回到思维原点

[摘 要]

教学用书是教师教学的必备参考书，是教学的依据，然而教师应该有自己的思考，如果察觉其有疑惑之处，应及时予以探究，还原数学的本质面貌。“大道至简”也许能揭示一些数学规律，但简单中蕴含的不简单却要引起我们的关注。作为一名小学数学教师，在新课程推进的今天，不应仅仅是解题的能手，更应是追寻数学根源的探索者。

[关键词]

小学数学;探究;还原本质

苏教版数学六年级下册第19页思考题：在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9厘米。把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。

教学用书的解法是先算出储水桶的底面积：3.14×52×8÷4=157（平方厘米），然后算出圆钢的体积：157×9=1413（立方厘米）。

笔者开始也和教学用书的思路一样。在数学练习课放手让学生讨论一番，在学生的讨论中笔者方才发现其中值得推敲的地方甚多。“老师，如果圆钢的高度小于或等于储水桶原来水的高度，题目解法思路简单明了。”“老师，如果圆钢的高度与上升后水面高度齐平时，该如何考虑？”“老师，如果圆钢的高度大于储水桶原来水的高度而小于上升后水面高度时，又该如何考虑？”疑惑顿现，笔者静下心来，梳理了一番解题思路，察觉其需分析多种情况下题目的解题方法。下面就自己探究问题的历程与诸位共享。

图1        图2

一、解题之初，看山是山，看水是水

探讨一：当圆钢的高度小于或等于储水桶原来水的高度，见图1，教学用书上的解法显得非常清晰。教学用书的解法先算3.14×52×8÷4=157（平方厘米），是因为“拉出水面8厘米的圆钢体积等于下降4厘米水柱的体积”，由此算出储水桶的底面积，而上升9厘米的水柱体积等于圆钢的体积，所以用157×9=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。不过值得注意的是这里的“水柱体积”应是“实心的，圆柱体的体积”，因为上升的水的形状会有多种情况出现，只是最后结论可统一为“上升或下降的水柱（实心的，圆柱体。以下所提水柱均为实心的圆柱体）体积等于圆钢的体积”。

当然，也可以换一种思路。圆钢拉出水面8厘米，水面就下降4厘米，可得“8厘米圆钢的体积等于下降4厘米水柱的体积”。把圆钢全部拉出水面，水面就下降9厘米，可得“圆钢的体积等于下降9厘米水柱的体积”，如果出现水面与圆钢齐平时，其结论也是一样的。这样，圆钢拉出水面的体积和下降的水柱的体积成正比例，用9÷4×8=18（厘米）求出圆钢的高度，再用3.14×52×18=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。该种解法简洁明了，是正比例知识的灵活运用。让学生理解此种解法，可以使学生体味数学思考方法无所不在。数学教学中不但要知其然，还要知其所以然。

二、解题有悟，看山不是山，看水不是水

探讨二：当圆钢的高度与上升后水面高度齐平时，见图2，则“上升和下降的就是‘环形水柱而非‘水柱”“上升9厘米的环形水柱的体积是x厘米圆钢的体积”，有人理解为“上升9厘米的环形水柱的体积应是整段圆钢的体积而非x厘米圆钢的体积”是理解歧义所致。应理解为“上升9厘米的环形水柱的体积是x厘米圆钢的体积，同时加上9厘米圆钢的体积，可得上升的9厘米的水柱体积是整段圆钢的体积”，“把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米”可得“（8-4）厘米圆钢的体积等于下降4厘米环形水柱的体积，同时加上4厘米的圆钢，得8厘米圆钢的体积等于下降4厘米水柱的体积”，由此用3.14×52×8÷4=157（平方厘米）先求出储水桶的底面积，再用157×9=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。x厘米圆钢的体积能“挤高”9厘米的环形水柱，因为9厘米圆钢占据了自己的空间。

图3      图4     图5

探讨三：当圆钢的高度大于储水桶原来水的高度而小于上升后水面高度时，文中所提及的情况可分为三种。

第一种情况：以圆钢的上底面与水相交的截面为基准，上升的9厘米水分割成4厘米水（圆钢的上底面距现在水面的距离）和5厘米水（圆钢的上底面距原来水面的距离）。如图3，可知“下降4厘米的水柱体积等于8厘米圆钢的体积”，求得储水桶的底面积是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）。“上升9厘米的水的体积（4厘米水柱的体积和5厘米的环形水柱的体积）等于截掉5厘米圆钢的体积，同时加上5厘米圆钢的体积，则上升9厘米水柱的体积等于整段圆钢的体积。”所以再用157×9=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。

第二种情况：上升的9厘米水分割成上面m（大于4）厘米水和下面n（小于5）厘米水。如图4，可知“下降4厘米的水柱体积等于8厘米圆钢的体积”，求得储水桶的底面积是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）。“上升9厘米的水的体积（m厘米水柱的体积和n厘米的环形水柱的体积）等于截掉n厘米圆钢的体积，同时加上n厘米圆钢的体积，则上升9厘米水柱的体积等于整段圆钢的体积。所以再用157×9=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。

第三种情况：上升的9厘米水分割成上面m（小于4）厘米水和下面n（大于5）厘米水。如图5，可知“下降4厘米的水的体积，即m厘米水柱的体积和（4-m）厘米环形水柱的体积等于（8-4+m）厘米圆钢的体积，同时加上（4-m）厘米圆钢的体积，则下降4厘米水柱的体积等于8厘米圆钢的体积”。我们也可以换一个角度来分析，把图5“圆钢竖着拉出水面8厘米”改为“把圆钢先向上拉至和水面齐平，因为是在水中运动，总体积不变，所以水面高度没有变化，如同图2的左图，再把圆钢向上拉出水面8厘米，水面下降4厘米，可得“（8-4）厘米圆钢的体积等于下降4厘米水柱的体积，同时加上4厘米的圆钢，得8厘米圆钢的体积等于下降4厘米水柱的体积”，求得储水桶的底面积是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）。“上升9厘米的水的体积（m厘米水柱的体积和n厘米的环形水柱的体积）等于截掉n厘米圆钢的体积，同时加上n厘米圆钢的体积，则上升9厘米水柱的体积等于整段圆钢的体积”。所以再用157×9=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。

三、解题彻悟，看山仍然山，看水仍然是水

殊途同归，以上诸多的情况，分析思路不一，但都回到了思考的原点——“下降4厘米的水柱体积等于8厘米圆钢的体积，上升9厘米水柱的体积等于整段圆钢的体积”。此时，笔者不由得要重新审视自己的解题思路，“解决问题的策略——转化法”，不就是我们平时教学中常用的数学方法吗？终于豁然开朗，思维原点图在我脑海里呈现。以上5种情况，只要把圆钢截成若干段，全部放入原来的水面下，这样“上升9厘米水柱的体积等于整段圆钢的体积”;把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米，可以转化成“截掉8厘米的圆钢，剩余的圆钢全部放入原来的水面下”，这样“下降4厘米的水柱体积等于8厘米圆钢的体积”。如此，还原出数学本质。就在我欣慰之际，“如果圆钢的体积足够大时，截成若干段不能全部放入原来的水面下”，那又必须回归到上述的各种情况，然后再回到思维原点。真是教无定法，数学分析方法千变万化，但只要理解了数学方法中所渗透的数学思想，则万变不离其中，数学智慧由此凸显其价值取向。

经历了千山万水，终于还原了数学的本质面貌，关于此类问题的争论也可告一段落。教学用书的解题方法固然是正确的，但其中蕴含的数学思想和方法只有靠数学教师自己去探寻、思索。“大道至简”也许能揭示一些数学规律，但简单中蕴含的不简单却要引起我们的关注。作为一名小学数学教师，在新课程推进的今天，不应仅仅是解题的能手，更应是追寻数学问题根源的探索者。

[参 考 文 献]

[1]胡作玄.数学是什么[M].北京：北京大学出版社，2008（6）.

[2]刘彦平.谈谈小学生数学应用题解题能力的培养[J].中小学数学（小学版），2014（7-8）.

（责任编辑：李雪虹）

作者简介：王玉兰（1973-），女，江苏射阳人，小学高级教师，大学本科。研究方向：小学数学教学。