“降维类比”：由三角函数余弦和角公式联想到二面角大小

时间：2024-05-09

周如俊

求解二面角大小问题是高考的热点问题.传统解题方法主要有定义法、三垂线法、垂面法、异面直线的距离法、法向量法.因此其求解中作图思维与推理具有一定难度.本文运用“降维类比法”，在三角函数余弦和角公式基础上类比出的二面角大小求解的“通用”公式，把空间形体转化为平面图形有关角的计算，能给予学生一定的解题思维程序，降低题目难度与思维难度，具有直观、简捷、套用明快的优点.

1问题提出

有关三面角公式求解二面角大小问题，一些文献作了探究，但是所推出的公式形式不一，也难以记忆【1】【2】【3】.笔者备课中研究发现，两角和与差的余弦公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ也是求二面角大小的“计算公式”（“三线四角”公式）的一种特例.这种由三角函数余弦和角公式“降维类比”（即三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象）出二面角大小计算“通用”公式，只需计算出同一顶点发出的三个线线间角，即可快速求出二面角大小.

图1

三角函數余弦和角公式如图1，OA、OB、OC是一平面内共端点的三条射线，记∠AOB=θ1，∠COB=θ2，∠AOC=θ，直线EF与OB垂直（垂足为H），且直线EF分别与射线OA、OC相交于E、F两点.则由三角函数和角公式有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2-sinθ1·sinθ2.

考虑到直线EHF，∠EHF=180°，则有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos180°

即：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos∠EHF（*）

图2

三面角余弦定理如图2，将图1中射线OA、OC分别围绕OB旋转到任意位置，形成“三线四角”（共点三条射线两两所成的面角以及它们所构成的一个二面角）.类比公式（*），可得二面角A-OB-C（记二面角大小为α）的一个“通用”计算公式（简称“三线四角”公式）.此公式又称为三面角余弦定理.

cosθ=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cosα（**）

略证在△EOF中，由余弦定理得：cos∠AOC=OE2+OF2-EF22OE·OF.

在△EHF中，由余弦定理得：

EF2=EH2+FH2-2EH·FHcos∠EHF.

所以有：

cos∠AOC=OE2+OF2-EH2-FH2+2EH·FHcos∠EHF2OE·OF=（OE2-EH2）+（OF2-FH2）2OE·OF+EH·FHOE·OFcos∠EHF

=2OH22OE·OF+EH·FHOE·OFcos∠EHF=cos∠AOB·cos∠BOC+sin∠AOB·sin∠BOC·cos∠EHF

即：cosθ=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cosα（**）

cosα=cosθ-cosθ1·cosθ2sinθ1·sinθ2（***）

即三面角余弦定理内涵表述：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所对面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以这两个面角的正弦之积.

同样可推出三面角正弦定理：

三面角正弦定理三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比.

如图2，二面角A-OB-C大小记为α，二面角A-OC-B大小记为β，二面角B-OA-C大小记为γ，则有sinαsinθ=sinβsinθ1=sinγsinθ2.

实际解决有关高考试题二面角问题时，只要把求二面角的问题转化为考虑三个三角形中角的三角函数问题求解即可.（***）公式方向明确，方法简单.

通过公式（**），也可速证最小角定理.图3

最小角定理如图3，设A为平面α上一点，过A的直线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α上的一条直线，则∠OAC=θ，∠BAC=θ2，∠OAB=θ1，三角的余弦关系为：cosθ=cosθ1·cosθ2.此式又叫最小角定理（爪子定理），主要用于求平面斜线与平面内直线成的最小角.

略证因O-AB-C二面角α=90°，由（**）即得：cosθ=cosθ1·cosθ2.

2公式运用

“三线四角”公式，将三维空间的对象降到二维（或一维）空间思考，它以最简约、最概括的方式呈现.不仅促进学生对原有“二面角”知识透彻的理解，还可以帮助学生更快捷地获取与弄清二面角概念及其计算公式的内涵和外延，理解结论的由来与适用范围，达到二面角知识学习的精练化、条理化、网络化，从而培养了学生的创新精神和创新意识.

应用公式求二面角大小时，只需在棱上任找一点，分别在两个半平面内各引一条射线，使之与棱形成共点三线，由此共点三线两两所成面角.计算三个面角的三角函数值，即可通过公式快速求出相应二面角大小，从而减少作辅助线求解二面角的推理难度.

2.1求两相交直线的夹角大小此类题一般条件是已知一个二面角大小及“三线”的二个面角，通过“三线四角”公式求解，求其另一个面角.解题时三面角顶点的确定是关键，应在所求二面角的交线上.有时也可依据三面角正弦定理直接求解.

例1（2017年新课标Ⅲ卷理第16题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°；

其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）

图4

解析如图4.由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D.BE为底面圆直径，连结DE，则DE⊥BD，DE∥b.连结AD，等腰ΔABD中，不妨设AB=AD=2.

（1）当直线AB与a成60°角时，∠ABD=60°，故BD=2.

又在Rt△BDE中，BE=2，DE=2，故cos∠FBC=cos∠DEC=22，

因二面角F-BC-A大小α=90°，由（**）即得：

cos∠ABF=cos∠ABC·cos∠FBC=22.22=12，∠ABF=60°，即AB与b成60°角.故②正确，①错误.

（2）因A-BC-D二面角大小α=90°，由（**）即得：

cos∠ABD=cos∠ABC·cos∠DBC=22cos∠DBC，

当∠DBC=0°，cos∠ABDmax=22·1=22，（∠ABD）min=45°，

即直线AB与a所称角的最小值为45°，故③正确.

∠DBC=90°，cos∠ABDmin=0，（∠ABD）max=90°，

即直线AB与a所成角的最大值为90°，故④错误.

因此正确的说法为②③.

2.2求异面直线的夹角大小此类题一般条件是通过直线平移，转化为已知一个二面角大小及“三线”间二个面角，从而转化为“求两相交直线的夹角大小”类型，再通过“三线四角”公式求解.有时也可借助异面直线的距离公式d=l2-m2-n2±2mncosθ求异面直线的夹角θ大小（其中AC和BD互为异面直线，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=d，CD=l，AC=m，BD=n）.

例2（2017年新课标Ⅱ卷理第10题）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）.

A.V=32

B.155 C.105 D.33

图5

解析如图5，设异面直线AB1与BC所成角记为θ（θ∈（0°，90°]），只要将直线AB1平移过点B（此时平移后直线为A2B）即可.此时二面角A2-BB1-C1大小α=120°.

cos∠AB1B=15，sin∠AB1B=25，

cos（180°-∠C1BB1）=-cos∠C1BB1=-12，sin（180°-∠C1BB1）=12，

由公式（**）得：

cosθ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα=cos∠AB1Bcos（180°-∠C1BB1）+sin∠AB1Bsin（180°-∠C1BB1）·cos120°=-[SX（]1[][KF（]5[KF）][SX）]·[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]+[SX（]2[][KF（]5[KF）][SX）]·[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]（-[SX（]1[]2[SX）]）=-[SX（][KF（]10[KF）][]5[SX）].

即cosθ=105.

因此正確答案为C.2.3求二面角的夹角大小“三线四角”公式求解二面角大小，一般比“作角求角法”与“法向量法”显得更简洁.此类题一般条件是已知三面角的“三线”的三个面角，求其中二面角的大小.解题识别关键是通过三角函数关系求出三个面角大小，直接代入“三线四角”公式求解即可.有时证明两平面垂直关系也可转换成通过“三线四角”公式求平面二面角的夹角大小为90°即可，并且省去推理证明过程的麻烦.

例3（2017年新课标Ⅰ卷文第18题）如图6，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

图6

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

解析

（1）设二面角B-AP-D大小为α.

因为∠BAP=∠CDP=90°，AB∥CD，

所以AB⊥AP，CD⊥DP，AB⊥DP，

由公式（***）得：

cosα=cos∠BAD-cos∠BAP·cos∠DAPsin∠BAP·sin∠DAP

=cos90°-cos90°·cos∠DAPsin90°·sin∠DAP=0，α=90°，

即平面PAB⊥平面PAD.