在变化与确定中感受思维的灵活

时间：2024-05-09

冯寅

数学问题中往往由许多不同的量构成，有些量是确定的，有些量是变化的，而确定与变化是相对的，可以互相的转化.我们遇到的有些问题需要在变化中寻找不变量，有些问题需要在不变中发现变化的轨迹，在确定与变化的不断转换中，我们可以感受到思维的奇妙与灵活.

1在变化中寻找确定因素

有些数学问题中包含着许多不确定的因素，如图形的不确定、位置的不确定、数量的不确定等等，但在这些不确定的因素背后往往隐含有一定的确定因子，如果我们能在不确定的因素中发现确定的因子，抓住问题的本质就一定能使问题有效的解决.

问题1如图1，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是[CD#3].

分析此题是以三角形的翻折为素材设计的问题，图形是不确定的.要研究直线AC与BD′所成角的变化规律，我们应该在图形变化的过程中，首先寻找确定的因素，再利用这些确定因素来体现直线与直线所成角的变化规律.[TS（][JZ]图2[TS）]

确定因素1从图形的特点看，四边形ABCD在沿直线AC的翻折过程中，点B，D在AC上的投影是不变的.

我们可以利用这个确定的因素，找到直线AC与BD′所成的角.

设D′E⊥AC于E，BF⊥AC于F，过E作EG∥BF且EG=BF，连结BG，BD′，GD′，那么∠GBD′是直线AC与BD′所成的角（如图2）.

在Rt△BGD′中，cos∠GBD′=BGBD′，而BG=EF=63，

那么，当BD′最小时，cos∠GBD′最大.

在△BED′中，BE=302，D′E=306，则当D′落在平面ABC上时，BD′最短.

又因为，∠DAC=∠BAC，所以D′点在线段AB上，这时BD′=2.

因此，cos∠GBD′的最大值为66.

确定因素2从向量的角度思考，AC·BD′是确定的.

四边形ABCD在沿直线AC的翻折过程中，点B，D在AC上的投影是不变的.记投影为E，F（如图3）.

根据题意，EF=63，由数量积的几何意义可得：AC·BD′=AC·EF=2.

设θ为直线AC与BD′所成的角，那么AC·BD′=AC·BD′·cosθ，

所以AC·BD′·cosθ=2，即6·BD′·cosθ=2，要使cosθ最大，只要BD′最小.

而当D′点在落在平面ABC上时，BD′最小.

因此，cosθ的最大值是66.

确定因素3从运动的观点看，点D的轨迹是确定的.

四边形ABCD在沿直线AC将△ACD翻折的过程中，点D的轨迹是以E为圆心，DE为半径的圆.利用这一特点，可以有新的思路.

由题意，AC⊥圆E所在平面，作BB′⊥圆E所在平面.

直线AC与BD′所成的角就是直线BB′与BD′所成的角（如图4）.

在Rt△BB′D′中，BB′=EF=63，

要使cos∠B′BD′最大，就是要B′D′最小.

因为点D′在圆E上，所以B′D′的最小值B′G=B′E-GE=303.

因此，cos∠B′BD′的最大值是66.

问题2如图5，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是[CD#3].

分析和四面体的体积有关的问题，我们首先应该考虑四面体的底面和高是否有确定的因素.由于P，D是两个动点，故四面体的四个面都无法确定，如何计算体积成为本题的关键.从题意中我们发现△PBD和△ABD的面积相等，那么量S△BCD+S△PBD是确定的.

确定因素S△BCD+S△PBD确定.

作PE⊥平面BCD于E，过E作EF⊥BD于F，连结PF，那么，PF⊥BD（如图6）.

四面体PBCD体积VP-BCD=13S△BCD·PE≤13S△BCD·PF.

（当平面PCD⊥平面BCD时，等号成立）

又因为，S△PBD=12BD·PF，

所以，VP-BCD=23S△BCD·S△PBD·1BD.

因为S△BCD+S△PBD是定值，所以当S△BCD=S△PBD时，S△BCD·S△PBD最大，此时，D是AC中点.

当1BD最大时，BD⊥AC，而BA=BC，所以D也为AC中点.

因此，D是AC中点时，四面体PBCD体积最大，最大值12.

2在确定中感受变化特点

有些问题从表面看是确定的，但这样的确定也是运动过程中的某一静止时刻，因此分析运动的过程，理解运动的本质，可以使我们产生新思维来解决问题.

问题3如图7，已知正四面体D-ABC，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，BQQC=CRRA=2.分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角为α，β，γ，则

A.γ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

分析研究三个二面角的大小关系，我们先找到它们的平面角.过点D作底面ABC的垂线，垂足为O.已知D-ABC为正四面体，则O是正三角形ABC中心.根据线面垂直的性质，每个二面角的平面角所在的直角三角形都有相同的直角边DO.那么，二面角的大小问题等价转化为底面正三角形的中心到二面角棱的距离d1、d2、d3的大小问题（如图8）.

因为P、Q、R都是正三角形ABC边上确定的点，所以通过多种渠道都能计算并比较d1、d2、d3的大小.若我们以变化的观点来分析這个问题，将确定的问题转化为变化的问题，在变化过程中可以更清晰地判断二面角的大小关系.

取边AB上的点P1并满足AP1P1B=2.根据题意△P1QR是正三角形，那么O到△P1QR三边距离都等于d1.当点P1移动到P时（如图8），点O到PQ的距离d3d1，那么d3

问题4如图9，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O.记I1=OA·OB，I2=OB·OC，I3=OC·OD，则

A.I1

C.I3

[TS（][JZ]图10[TS）]

分析根据已知条件，这是一个确定的四边形，我们可以通过向量的夹角和模，或利用坐标计算，或利用极化恒等式等多种渠道通过计算来比较向量数量积的大小.

我们也可以用变化的观点来分析思考.在正方形ABCD1中，点D1变化到D（如图10）.

因为∠AOB=∠COD>90°，∠BOC<90°，所以I1，I3<0，I2>0.

又因为OA

思考此题还可以进一步考虑，去掉条件AB⊥BC，此时四边形ABCD不确定，那么I1，I2，I3的大小关系是否仍然确定？答案是肯定的.

如图11，先研究α1，β1的大小关系，观察△ABC和△ACD.因为AB=AD，AC=AC，BC

又因为α1=α+θ，β1=β+θ，所以α1<β1，

又α1+β1=180°，那么，α1<90°<β1.

再研究OB，OD的大小，观察△ABD.AB=AD，α<β，

所以，OB

3在變化与确定中换位思考

在有些数学问题中，确定与变化是暂时的是可以互相转化的，在相对的确定与变化中我们可以发现问题的特点，利用这样的本质我们可灵活的解决问题.

问题5如图12，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值[CD#3].（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）

[TS（][JZ]图13[TS）]

分析此问题中已知点A是确定的，点P在射线CM上移动，要求直线AP与平面ABC所成角的正切值最大，即求直线AP与平面ABC所成角的最大值.

一般我们都会考虑如何确定这个线面角，根据已知条件，过P作PQ⊥BC，垂足为Q，则∠PAQ是直线AP与平面ABC所成角θ（如图13）.

此时角θ处在一个不确定的△PQA中，我们可以设CQ=x，用x来表示tanθ，用函数的方法求出tanθ的最大值.

但是这可能不是题目的本意，其实问题的条件可以理解为在两条确定的射线CM，CA上分别有两点P，A，那么换位思考，若P确定，A的位置在哪里呢？

若P确定，那么PQ就确定，要∠PAQ最大，就是要PA最小，因此应该满足PA⊥AC.现在点A的位置确定，那么点P的位置满足PA⊥AC时，∠PAQ最大，计算得tanθ的最大值是539.[TS（][JZ]图14[TS）]

问题6如图14，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

分析此题是一个以四棱锥为载体的问题，它较好地糅合了空间线面的平行与垂直关系，方法多样思维灵活，能有效地区分不同学习层次的学生.尤其是（Ⅱ）问求直线和平面所成的角，它要求学生要仔细分析图形的特点，理解线面关系并能对线面角进行灵活的转化.此图若能从变化的角度来理解，对问题的解决也有很大的帮助.

四棱锥P-ABCD的形状是确定的，它的两个核心的面是ABCD和PAD，我们可以从变化的观点来看，四棱锥P-ABCD由五边形ABCDP沿AD折起，使得PC=AD.（如图15、图16）

[TS（][JZ]图15图16[TS）]