数字和乘以99变换下的黑洞数及猜想

王凯成

可以证明不定方程1000a+100b+10c+d=99（a+b+c+d）有唯一解：a=1、b=7、c=8、d=2.即有1782=（1+7+8+2）×99，猜想：1782是数字和乘以99变换下的黑洞数.

命题1  设A是一个正整数，把A的所有数字的和乘以99，得到B.我们把从A到B的过程叫作A的f变换，记作f（A）=B.对B继续作f变换，得到f（B）=C;对C继续作f变换，……，那么，A经过有限次f变换后最终为1782.

命题2  设A是一个正整数，把A的所有数字的和乘以999，得到B.我们把从A到B的过程叫作A的f变换，记作f（A）=B.对B继续作f变换，得到f（B）=C;对C继续作f变换，……，那么，A经过有限次f变换后最终为26973.（①对A≤29999一一验证：转化为验证9k×999（k=1、2、3、4）即可.②对A>29999推证：A-f（A）≥1029）

命題3  设A是一个正整数，把A的所有数字的和乘以9999，得到B.我们把从A到B的过程叫作A的f变换，记作f（A）=B.对B继续作f变换，得到f（B）=C;对C继续作f变换，……，那么，A经过有限次f变换后最终为359964.（①对A≤399999一一验证：转化为验证9k×9999（k=1、2、3、4、5）即可.②对A>399999推证：A-f（A）≥10039）

类比命题1、2、3提出猜想：设A是一个正整数，把A的所有数字的和乘以10 n+1-1（n是正整数），得到B.我们把从A到B的过程叫作A的f变换，记作f（A）=B.对B继续作f变换，得到f（B）=C;对C继续作f变换，……，那么，A经过有限次f变换后最终为9（n+1）×（10 n+1-1）.