数形结合 演绎精彩

魏定波

试题呈现

已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x2 1+y2 1=1，x2 2+y2 2=1，x 1x 2+y 1y 2= 1 2 ，则 |x 1+y 1-1|  2  + |x 2+y 2-1|  2  的最大值为[CD#4].

本题为2018年上海市高考数学试题第12题，从题面上看，考查的是以“绝对值和方程”为载体、不等式为主线的典型问题，着重考查学生分析问题、解决问题的能力，能够检验学生对曲线与方程之间关系的认知程度，对转化思想、数形结合思想等的掌握情况.

2  解法探究

解法1 從距离公式切入

设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），则点P、Q都在单位圆x2+y2=1上，由 OP · OQ =x 1x 2+y 1y 2，

得cos< OP ， OQ >= 1 2 ，即△OPQ为等边三角形，如图1，显然 |x 1+y 1-1|  2  + |x 2+y 2-1|  2  就是P、Q到直线l：x+y-1=0的距离之和|PP′|+ |QQ′|，设PQ的中点为M，且M在直线l上的射影为M′，原点O在直线l上的射影为O′，则|PP′|+ |QQ′|=2|MM′|≤2（|MO|+|OO′|）

=2（  3  2 +  2  2 ）= 3 + 2 .

故当M、O、M′共线，且M与O都在直线l的同侧时（如图1）， |x 1+y 1-1|  2  + |x 2+y 2-1|  2  取得最大值 3 + 2 .

3  深入探究

3.1 求最小值

当P、Q两点分别在直线l的两侧（包括在直线l上，如图3），则  |x 1+y 1-1|  2  + |x 2+y 2-1|  2  =  2  2 -sinα+sin（ 120°-α）-  2  2

注：此题由2018年浙江省高考试题第17题改编，附原试题：已知点P（0，1），椭圆 x2 4 +y2=m（m>1）上两点A，B满足 AP =2 PB ，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大.