高中数学教学难点的PCK分析研究

【摘要】高中数学教学中，存在不少概念或定理教学的难点，本文以“两个计数原理”的教学为例，从学生认知的角度出发，思考如何利用数学教师的学科教学知识（PCK），帮助学生进行教学难点的突破.在此基础上，本文结合课堂教学实践，尝试研究高中数学难点教学的一般思路和做法.

【关键词】高中数学；教学难点；PCK

高中数学课程标准要求教师在教学中应强调对基本概念和基本思想的掌握，特别是对一些核心概念的理解，要在整个高中数学教学过程中重复和强化.两个计数原理作为高中核心概念之一，它不仅是学习排列组合和二项式定理的理论依据，更是学习和解决计数问题的基本思想方法，在这个章节中是基础性的知识.数学概念是数学知识点本质的反映，大多数的数学知识都围绕着某些核心概念展开.排列组合是学习概率知识的基础，而分类计数原理与分步计数原理作为本章的基础，为学习排列组合知识起铺垫作用，有助于学生运用两个原理解决很多实际问题，所以两个原理的教学是高中数学教学中重要的内容之一.

PCK这一概念最早由斯坦福大学教授Shulman（美国教育研究会主席）提出，他认为构成教学的知识基础有7类，其中的“学科教学知识”逐步成为教师知识的重心与核心.学科教学知识是“Pedagogical Content Knowledge”（简称为PCK）的翻译，“学科教学知识”，也有些研究者将其翻译成“教学内容知识”或者“学科教育知识”.1987年，Shulman首次提出教师专业知识基础的分类，并给出了PCK的概念内涵，指所教的学科内容知识与教育学知识的有机融合，针对具体要教的内容所使用的教学方法和教学策略.

从认知的角度分析，分类计数原理与分步计数原理是学生小学学习的加法运算与乘法运算的拓展应用.本节的主要任务是学生根据已有的认知基础，总结得出两个计数原理的本质，领悟其中重要的数学思想方法，并能应用两个原理解决计数问题，是本节课要突破的难点所在.部分教师对原理所蕴含的数学内涵缺乏深入研究，缺乏了解学情.为突破“两个计数原理”这个教学难点，我们尝试着用PCK相关的知识，对“两个计数原理”教学时所涉及的学科知识、课程和教材的知识、学生学习过程中的经验和困难、教学的方法和策略等进行整体分析，分以下7个方面进行：

1“两个计数原理”的学前剖析

“两个计数原理”的推导、理解、记忆及应用，是学生学习“两个计数原理”时所遇到的难点，“两个计数原理”的发现和证明也是教师教学中的难点，因此有必要对“两个计数原理”深入地剖析.

1.1“两个计数原理”的文本解读

分类计数原理和分步计数原理在上海版的高中数学教材中，是第16章第一节和第三节的内容，分别对应的是“乘法原理”和“加法原理”，加法原理是在学习完“排列”之后再学习的.而另外两个版本的教材——人教版和新課标版都安排同一节，不同的地方是，人教版放在整个“排列组合二项式”章节的前面，在学习概率知识之前；而新课标版则放在选修23中的“概率”章节之后.人教版和新课标版的教材设计，同时学习分类和分步计数原理，然后再学习排列组合；沪教版的教材设计，先是学习了分步计数原理——乘法原理，在此基础上学习排列，再然后学习分类计数原理——加法原理.

1.2几种教材观点的碰撞

几种教材版本对“两个计数原理”的不同处理，正好对应着教师在教学中几种不同的观点.支持沪版教材的老师认为两个计数原理应该分开教学，应该在学生学习排列的相关知识后，对分类和分步两个计数原理可以有更好的综合应用；支持人教版的老师认为，两个计数原理是学习排列组合的基础，在排列组合的基础上再学习概率可以更好的学习古典概率，为后续概率学习打下基础；而赞同新课标版的老师虽然也认同两个计数原理放在学习排列组合之前，但他们认为概率的概念可以放在排列组合学习之前，可以让学生对整个排列组合概率的框架有个大致清晰的认识和构建.

1.3两个原理的逻辑分析

几种教材版本虽然都有自己的设计原理和道理，都考虑到了学生的认知情况，但通过两个计数原理的教学实践可以论证，学生的最大难点是两个计数原理的区别和适用范围.在分步计数原理的学习上，如何进行分步的“分步标准”往往会成为学生最容易混淆的学习难点.因此，教学的首要目标是通过师生对概念的精准分析，得出并突破难点是教学的重心.从这个角度上分析，人教版的教材设计更符合学生的认知和数学逻辑发展.

2“两个计数原理”的概念分析

分类计数原理（加法原理）：如果一个目标可以在n种不同情况下完成，第k种情况又有mk种不同方式来实现（k=1，2，…，n），那么实现这个目标总共有N=∑ni=1mk=m1+m2+…+mn种方法.其中，每种办法不能同时共存，每种办法都可以独立地完成这件事，相互之间不重复.可以按照不同的标准进行分类，但要做到“不漏不增”.

分步计数原理（乘法原理）：如果实现一个目标必须经过n个步骤，第k步又可以有mk种不同方式来实现（k=1，2，…，n），那么实现这个目标总共有N=∏ni=1mk=m1·m2·…·mn种方法.其中，“完成一件事，需要分成n个步骤”是指每个步骤都不足以完成这件事，每个步骤都不能缺少，也不能重复和遗漏.

运用加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干类别，再分类解决；运用乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干步骤，先对每个步骤分类处理，再分步完成；综合运用分类和分步计数原理就是用转化思想将综合问题分解为单一问题，再进行求解.3“两个计数原理”的学情分析

在“两个计数原理”教学之前，教师有必要了解学生之前已有的知识和经历.其实，高中的学生对于计数问题并不陌生.

（1）作为小学阶段加法和乘法运算的延伸和拓展，两个计数原理对学生从认知角度来说还是比较好接受和理解的.

（2）学习完集合和数列的相关知识后，学生又学会了用列举法解决最简单的计数问题.这是解决分类和分步问题的数学基础.

（3）高中阶段以前的学习和生活中，学生已经能够使用分类和分步的原理来思考和解决问题.同时，高中生已经能够解决一些简单的实际问题，也具有一定的归纳和类比能力.

如何让学生根据已有的学习经验，相对抽象地概括出两个计数原理和其中的数学思想方法，是本节课应该突破的难点.一方面，可以通过实例来帮助学生完成归纳的过程，帮助学生理解两个计数原理解决问题的应用，提升学生抽象概括能力；另一方面，教学过程中应始终强调加法原理和乘法原理中“完成一件事”的内涵和区别，帮助学生理解并合理选择两个计数原理.

4“两个计数原理”的教材分析

“两个计数原理”是在大量生产实践经验的基础上归纳出来的基本规律，是学习排列组合、概率等知识的基础，也是处理计数问题的基本思维方法，在本章的学习中是非常重要的.分类计数原理和分步计数原理不仅是后续学习的知识依据，这种解决问题的思想与方法贯穿于该章后续教学的始终.

沪版教材分成了16.1计数原理Ⅰ——乘法原理（P49-P50），以及16.3计数原理Ⅱ——加法原理两小节进行编排.先学习分步计数原理，提出乘法原理的基本概念；接着学习排列的概念，教师在设计的时候可以进行简单的概念区分；然后是分类计数原理的学习，此时可以进行分类和分步两种计数原理的区分.两个章节都有自己的练习和作业.

5“两个计数原理”的障碍分析

虽然进入高中阶段后，学生学习两个计数原理具备了很好的知识能力基础和思想方法基础，但学生在学习“两个计数原理”时还是会遇到一些学习障碍，教师了解这些障碍，将有助于在教学中更好地利用自己的学科教学知识，帮助学生越过障碍.5.1合理选择原理的学习障碍

两个计数原理的概念有些接近，学生在初学的时候很容易会混淆两个概念，导致原理选择时的误用.要突破这个学习障碍，搞清楚两个原理概念的异同之处是关键.加法原理是可以将一件事情“分类”，这几类方法相互独立，哪一类方法都可以完成；而乘法原理则是“分步”，这几个步骤之间具有连续性，他们相互之间具有依存关系，只有当这几个步骤都完成的时候才能完成这件事情.当然，一些复杂的题目中既有分类又有分步，需要找出题目的树干图，然后进行分解，理清解题思路.5.2“两个计数原理”的应用意识不强

应用“两个计数原理”解决数学问题和生活中遇到的问题，本应该是学习两个计数原理后需要做到的，但也有不少学生看到相关的应用时，不能立刻想到“两个计数原理”.一方面，学生在小学、初中甚至高中，虽然学过很多的应用题和应用思想，但总体上学生的应用意识不强，会导致知识的应用遇到障碍；另一方面，“两个计数原理”作为新学知识，尚未内化到学生的知识體系之中，加之对概念理解不够透彻都会导致学习障碍的形成.当然，后续通过练习训练，特别是应用意识方面的转化和强化，能够帮助学生更好地应用“两个计数原理”.5.3“分步标准”不清导致的学习障碍

在本节内容的学习中，有个非常经典的例题是有关“邮筒寄信”问题，比如，4封信寄到3个邮筒，有多少种寄递方法？这种问题经常会出现思维混乱，答案到底是43还是34？为什么会产生这个问题，往往是因为不知道应该以邮筒作为分步的标准，还是以信作为分步的标准.要解决这个学习障碍，理解“乘法原理”的概念内涵是前提，解决“分步标准”的确定划分是关键.教学中教师应该强调“分步计数原理”中“分步标准”的理念，并通过一些实际的例题和生活中的例子进行强化，将数学问题生活化，将生活问题数学化.6“两个计数原理”的延伸应用

“两个计数原理”是学习排列组合的重要的基本方法，也是学习概率和数理统计等应用数学知识的基础，在有限集合元素个数的计算中也起着较为重要的作用，两个计数原理在以下几个方面都可以进行延伸应用.

6.1在排列组合中的应用

在排列组合的学习中，主要是学习排列数和组合数的计算，而相关的公式是利用两个计数原理推导得出的.排列公式作为乘法计数原理的直接应用，公式的得出和应用原理都与分步计数原理密切相关；而重复计数问题，本就是乘法计数原理的范畴，只是将其生活化而已；在排列公式上得出的组合数公式，也可以理解成乘法原理的进一步推广，组合的性质公式Cmn+1=Cmn+Cm-1n则是加法计数原理的直接应用；另外，很多组合问题，比如盒子问题，都是对加法计数原理和乘法计数原理的综合应用.6.2在集合元素中的应用

在后续概率等知识的学习过程中，加法计数原理和乘法计数原理还会起到重要的基础作用.比如在学习古典概率的过程中，互斥事件的基本事件个数就可以由加法计数原理得出：n（A1+A2+…+An）=n（A1）+n（A2）+…+n（An）.而另一个常见的集合元素个数的推广式则是两个计数原理的应用：n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）.值得一提的是，这个公式还可以推广到n个集合的情况.

7“两个计数原理”的教学案例

作为PCK分析研究的主要内容，教学实践是主要研究形式和研究方向，下面展示的是“两个计数原理”的一个教学案例，设计参考的教材是人教版的编排，但为了突破学生学习该节内容学习的障碍，设计有较多新的编排.

7.1教学目标

（1）知识与技能：正确掌握和理解分类计数原理和分步计数原理，能准确分析和使用两个计数原理；（2）过程与方法：通过对两个原理概念的学习，培养学生的理解能力、提炼数学信息的能力和归纳概括能力；通过对两个原理的应用，提高学生解决一些简单的实际问题的能力；（3）情感、态度与价值观：通过自主学习、合作学习，培养学生良好的学习品质；通过认识计数原理与生活的内在联系，体会数学的应用美.7.2教学重难点

重点：运用两个计数原理解决实际问题；

难点：两个计数原理的判断及准确应用.7.3教法学法

（1）教法：

问题式：提出“问题链”引导学生归纳总结；

启发式：层次提问，对学生探究，自主实践进行启发.

（2）学法：

对比法：通过对知识和方法的对比、总结和反思，掌握和理解两个计数原理.

探究法：学生在问题和知识中讨论、分析和总结，探究和应用两个计数原理.

7.4教学过程：

7.4.1情境引入

问题1非能源车的车牌一般含有6个数字或字母，上海郊区牌照以沪C开头，那这样的车牌有多少个？能否满足郊区日益增长的人口和车辆增长？

问题2为了不混淆，英文字母不得选用I、O、Q，那这样牌号的容量是多少？

设计意图用日常生活密切相关的车牌号问题引入，引导学生认识到现实中的计数问题普遍存在，感受学习计数知识的必要性，激发学生学习本章的兴趣.问题揭示了主题，学生知道要解决的问题，也有兴趣去探究，参与性强.

7.4.2实例探究

例1书架共有三层，第1层放有3本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书，第3层放有5本不同的英语书.从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？

问2从上述书架上取语文、数学、英语书各1本，有多少种不同的取法？

设计意图从分类加法原理过渡分步计数原理，通過类比加法计数原理，帮助学生归纳出分步计数原理，提高学生的类比转化能力.

问3请归纳一下，上述两个问题解决问题的方式有什么不同？

设计意图通过自主探究，加深对两个原理的理解，提升归纳概括能力.

7.4.3原理学习

问1两个原理的异同点分别是什么？

问2用好（区分）这两个原理的关键是什么？

师生总结：对于分类计数原理“分类”是可以独立完成这件事的，用加法；而“分步计数原理”中的单一步骤不能单独完成这件事，用乘法.

设计意图让学生回答自己怎样区分两个原理.同学之间互相补充，将两个问题放在一起，有利于抽象概括.用探究的方式生成新知识更容易让学生掌握，降低了学习的难度，也使学生体会从特殊到一般的思维方法，强化了学生的归纳和类比能力.

7.4.4运用原理

例2某人有2顶帽子、3双鞋、4条裤子，5件上衣，社交要求的穿戴至少要穿好衣裤和鞋，请问满足社交要求的穿戴共有多少种不同的装束？

设计意图例题的训练和解法的总结，加深学生对两个原理的理解.解题总结时，分清完成一件事的要求至关重要，从而正确区分“分类”和“分步”两个计数原理.

例3有4封信全部投进3个邮筒，请问共有多少种不同投法？

设计意图本例题是经典例题，目的是让学生得到巩固和提高，特别是理解“分步的标准”.同时，让学生充分认识本节知识在实际生活中的应用，从而提升学生运用所学知识解决实际问题的能力.

7.4.5练习巩固

练习：如上图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色.请问不同的涂色方案有多少种？

变式：若用4色，涂色方案有多少种？

7.4.6小结提升

（1）两个原理的内容，两个原理的区别.

（2）使用分类计数原理和分步计数原理时，要注意“分类的标准”和“分步的标准”，防止出现重复或遗漏，并注意步骤完整和顺序.

（3）数学思想方法：由特殊到一般，分类讨论，归纳与类比.

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