

[1]徐光考.数学课堂教学设计[M].北京：国家行政学院出版社，2013.

[2]郑庆全.数学命题教学研究：数学教育研究“绕不开的广阔领地”[J].山东教育学院学报，2007（5）.

（责任编辑：赵晓梅）