球心位置在哪？

陈启南

球问题是立体几何的重要知识和常见考点，与球相关的计算问题在高考和各类模拟题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多，三棱锥外接球问题灵活多变，确定球心的位置是解决此类问题的切入点，也是解题的难点，本文从三个视角探究三棱锥外接球问题的求解方法，以供参考.

视角一底面外心沿垂线方向确定球心位置

由外接球性质，球心到各顶点距离相等，三棱锥外接球的球心在底面投影即为底面三角形的外心，由此可知，球心位置可在底面三角形的外心沿垂线方向来确定.

类型1底面特殊三角形外心沿垂线方向确定球心位置

例1正四面体P-ABC边长为a，求其外接球的表面积为.

解析如图1，正四面体PA=PB=PC，点P在底面等边△ABC投影为△ABC的重心，设球心为O，球半径为R，球心O在垂线PG上，在Rt△PGA中，易得AG=33a，PG=63a，在Rt△OGA中，AG2+OG2=OA2，即33a2+63a-R2=R2，解得R=64a，所以球的表面积为S=4πR2=32πa2.

例2三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=23，AC=4，∠BAC=30°，求该三棱锥外接球的表面积为.

解析如图2，因为AB=23，AC=4，∠BAC=30°，所以△ABC是直角三角形，其外心为斜边AC中点D点，即DA=DB=DC，因为平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，所以PD⊥平面ABC，易得PD=22，球心在PD上.设球心为O，球半径为R，因为OA=OP=OB=OC，所以在Rt△ODA中，AD2+OD2=OA2，即22+（22-R）2=R2，解得R=322，球的表面积为S=4πR2=18π.

拓展练习三棱锥O-ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，AB=6，BC=23，AC=43，则三棱锥O-ABC的体积为.

解析因为底面ABC的顶点在球O表面上，所以OA=OB=OC，所以点O在底面ABC射影为△ABC的外心，因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，斜边AC中点D点为点O在底面ABC投影点，所以OD⊥平面ABC，即OD为三棱锥底面ABC的高，易得三棱锥体积为43.

类型2底面一般三角形求外心（外接圆半径）沿垂线方向确定球心位置

例3三棱锥P-ABC中，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P-ABC外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为.

解析如图3，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，不妨设△ABC外心为D点，由正弦定理得：DA=DB=DC=12·BCsin∠BAC，所以△ABC外接圆半径DA=233，因为PA⊥平面ABC，过D作PA的平行线与PA的中垂线交于点O，

因为OA=OP=OB=OC，点O为外接球的球心，因为外接球表面积为8π，所以外接球半径为2.在Rt△ODA中，OD=OA2-DA2=63，易得三棱锥体高PA=2OD=263，可计算出三棱锥的体积为229.

评注视角一在确定球心位置需满足两个条件：1.确定底面特殊三角形外心位置或一般三角形求出其外接圆半径（正弦定理）；2.明确底面三角形的垂线方向，这两条件缺一不可.

视角二特殊三棱锥构造长方体确定球心位置

对于一些特殊三棱锥可将其置于长方体内，三棱锥外接球即为长方体的外接球，球心位于长方体的体对角线的中点，由此确定外接球球心位置，常见可置于长方体内的特殊三棱锥主要有以下三种：

类型3两条棱相互垂直且其公垂线位于棱端点上

例4三棱锥P-ABC的四个顶点都在一个球面上，PA，PB，PC两两垂直，PA=3，PB=4，PC=5，则该球的表面积为.图4

解析如图4，三条侧棱两两垂直，可考虑将三棱锥P-ABC置于长方体一角，三条侧棱分别为长方体的长、宽、高，三棱锥P-ABC外接球即为长方体的外接球，球心位于体对角线的中点，球的直径2R=32+42+52，所以球的半径R=522，易得球的表面积为50π.

例5三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，PA=12，PA⊥平面ABC，则球O的半径等于.

解析如图5，由题意可知，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，PA为棱AB，BC的公垂线，可考虑将三棱锥P-ABC置于长方体一角，已知棱BC，BA，AP分别为长方体的长、宽、高，三棱锥P-ABC外接球即为长方体的外接球，球心位于体对角线的中点，球的直径2R=32+42+122，所以球的半径R=132.

类型4棱面三棱锥

例6三棱锥P-ABC中，AB=BC=1，AB⊥BC，BC⊥CP，PA⊥AB，∠CPA=60°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.图6

解析由长方体一条棱和一条对角线所形成的三棱锥为棱面三棱锥，其四个顶点所组成空间四边形恰有三个角为直角，由其特殊性不难发现三棱锥P-ABC为棱面三棱锥，如图6构造长方体，AC，PA，PC为长方体的面对角线，AB，BC为长方体棱，依题意得△PAC为等边三角形，AC=PA=PC=2，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意得：a=1，b=1，c=1，所以2R=12+12+12，球的半径R=32，计算出外接球的表面积为3π.

此题另解：设PB中点为O，由于PA⊥AB，PC⊥BC，则点O为Rt△PAB和Rt△PCB外心，所以O到点P，A，B，C距离相等，所以PB为外接球的直径，由题意AC=2，△PAC是等边三角形，易得PB=3，球的半径R=32.

类型5对棱相等三棱锥

例7三棱锥P-ABC的顶点在半径为522的球面上，AC=BP=5，AP=BC=41，AB=CP，则三棱锥P-ABC的体积是.图7

解析此三棱锥有三组对棱相等，可利用长方体面对角线相等，将三棱锥置于长方体内，三组对棱即为长方体三组面对角线.如图7，外接球心为体对角线中点，三棱锥体积为长方体体积截去四个三棱锥体积.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意得：a2+b2+c2=50，a2+b2=25，a2+c2=41，解得：a=4，b=3，c=5，所以三棱锥体积是V=5×3×4-4×13×12×4×3×5=20.

视角三利用空间向量确定球心位置

确定三棱锥外接球的球心位置，亦可以用建立空间直角坐标系，利用球心到各顶点距离相等，得出球心空間坐标，确定球心位置，计算出外接球的半径求解问题.图8

例8三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120°，求三棱锥外接球的半径.

解析依题意，在平面ABC内过A作AD⊥AB，不妨以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A0，0，0，B2，0，0，C-1，3，0，P0，0，2，设球心O点坐标为a，b，c，由OA=OB=OC=OP可得：

a-22+b2+c2=a2+b2+c2，a+12+b-32+c2=a2+b2+c2，a2+b2+c-22=a2+b2+c2.

解得：球心O坐标为1，3，1，所以外接球的半径R=OA=12+32+12=5.