大稳定 小创新

安学保

【摘 要】  研究2018年全国新课标Ⅰ卷23道试题，该试卷坚持大稳定小创新、深度融合数学思想，全面考查数学能力、注重创新意识和应用意识的考查，由此对中学数学教学和高三复习提出合理化的建议.

【关键词】  2018年高考;新课标Ⅰ卷;试卷分析;复习建议

2018年山东省高考数学恢复使用全国课标Ⅰ卷.今年的新课标Ⅰ卷依然延续了往年试题的风格，进一步以“立德树人、服务选才、引导教学”作为高考的核心功能，加强“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四个层次的考查，体现“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的要求.命题严格遵循《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》（以下简称《考试大纲》）和《2018年普通高等学校招生全国统一考试（课程标准实验版）全国卷考试说明》（以下简称《考试说明》）.整份试卷以知识为载体，以思维为核心，考查学生的数学核心素养，充分体现了数学学科特点.试题难度安排适当，题设立意新颖，文、理科两份试卷难、中、易的比例分配恰当.试卷具有很高的信度、效度和区分度.达到了考基础、考能力、考素质、考素养的考试目标.今年的全国新课标Ⅰ卷数学试题主要呈现如下几个特点：

1 坚持大稳定，追求小创新

每年的高考试题都在稳定中追求创新，今年新课标Ⅰ卷也不例外.试卷全面考查基础知识，重点考查核心知识，重视对数学思想及数学本质的考查，强调通性通法，淡化数学技巧.但同时也鼓励考生发散思维、不拘一格.

复数运算、集合运算、函数、平面向量、概率统计、线性规划、三角函数、文科的解三角形、理科的数列、圆锥曲线等基础知识在选择填空题中均进行了有效的考查，这部分试题有利于稳定考生的情绪;解答题中，理科的解三角形、文科的数列、立体几何、概率统计、直线与圆锥曲线、函数与导数及选做题等高中的主干内容也进行了重点考查，充分体现了试卷对高中数学知识考查的基础性、全面性和综合性.

试题对数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程思想、特殊与一般的思想及常用的数学基本方法均有考查，很多问题具有典型性、示范性，能体现数学核心素养，百考不厌、常考常新，如理科21题的函数与导数问题的单调性讨论及不等式的证明.

试题注重题型的设计创新，综合考查数学学科素养，试题设问新颖.理科填空题第10题以古希腊数学家研究的几何图形为情境，设计了几何概型的概率计算问题;填空题的第16题，考查利用导数研究三角函数的最值问题，体现导数工具在研究函数最值问题中的一般性应用;解答题的第20题还重点对概率统计知识及利用导数求函数最值进行有机的 结合.

2 深度融合数学思想、全面考查数学能力

数学思想和方法是数学的高度凝结，是数学的核心，对数学的理解和学习都要围绕着对数学思想和方法的认识展开，对数学思想和方法的认识是学习数学的主要目的，中学数学教学要体现数学思想和方法的教学，高考试题作为对中学数学教学的检验，必须体现这样的目的，必须充分体现数学思想和方法的考查，要达到这个目的，通过设计知识交汇处的题目，每个试题要在知识的涵盖下，深度融合数学的思想和方法，达到看不到思想，却处处体现思想的目的，充分考查考生掌握的数学知识是否全面，应用数学方法是否全面、灵活，能否快速准确找到解决问题的数学思维方式和数学方法.这一点在 2018年的新课标Ⅰ卷中得到了充分体现.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

在第（1）问的证明中，既可以由几何方法利用面面垂直的判定定理由线面垂直证明面面垂直，或过P直接做面ABFD的垂线，证明垂线在面PEF内，还可以做出二面角的平面角继而证明该平面角是直角;当然也可以通过建立空间直角坐标系，用向量法证明其中的线线垂直或是面面垂直.

第（2）问线面角的求法，除了常用的向量法，当然还可以使用几何方法求解.

立体几何是考查学生空间想象能力，运算求解能力和逻辑推理能力的重要载体，本题借助平面图形的折叠，考查了空间几何图形中的面面垂直，以及直线与平面所成的角.解决本题，不可或缺的当然还有数形结合的思想.本题平均得分6.89分.

解析几何是考查数形结合思想的重要载体，2018年的新课标Ⅰ卷，理科和文科分别选择椭圆和抛物线为曲线背景，理科与文科采用相同的设问，问题题设简明扼要，设问清晰.

通过问题的分层设计，由浅入深，考查直线和圆锥曲线的几何性质，给不同基础的学生提供了思想的空间和展示才华的平台.其中理科将该题的位置调到19题，难度较往年略低，考查通性通法和常规的运算技巧，但同时坚持能力立意.

【理19】设椭圆C： x2 2 +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为 2，0 .

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

第（1）问解答较容易，第（2）问中考生答题方法大体有以下几个角度：

①把证角度相等问题，转化为角的正切值相等，继而转化为斜率互为相反数（或斜率和为零）;

②把证角度相等问题，转化为证角平分线上的点到角两边距离相等;

③把证角度相等问题，利用余弦定理或向量的夹角公式转化为证角的余弦值相等;

④利用三角形内角平分线定理的逆定理，证明线段成比例;

⑤证明两直線在y轴上的截距相等.

本题理科平均得分6.03分，文科平均得分2.66分.导致学生失分的几个主要方面为：

①受高三复习思维惯性的影响，直接放弃了第二问;

②无法正确地将几何问题进行解析;

③利用直线方程或是曲线方程进行消元时目标不明确;

④消元和整理化简的过程不完整，或是化简出现错误，无法得出正确结论.

解析几何考查学生运算求解能力、分类讨论思想的同时侧重考查学生的转化和化归的能力，给学生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，突出考查了用解析方法解决几何问题的能力，使学生体会到几何问题“解析化”途径的研究探索和选择.平面解析几何重点考查学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等数学学科素养，在高考的命题中是兼顾着数学压轴题和考查基本活动经验的首选载体.

3 注重创新意识和应用意识的考查

数学的应用与创新是中学数学教学的一个非常重要的方面，数学的应用应该包括两个方面，首先是如何将所学的数学知识应用于实际问题的求解，用数学知识解决实际问题是数学应用的一个重要方面.另一方面，如何在已有的数学知识基础上推陈出新，建立更新的数学结果，也是数学的一个非常重要的应用方面，后者我们常常称之为创新，2018年的高考数学试题中，有相当数量的试题是考查考生的应用意识和创新意识的.

文理选择题第3题，以新农村建设为背景，考查统计学中的识图，试题贴近生产生活实际，具有浓厚的时代气息，体现数学的应用价值.理科20题以产品质量检查为背景，设计的问题具有很强的现实意义，如何根据数学期望进行科学合理的决策，不仅考查考生对概率统计知识的理解，更是考查概率统计知识在数学和生活中的应用，使考生体会到数学知识与现实生活的息息相关.

【理20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p 0.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p 0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解 （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则

f（p）=C220p2 （1-p） 18，所以f′（p）=2C220p （1-p） 17（1-10p），

令f′（p）=0，得p=0.1，

当p∈（0，0.1）时，f′（p）>0，

当p∈（0.1，1）时，f′（p）<0，

所以f（p）的最大值点p 0=0.1.

（2）（ⅰ）由（1）知p=0.1，

令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），

X=20×2+25Y，即X=40+25Y，

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ⅱ）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，因为EX>400，

所以应该对余下的产品进行检验.

对于刚刚恢复使用全国卷的山东考生对该题表现出了明显的不适应，再加上本题安排在解答题20题压轴题的位置，理科考生的平均得分只有2.13分，甚至低于21题的平均得分3.12分.同时也说明，提升学生的应用意识和创新意识应该是我们数学教学一直努力的目标.

4 對中学数学教学与学习及高三复习的启示

今年的高考命题为今后的课程改革和高考改革提供哪些重要的信息成为人们关注的焦点. 高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和发展新课改的深度.因此，今年的高考试题和考生答卷情况备受关注.为了更好地进行深化课程改革，更全面地推进中学素质教育，需要认真研究和分析学生在高考答题中出现的问题，以反思我们在中学教学过程中的问题，促进中学数学的教学与学习.

4.1 注重基本知识和技能的学习，加强对数学本质的研究

高考的最终目的是为高校输送合格的人才，考生要能够顺利完成未来高校的学习， 必须具备一定的数学知识和数学素养， 所有这些都应该是高考试题中重点体现的， 而这些知识和思想又恰恰是我们中学数学中强调的基本知识和基本技能.中学的课程无论怎么改革，都不会丢掉“四基”：基本数学知识、基本数学技能、基本数学思想方法和基本的数学活动经验.高考无论如何变化，对基本知识和基本技能的考核永远是不会变的，这是不能有任何含糊的原则.从今年乃至近几年甚至自高考以来我们看到，不重视“四基”的考生，期望取得高分是很难的.

高三复习应重点抓住以下几个方面的复习：一是和“图”有关的内容.如：统计图、函数的图象性质及变换、空间线面位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系、数形结合的思想方法等;二是与“函数”有关的内容，如函数的性质及围绕研究函数性质的相关知识和方法（导数、数列、解析几何等）、函数与方程的思想方法、特殊与一般的思想方法、变换的思想方法;三是数据的收集、整理、分析和应用，如统计与概率、线性规划等相关的应用问题，体现必然与或然的数学思想.

4.2 要重视培养学生的数学运算、数据分析等能力

数学运算和数据分析作为高中数学核心素养中的两条，可以体现出学生数学学习的基本功，近几年全国卷高考试题一直重视考查学生这两方面的能力，而且还有愈演愈烈的趋势.最直观的感觉就是今年高考的每一道试题无论难易程度如何，学生都得动笔认真算一算才能得到答案，很少有用眼睛观察或稍微演算一下就能得到正确结果的，这要求我们老师在平常教学中要注重培养学生的运算能力，要加大运算的训练量，要有提升学生运算能力的方法和措施，以应对高考中的大量运算问题.

全国新课标Ⅰ卷非常重视考查学生的数据分析能力，不难推测试题命制将继续以统计和统计案例为载体，考查学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数据处理能力及数据分析素养，因此在高三复习课中要重视培养和提升学生的数据分析能力，要借助统计案例知识创造平台引导学生进行数据分析，并提升应用数据进行科学、合理决策的 能力.