基于深度学习的数学课堂教学微设计

【摘 要】 深度学习是学生源于自身动机的对有价值的学习内容展开的完整的、准确的、丰富的、深刻的学习，是一种有意义、理解性、阶梯式的学习.开展以学生发展数学核心素养为价值取向，基于深度学习的高中数学课堂教学微设计，具有促进学生主动学习，改善学生课堂学习状况，提高学生课堂学习质量的现实意义，也具有探寻与高中数学课程建设相适应，与高中数学学科发展核心素养相承接的课堂教学行为的现实性和紧迫性.课堂教学微设计是方法，深度学习是过程，发展核心素养是目标，三者逻辑相关，有机统一.

【关键词】 深度学习；核心素养；教学设计；数学教学

随着《中国学生发展核心素养》总体框架的发布和普通高中课程改革的深入，“增强课程意识”，“发展核心素养”成了当前课程实施的热词.与此相适应的课堂教学也正在积极地发生变化.但综观当前数学课堂教学，教师对课堂的“控制欲”仍比较强，以“学生的学为本”、“以学生的发展为本”的教学设计仍匮乏，有的教师纵然有较好的设计，但在课堂实施中总是喜欢用自己的“教”牵引学生的“学”，学生思维难以“驰骋”，自然地，课堂也就少了 “自主、合作、探究”与“发现”，学生的学习状态因停留在浅层水平而鲜有核心素养的发展.有的教师仍奉行“会做题才是硬道理”的数学教学取向，以“例题讲解+重复训练”作为教学的主要方式，严重影响学生学习数学的兴趣和自信心，挫伤他们数学学习的积极性，学生发展数学核心素养也就成了一句空话.显然，学生的学习缺乏深度是目前大多数数学课堂教学之弊病，这样的数学课堂教学能承担起学生发展数学核心素养的重任吗？显然答案是否定的.那么，数学一线教师在课堂教学中该采用怎样的路径来实现学生发展数学核心素养呢？

基于对这一问题的思考，笔者在教学实践中尝试开展了以学生发展数学核心素养为价值取向，基于深度学习的高中数学课堂教学微设计研究，实践表明，该研究不仅具有促进学生主动学习，改善学生课堂学习状况，提高学生课堂学习质量的现实意义，同时还具有探寻与高中数学课程建设相适应，与高中数学学科发展核心素养相承接的课堂教学行为的现实性和紧迫性.现不揣浅陋，简述笔者的思考与实践，以与同行探讨.

1 深度学习的内涵及主要特征

深度学习理论认为学习既是个体感知、记忆、思维等认知过程，也是根植于社会文化、历史背景、现实生活的社会建构过程[1].深度学习（deep learning）也被译为深层学习，是美国学者Ference Marton和Roger Saljo基于学生阅读的实验，针对孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习（surface learning），于1976年首次提出的关于学习层次的一个概念[2].事实上，早在1956年布鲁姆在其《教育目标分类学》中关于认知维度层次的划分中就已蕴含了“学习有深浅层次之分” [3]的观点. Ference Marton和Roger Saljo借鉴了布鲁姆认知维度层次划分理论，创造性地提出了深度学习的概念并借助实验推进了深度学习的研究.

深度学习是学生源于自身内部动机的对有价值的学习内容展开的完整的、准确的、丰富的、深刻的学习[4].从本质上看，深度学习是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学习者掌握非结构化的深层知识并进行批判性的高阶思维、主动的知识建构、有效的迁移应用及真实问题的解决，进而实现元认知能力、问题解决能力、批判性思维、创造性思维等高价能力的发展；与之相对应的浅层学习則是一种被动的、机械式的、记忆性的学习方式，只是把信息作为孤立的、不相关的事实来被动接受、简单重复和机械记忆，忽视对知识的深层加工、深度理解及长期保持，更无法实现知识建构、迁移应用及真实情景中的复杂问题解决[5].

深度学习是有意义的学习，要求学生的学习不是单纯的接受，而是在发现基础上的同化；深度学习是理解性的学习，重在引导学生通过深切的体验和深入的思考，达成对学科本质和知识意义的渗透理解；深度学习是阶梯式的学习，要求学生的深度学习必须是促进式的、层次性的、阶梯式的[6].

2 发展核心素养、深度学习、课堂教学微设计三者的内在逻辑

课堂教学微设计，即教师选取课堂教学内容中的某一片段（如问题情境、概念教学、探究活动、例题练习、知识应用等等）而进行的设计，它是整个课堂教学设计的一部分，若干个微设计构成整个课堂教学的设计.

课堂通过怎样的路径来促使学生发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养？笔者的做法是，从现行的人教A版普通高中数学教材中选取部分章节进行课堂教学微设计，以此来促进学生的深度学习，达到学生发展数学核心素养的目标.由此可见，课堂教学微设计是方法，深度学习是过程，发展核心素养是目标，三者逻辑相关，有机统一.

3 实践案例

3.1 平面向量数量积的物理背景及其含义[7]

人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）》中的“241平面向量数量积的物理背景及其含义”是学生在学习了向量的加法、减法和数乘向量这些线性运算之后学习的一种新运算.这不仅是为了构建较完整的向量运算体系，更是为了解决与度量有关的几何问题的需要.我们知道，向量作为利用代数运算研究几何问题的新工具，当向量的线性运算无法解决两个向量互相垂直，及求长度、角度等度量问题时，自然会想到引入新的向量运算来解决这些问题，这是它深刻的数学背景，平面向量数量积也有它现实的物理背景，即物理受力做功的背景.平面向量数量积不仅可以解决与度量有关的几何问题，而且还可以推导两角差的余弦公式、正弦定理、余弦定理等，对这一概念学习可充分体验和感受其深刻的数学思想方法，有利于学生发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养.对“平面向量数量积” 的概念教学可微设计如下：

问题1 请同学们回忆一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

设计意图 唤醒学生原有的认知基础，为新知识的学习寻找固着点和生长点.

问题2 我们可以利用向量的这些线性运算解决平面几何中的哪些问题？

设计意图 引发学生思考，回味向量的加法、减法、数乘向量这些线性运算可以解决平面几何中的三点共线、线段平行等问题，但发现无法解决求长度、角度等与度量有关的几何问题.因而，寻求向量新运算变得有必要.

问题3 请大家继续回忆，我们是怎样引入向量的加法运算的？又是按照怎样的研究思路来学习这种运算的？

在学生回忆、交流、表达的基础上，教师归纳：我们从物理中的位移合成、力的合成中抽象出了向量的加法运算，继而研究了它的性质和运算律，即我们按照“物理模型——概念——性质——运算律——应用”这一研究思路来学习向量的加法运算的.教师指出，本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另一种新运算.

问题4 请大家思考，哪些物理矢量问题与长度和夹角有关？能否从中获得新的向量知识，解决与度量有关的几何问题？

设计意图 给学生体验如何去寻找“物理模型”. 当学生给出了力的物体做功的计算公式W=Fscosθ，其中θ是F与s的夹角.教师指出：功可以看成是力和位移两个矢量的一种运算结果，舍去物理背景，对数学中的兩个非零向量a与b，我们把数量abcosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=abcosθ，其中θ是a与b的夹角.

显见，以上对“平面向量数量积”概念的教学设计，从数学思想上看，主要揭示了学习这一运算的深刻的数学背景，让学生充分认识到新知识学习的必要性，充分感受到新知识发生的过程，即它来自何处（缘何而生）？从数学方法上看，主要是揭示了这一概念学习的思维过程，即类比向量加法运算学习的研究思路和方法，从寻找物理模型这一思路入手展开.

一般地，在学生学习了平面向量的加法运算后，教师可不失时机地引导学生归纳学习这一运算的研究思路和方法，以此指导学生用同样的方法学习向量的其它运算，这一研究思路的提炼和概括是概念学习的深层知识，是根和茎，可将向量运算知识编织在一起，形成网络，在学习完向量的数量积运算后，形成了一个完整的运算结构体系.

更重要的是，这样的设计，不仅强调促进学生主动学习、促进向量知识整合和意义联接的学习，而且强调学生高阶思维的发展，强调将已有的研究数学问题的方法迁移到新概念的学习之中，对学生来说是一种深度学习.在这个学习过程中，学生能很好地发展以下数学核心素养：

数学抽象：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.该微设计，从力的物体做功的计算公式中，舍去物理背景，得到数学研究对象，即两个非零向量a与b数量积概念的思维过程.教学中注重如何引导学生舍去事物的物理属性，从事物的具体背景中加以抽象，并用数学符号对向量数量积概念进行表征.

逻辑推理：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.该微设计，将学生在学习“向量的加法运算”内容时概括出的研究思路：物理模型——概念——性质——运算律——应用，类比运用到对“向量数量积”这一新运算的学习中，能较好地引导学生发现和提出命题，理解“向量加法运算”和“向量数量积运算”的内在联系，形成有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力.

数学建模：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.众所周知，平面向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.在中学数学教学中常常把向量定位为研究几何问题的一种“工具”. 平面向量的数量积是继向量的加法、减法、数乘运算后引入的一种新的运算，是运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算.它与向量的加法、减法、数乘运算的线性运算不同：线性运算对应的是向量，数量积对应的是实数，数量积实质上是一种对应关系，因而也就是两个非零向量a与b运算的一种“模型”.该微设计正是在对力做功的“物理模型”进行抽象的过程中建立的推动向量研究几何边角度量问题的一种“运算模型”.

3.2 三角函数的诱导公式

人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）》中的“13三角函数的诱导公式”是学生已学习过的任意角的三角函数定义、诱导公式（一）等知识的延续和拓展，体现了三角函数之间的内部联系.诱导公式兼具“运算工具”与“表达函数性质”的双重作用，是圆的对称性的代数表示.这节课蕴含着丰富的数学思想：诱导公式的引入蕴含了分类与整合思想；诱导公式自身的功能诠释了化归与转化思想；诱导公式在解决问题中的作用无不体现函数与方程思想；探究与证明诱导公式的过程中自始至终凸显特殊与一般思想（特别把α看成锐角）；诱导公式的引入、证明、应用处处体现数形结合思想.对这节内容的学习可充分体验和感悟丰富的数学思想方法，有利于学生发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等核心素养.对“诱导公式” 的推导教学可微设计如下：

问题1 请大家回忆一下，终边相同的角的同名三角函数值之间有什么关系？我们是如何研究的？

设计意图 通过对终边相同的角的同一三角函数值之间关系及研究方法的回忆，使学生明确单位圆和三角函数的定义在研究三角函数性质上所起的作用，为后续三角函数诱导公式的推导提供研究思路，同时体会这组公式体现了三角函数具有周而复始的性质.

问题2 角π+α的终边与角α的终边有什么关系？它们的终边与单位圆交点的坐标有什么关系？由此你能得到π+α，α的三角函数之间的关系吗？

设计意图 引导学生自主探究，体会研究问题的思路以及圆的对称性与三角函数性质的关系，体会单位圆在研究问题中的工具作用.在此基础上，让学生交流、概括公式的研究思路：角的关系——终边关系——坐标关系——三角函数值关系.

问题3 请大家探究角π-α与角α、角-α与角α、角π2-α与角α、角π2+α与角α的终边之间的关系，并得出相应的三角函数值之间的关系.

设计意图 让学生类比问题2概括的研究思路进行自主探究，进一步体会圆的几何性质（对称性）与三角函数性质的关系，体会单位圆在研究问题中的工具作用.

问题4 你能发现以上探得的几组诱导公式之间的内在联系吗？

设计意图 让学生用推理的方法发现公式，体会公式与公式之间的内在联系，感悟公式中角指代的“广泛性”；同时，让学生观察这几组诱导公式的结构特征，引导学生从“函数值的符号”和“函数名”的改变与否的视角对公式的变化规律加以概括，构建完整的诱导公式的知识网络.

深度学习提倡将新知识与已知概念和原理联系起来，整合到原有的认知结构中，从而引起对新的知识信息的理解、长期保持及迁移应用[8].本微设计，重视学习的迁移运用和问题解决. “问题1”和“问题2”的设计有利于学生深入理解解决问题的原理方法，以在“问题3”的求解中能分析判断差异并将原理思路迁移运用.如果学生不能将习得的原理方法迁移求解于 “问题3”，那么学习者对“问题1”和“问题2”的学习只停留在被动接受的浅层水平上，对课堂上可迁移、具有普遍意义的原理和方法缺乏深入的考究和理解，影响发展数学核心素养.因而，对本设计的教学实施，教师一定要着意于学生的主动思考和自主探究，着意于促进学生思维的深入交流和对新知的积极建构，着意于促进学生的深度学习.

本设计，在得到一组诱导公式后，运用类比探究其它诱导公式和寻找公式之间的内在联系的过程中可促进学生发展“逻辑推理”核心素养；在借助单位圆工具，按照“角的关系——终边关系——坐标关系——三角函数值关系”的思路展开探究的过程中可促进学生发展“直观想象”、“数学运算”和“数据分析”核心素养；在引导学生从“函数值的符号”和“函数名”的改变与否的视角对公式的变化规律加以概括的过程中可促进学生发展“数学抽象”；在对诱导公式中的角α既可以是“单角”，也可以是“复角”，即指代具有“广泛性”的理解上可促进学生发展“数学建模”核心素养.

深度学习是内源性的学习，让学生积极主动地参与到课堂教学活动中，学生的学习才有可能是有深度的，也只有学生深度学习，才可能促进学生发展核心素养.从这个意义上讲，准确把握学情和深刻解读教材就显得尤为重要，因为它们是引导深度学习的基点.如何把握这两个基点进行课堂教学微设计，以更好地促进学生发展数学核心素养是个值得深入研究的问题，笔者愿对此作进一步的思考，以期为一线教师提供可资借鉴的基于深度学习的数学课堂教学微设计策略、方法和教学案例.

参考文献

[1] 冯锐，任友群.学习研究的转向与学习科学的形成[J].电化教育研究，2009（2）：23-26.

[2] Marton F，Saljo R. On Qualitative Difference in Learning∶Outcome and Process[J].British Journal of Educational Psychology，1976（46）：4-11.

[3] 安德森.布鲁姆教育目标分类学（修订版）[M].北京：外语教学与研究出版社，2009.

[4] [6]賀慧.回归课堂原点的深度学习论[J].基础教育课程，2015（12）：8-13.

[5] 张浩，吴秀娟，王静.深度学习的目标与评价体系构建[J].中国电化教育，2014（7）：51-55.

[7] 陈柏良.课堂教学要注重演绎结构的设计[J].中学数学教学参考，2014（12）：2-4.

[8] 安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究[J].课程·教材·教法，2014（11）：57-62.