浅谈教学中如何解决动点问题

王文昌

新民市周坨子学校，沈阳新民110308

浅谈教学中如何解决动点问题

王文昌

新民市周坨子学校，沈阳新民110308

构造思想方法是初中数学极为重要的数学思想，更是一种体现创新思维的思想方法。利用构造思想方法解析动点问题的内在规律，特别是动点问题的构造方式，能够有效培养和提高学生的综合素质和数学能力。

初中数学；动点问题；解题策略

近年来，中考数学中的动点问题已成为考查学生的热点题型，这类题型不仅涉及到大量的知识点，而且能将几何知识和代数知识紧密结合，既考查学生的基木运算能力、又考查学生的思维能力和空间想象能力，较综合地体现了中考数学对学生的素质要求。但是由于这类题型往往信息较多，综合难度较大，学生得分情况很不理想。如何在平时教学中逐步渗透，培养学生认识、分析此类题型的能力，理解动与静的辩证关系，达到提高思维品质的目的，成为我们一线教师的必须思考的问题。

那么我们如何解决这样的问题呢？这里与大家一起分享一个关于动点问题的学习经验。我们处理动点问题的原则是：将复杂问题简单化，动态问题静态化，“动中取静”，处理好动与静的关系，分析出运动过程中的不变量，再利用其他相关知识点解决问题。

一、数学解题相关理论

在《怎样解题》一书中，波利亚用一个表对学生解题思路有详细的阐述。他认为，学生在学习解题时，要按照以下四个阶段进行：

（一）理解题目

在求解问题时，你必须理解题目，必须清楚地看到所要求的是什么。画一张图表，引入适当的数学符号，将题目条件的不同部分分开，并能分别写出来。

（二）拟定方案

在求解问题时，你必须了解各个项目是如何相关的，找出已知条件与未知量之间的联系，然后得到解题思路，拟定一个解题方案。

如果找不到己知条件和未知量之间直接的关系，你可能不得不去考虑辅助题目。先尝试去解某道相关的题目，找到己知条件和未知量之间的关系，然后能够解出这道题目的一部分，最终要得到一个解题方案。

（三）执行方案

在执行你的解题方案时，检查你的每一个解题步骤，清楚地看清你的每一步是否正确，是否可以证明它的正确性。

（四）回顾

在检查你的结果时，你能否检查出这个结果是否正确，或者你能否检查出这个论证是否合理，你是否能以不同的方式推导这个结果，你是否能一眼就看出这个结果，你能在别的题目中利用这个结果或这种方法吗？［1］

二、实例探究

（一）单动点问题

例：如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA= 30，CB=20，连结AB。点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止。当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E。F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC。设点P的运动时间为x（秒）。

（1）用含有x的代数式表示CF的长。

（2）求点F与点B重合时x的值。

（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）。求y与x之间的函数关系式。

（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形。请直接写出所有符合上述条件的x值。（3分）

解：（1）由题意知，△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，成的三角形。如图④，当点F与点P重合时，

（二）双动点问题

例：如图①，在□ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12。点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度。点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度。P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动。设点P的运动时间为t（秒），连结PQ。

（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）。

（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S。求S与t之间的函数关系式。

（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②。在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值。

（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C'、D'，直接写出C'D'∥BC时t的值。

解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）= 8t-8

当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）= 108-8t

（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1

当0＜t＜1时，如图①

作过点Q作QE⊥AB于点E

∴S=48t-48

当0＜t≤1时，如图③

∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分。

提示：当C'D'在BC上方且C'D'∥BC时，如图⑥

QC=OC

∴50-5t=58-8t+13，或50-5t=8t-58+13

当C'D'在BC下方且C'D'∥BC时，如图⑦

OD=PD

解得t=

（三）线动问题

解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可。由题知：M（m，m），P（m，0），N（m+1，m+1），Q（m+

故只需表达MP、NQ即可。表达分下列四种情况：

三、动点问题解题策略探索

综合上面典型动点问题解题分析和解题方法探索，一般动点问题解题突破策略大致步骤如下：

（一）仔细读题，整体理解

仔细读题的目的是为了理解题意，并能够对题目中已知条件做出准确的分析，与可能要用到的知识进行适当的联系，为下一步解题做好思维上的准备.这一步是解题的关键。

（二）画图分析，理顺动向

“动点问题”一般都与图形有关，通过画图，动手操作，在分析思维与直觉思维的相互作用下，可以直观具体地一目了然其动点的动向.然后再根据所画图表，首先分析其动点是作有限的直线运动，或是作有限的圆周运动，还是作无限饰孟动，如果是作有限的运动，还要考虑其动点的分界点，即动点运动的范围；其次分析是一个动点，还是两个动点，明确动点与不动点的关系，仔细揣摩，准确定夺。就是在平时的解题中，当局部的解题思维受阻后，仍需依靠直觉思维去重新探索、猜测和想象，直觉思维是数学发现的重要方法，而分析思维则是解决问题的基本方法。所以在探索“动点问题”突破方略时，要特别重视直觉思维在解决问题时的指引方向和调整思路时的重要作用。

（三）动中寻定，定中找动

“动点问题”的特点是其背景都是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系。在动中寻求定点，设其“动”的变量字母，利用特殊角、特殊线段建立等量关系；再从静中找出动点分界点，就会大大降低“动点问题”的解题难度。这就是说对于数形结合的“动点问题”，把动态问题转化成静态问题是解决“动点问题”的一种比较好的思维方法，可以事半功倍地找到正确解题思路。

（四）定思路，探解法

考生首先可从解剖已知条件人手，分析已知条件，通过联想，顺藤摸瓜，根据其动点的特征，找出与方程，或是函数、不等式、相似形、圆等相关知识的联系，再联想与其有关的定义、公理、定理，就可以有效地突破“动点问题”解题难点，探索出解题思路。其次可以从题目要求的问题产生联想，由果索因：要求这个问题必须先要求出什么，又要求出什么；同时根据动点的特征联想其等量关系，这样，也容易从中获得解题思路，探求出解题方法。

上述“动点问题”解题思路探索，意在授之以渔，还要广大考生细心研磨，从中悟出“动点问题”解题技巧，辅以足够演练，就可从容解答“动点问题”。［4］

［1］马涛.中考数学动点问题探究［J］.宁夏：数学学习与研究，2011（12）.

［2］孙世军.浅谈初中数学动点问题的解题策略［J］.江西：教师教育，2015.

［3］陆丽丽.探求不变量巧解动点问题［J］.浙江：中学数学杂志2014（10）.

［4］唐修成.例谈中考热点“动点问题”解题突破策略［J］.数学之友，2012（3）.

［5］蔡国飞.例谈初中数学中动点问题的解法［J］.数理化学习：初中版，2014（9）.

［6］陶万里.以“静”制“动”——初中数学动点问题举例［J］.数学学习与研究：教研版，2011（4）.

（责任编辑：张华伟）

王文昌（1971-），男，中学一级教师，大学本科。研究方向：初中数学教育教学研究。