对高中数学核心素养与教学设计的思考

庄志刚+张玲

【摘 要】 本文从对高中数学核心素养的理解入手，对如何培育核心素养的策略进行了思考，通过具体的案例，从精确把握数学内容的本质与创设适合的教学设计两个方面进行了具体实施策略的探讨.

【关键词】 核心素养；数学本质；教学设计

随着科学技术迅猛发展、社会对人才要求的需要，在《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》文件中提到了核心素养，并且要求修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终，国家适时地提出了“学生核心素养”，其实最基本的问题是在追问我们到底要培养什么样的人，就是希望在高位的教育方针和具体的教育实践中，搭建一个具体化的桥梁，使教师能够把教育教学和核心素养相对照起来，进而促进我们党和国家教育方针的落实.

1 对高中数学核心素养的理解

张奠宙教授对数学核心素养是这样解释的：“数学核心素养包括‘真、善、美三个维度.通俗地说，数学的核心素养有‘真、善、美三个维度：理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性；具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学，热爱数学.”

高中数学新课程定义数学核心素养为“学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、与数学有关的关键能力和思维品质”，由此提出了把抽象思维、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析作为高中数学的六大核心素养，体现了数学学科的本质与功能目标，也就是育人价值.那么其功能目标是什么？这里用史宁中教授的话来诠释是最恰当不过的，“就是让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”.

我认为对高中数学核心素养可以这样来解释：数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达到的有特定意义的综合性能力，它基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能.数学核心素养是指在素养中最重要的、必须具备的、具有普适性的部分，数学核心素养是通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质.

数学核心素养对数学学科的教学应该起到指导和引领的作用，彰显了学科教学的育人价值，因此这就要求数学学科教学的目标和活动都要从素养的高度来进行，为素养而教，用学科育人.但是数学核心素养的达成也必须依赖于数学学科本身独特育人功能的发挥，以及对学科本质魅力的发掘.所以说，数学核心素养反映的是数学本质、数学思想与数学思维方法，它是在学生参与相关的数学学习活动过程中逐渐形成的，可以在遇到问题的时候，即使不是数学问题也可以从数学的角度和用数学的思维方法去思考、分析、理解和解决问题，具有综合性、整体性和持久性.

2 在教学中如何培育数学核心素养

既然核心素养与学科教学的目标和内容直接相关，可以说是“密不可分”，那如何在日常的教学中使之落地，成为教师亟待解决的工作.

2.1 精确把握数学内容的本质

如何在日常的教学中体现数学本质，作为教师自身首先就要明确数学教材中所涉及内容的实质，这样才会让学生理解和掌握这些内容的本质，促进学生数学素养的提升.

如三角函数的教学一定要在函数的视角和背景下对三角函数进行解剖，不仅有利于学生对于三角函数的理解和掌握，对深刻理解函数的实质起到了积极的促进作用，也对提升学生的能力和素养意义非凡.首先要弄清楚三角函数的本质就是函数，只不过它是关于以角为自变量的一类特殊函数，函数值之间的关系有其一定的运算规律，由此产生了三角公式这些规律.还要注意的是三角函数线教学，因为三角函数线可以把三角函数的函数特征、周期特征和几何特征有机地结合在一起，是研究函数问题的创新，重视三角函数线的作用有助于培养学生的创新思维能力.

再如函数的性质本质上指当自变量满足某些关系时，函数值是否随之满足某些关系.具有某种性质的函数，会同时反应在函数的解析式与函数的图象上，借助于性质的本质，解析式满足的关系与图象满足的特征之间可以很好地对应起来.以偶函数为例，若函数f（x）是偶函數，那么它的解析式满足方程f（-x）=f（x），它的图象关于y轴对称，从偶函数本质上理解：当两个自变量的和为0时，对应的函数值相等，这两个点也恰好关于y轴对称.

案例1 求证：如果一个函数有双对称轴，那么它一定是周期函数.不妨以特殊的函数为例进行证明.若函数f（x）的图象关于x=1与x=2对称，证明f（x）是周期函数，并求出它的一个周期.

证明：由f（x）的图象关于x=1对称知：

当自变量和为2时，函数值相等，即f（x）=f（2-x），同理有f（x）=f（4-x），

于是我们得到f（2-x）=f（4-x），这说明当自变量相差2时，函数值相等，这是周期性的本质，故f（x）是周期函数，2是它的一个周期[1].

在日常的课堂教学中，引导学生通过问题解决、拓展、规律总结归纳等方式，加深对知识的理解，真正掌握知识的本质，这对于学生的学习可以起到事半功倍的作用，同时教会学生提出问题、思考问题、解决问题的策略，提高了学生学习能力的同时也提升了学生的数学素养.

案例2 求数列1n（n+1）的前n项和Sn，其中n∈N+.这是比较常见的一个题型，在学生写出Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1）时，说明学生理解了1n（n+1）是数列通项的简写式，同时让学生观察这个和式：数列中的每一项既不构成等差、也不构成等比数列.但是每一项分式中的分母是两个连续自然数的乘积，而且已是最简式，探究能否还原其化简前的原形？学生很容易想到把数列的通项拆项成：1n（n+1）=1n-1n+1.类似地用这一方法可解决通项满足1n（n+k）（k∈N，且k>1）的所有数列的求和.

现代认知心理学家认为，数学学习是个体认知结构从建立到扩展，再到精致的过程，用不同形式的表征加深对知识的理解，通过对知识应用的体验完善知识.而下面这一问题的解决，可发展和完善学生的认知结构.

拓展1 求数列1anan+1的前n项和Sn，其中对任意的n∈N+都有an+1-an=d（d为常数）.

在这个教学设计中，充分向学生渗透观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳类比等各种数学思想方法，尤其是拓展部分，从特殊到一般，帮助学生对等差数列的本质的把握更是起到了承前启后的作用. 如果把问题继续拓展，通过解决问题一定会有意想不到的收获，即让学生的思维空间更广阔了.

拓展2 设数列{an}满足an=（-1）n2n+1n（n+1），n∈N*，求此数列的前n项和Sn.（分子是分母两项因数的和，像这种问题考查的也是“裂项相消法”.）

拓展3 设数列{an}满足an=（-1）n2n+n0n（n+n0），n，n0∈N*，求此数列的前n项和Sn.

2.2 创设适合的教学设计

核心素养的培养过程侧重学生的自主探究和自我体验，更多地依靠学生自身在实践中的摸索、积累和体悟，因此如何让学生积极地参与到数学教学过程中，成为我们迫切需要解决的问题.下面通过具体的案例来说明什么是适合的教学设计.

2.2.1 教学情景的设计

数学教学设计的优化可以决定学生学习方式的快速改善，而学习方式的改善不仅仅是让学生学会数学，还会让学生掌握自主学习的本领.因为活动式情景的设计符合数学教学发展的方向，因此下面就以活动式情景的设计为例，举例说明情景设计的基本思路.

活动式情景的最大特点是趣味性，虽然带有游戏的成份，但要有一定的思维价值，能体会和挖掘其中的数学知识，更具本原性，提高学生的兴趣和参与度.

案例3 “数学归纳法”的情景引入

教师：首先请某组的第一个同学回答问题，然后请第二个、第三个、第四个、第五个，这时大家会有什么想法？

学生：第六个同学会非常紧张，而其他同学感觉轻松，因为老师必定要請第六个同学回答.

（从这种现象的解析可以引入归纳法的定义，感受到归纳法的实际意义，这时候给学生一个意外，不请第六个同学回答，而是请其他同学回答，从而阐述归纳法的不确定性.）

教师：要想证明老师是从前往后依次提问，怎么办？

学生：只要看老师是不是再依次请第六个、第七个同学回答.

（从此问题揭示了证明猜想的一种方法：枚举法.）

教师：如果这个组有上千人，老师要一个一个点名实在太麻烦，怎么办？

学生：其实只要一句话就行，请这一组的同学依次往后回答问题，首先请第一个同学开始.

教师：这句话为什么能实现目标，它包含了几层含义？

学生：这句话包含了两层含义：依次和第一个开始.

（通过这种学生身边的游戏问题，跳跃性的追问，激发学生学习的冲动，探知知识的产生过程，让学生感受数学来源于实践的过程，感受数学的奇妙.）

活动式情景的第二特点是挑战性，能激发学生的好奇心和求知欲望，能引起学生认知冲突，需要学生的努力参与、挖掘与研究.

案例4 “两角和与差的余弦”的推导

设向量a=（cos75°，sin75°），b=（cos15°，sin15°）

问题1： 试分别计算a·b=abcosθ及a·b=（x1x2+y1y2）.

问题2： 比较两次计算的结果，你能发现什么？

问题3： 你发现的结论对任意两个角都成立吗？

（上面这些可以作为课前预习案，可以加一个问题，就是把问题4改改说法：如果你认为你的结论成立，请试着证明，如果结论不成立，请说明理由.）

问题4：如何证明你发现的结论？

问题5：证明过程中，你遇到的困难是什么？你想如何处理？

（这种设计通过层次分明的问题的引导，亲身经历解决问题的“艰辛”， 学会寻找解决问题的途径，让学生感受发现新知的愉悦，享受成功的快乐，同时培养了学生用数学的意识.）

让学生经历活动的过程，在操作和探究中感受和体验数学，通过学生发现问题、提出问题、思考问题的过程激发学生学习的积极性和主动性，使学生进入“口欲言而勿能、心求通而勿达”的状态，所以说活动式的另外两个特点是过程性和问题性.总而言之，创设生动活泼的生活化情景和富有启发性的问题情景，可以让学生感受到数学的无处不在，在活动的过程中帮助学生体验数学、理解数学，既增加了课堂的趣味性，也让学生学会了在生活中挖掘数学的因素，使学生对数学的认识由具体到抽象、由感性到理性、由生活语言到数学语言，逐步培养与增强学生应用数学的能力，同时联系实际为学生提供了广阔的参与空间，自主体验、探究的意识也就加强了.

2.2.2 针对重难点的设计[2]

所谓教学重点，就是学生必须掌握的基本知识和基本技能，如意义、法则、性质、计算等，教师的任务就是把这些知识传授给学生，使学生不仅学会它、掌握它，并能理解它和灵活地运用它.教师要善于根据教学要求，抓住问题的本质，针对教材的重点提出问题.通过层层递进的问题组设置，引导学生独立思考，动手操作，分组讨论从而得到结论，突破重点，攻破难点.

案例5 《几何概型》引入（类比式）

问题1：从1，2，3，…，50这50个整数中，随机地取出一个整数，求这个整数不大于20的概率.（素材典型，起点低、入口宽，叙述简洁，显现学生在古典概型方面的现有水平）

问题2：从区间[0，60]内的所有实数中，随机地取出一个实数，求这个实数不大于20的概率.（问题一的变式，来引发学生的认知冲突，直指几何概型的核心与本质，引发新知的生长点）

活动设计（可以用实验或活动的方式呈现）.

活动1.某馅饼屋中设有一个投镖靶，该靶为正方形板，边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角的硬币便可投一镖并有机会赢得意大利馅饼一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心.当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时，可得到一个大馅饼，假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，求一顾客将赢得一张大馅饼（事件A）的概率.

活动2.取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米（事件A）的概率是多少？

活动3.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出01升，求小杯中含有这个细菌（事件A）的概率.

这三个活动在空间与思维上对问题二进行了自然的延伸，既联系了生活，又激发了学生的学习兴趣，涉及的情景比较多，但学生在学习了古典概型的基础上可以尝试解决每个问题，但解决的方法不易理解，关键的突破点是由有限向无限的转换，可以设计下面的问题，渗透到活动中.

追问：实验中的基本事件是什么？是等可能的吗？事件A包含的基本事件有多少？能否用古典概型的公式来解决？

这三个活动从面积、长度、体积等三个角度让学生感受几何图形测量的多样性，为建构几何概型的概念作好铺垫，下面进行探究：

探究1：几何概型与古典概型有何异同？

探究2：如何将古典概型中的“有限”过渡到几何概型中的“无限”？

探究3：如何求几何概型的概率？

从不同角度创设了活动式的情景，既有过程又有问题，有利于深刻理解几何概型概率计算公式中的几何图形的测度，让知识融于情景中，学生积极参与，发挥其主体性.这样的设计激发了学生抽象思维的发展，对数学素养的提升起到了积极的促进作用.

2.2.3 “创造”问题的设计

在解决问题后，把原问题的条件或结论中的某些概念等用类比的方法改造成新问题，如可以把平面几何中的问题类比成立体几何中的问题、把正弦函数的有关命题类比成余弦函数的有关问题、把椭圆问题类比成双曲线问题、把等差数列类比成等比数列等等.

案例6 若f（sinx）=2-2cos2x，则f（cosx）= .（4cos2x）

如果把原问题中的sinx与cosx互换位置，会得到什么结果？试一试：

若f（cosx）=2-2cos2x，则f（sinx）= . （4cos2x）

如果想得到结果f（sinx）=4sin2x，那么如何修改原问题中的“条件”呢？这里应该注意的问题是这个倍角公式cos2x=2cos2x-1=1-2sin2x的差异，因此只要把条件改为f（cosx）=2+2cos2x，即可以得到你想要的结果.

案例7 已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）长轴的两端点，点P为其上动点，则kPA·kPB= .（-b2a2）

把原问题条件中的椭圆换成双曲线，是否还会得到同样的结果？不妨试一试：

已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）实轴的两端点，点P为其上动点，则kPA·kPB= .（-b2a2）

把问题中的概念、性质等换成“同类”型的，演变成新问题，通过知识的迁移，培养了学生猜想、探究、类比、推理与创造性的思维能力.创设这样的问题情景，可以让学生在创造的体验中，让自己的数学素养提升的同时，学会寻找“发现和解决问题”的途径.

2.2.4 探究性横向拓展活动的设计

现代思维科学认为：问题是思维的起点，显然，加强学生质疑问难能力的培养，即对培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力有极重要的意义.

案例8 《直线与圆的位置关系》复习课部分环节

基础回顾环节：直线与圆的位置关系的分类判断

问题1：已知圆C：x2+y2=1和直线l：y=kx+2，在下列条件下，判断它们之间的位置关系：①k=0；②k=1；③0

问题2：已知圆C：x2+y2=1和直线l：y=x+b，判断它们之间的位置关系.（设计意图：通过对该问题的研究，可以让学生抓住一组平行直线与圆位置关系判定的方法，并探究与问题1的差异性与相关性，这样可以让学生对位置关系有了更深刻的认识.）

拓展提升环节：直线与圆的位置关系的拓展应用

问题1拓展1：已知圆C：x2+y2=1和直线l：y=kx+2，求直线l被圆C所截线段中点M的轨迹方程.

（设计意图：通过此问题的设置，可以让学生掌握相关点轨迹方程的求解規律.）

问题1拓展2：已知圆C：x2+y2=1和直线l：y=kx+2相交于点A，B，且满足

OA·OB=0，求直线l的斜率.（±77）

问题1拓展3：已知圆C：x2+y2=1和直线l：y=kx+2相交于点A，B，且满足OA·OB>0，求直线l的斜率范围.（或OA·OB<0）

（设计意图：以具体问题的解决，让学生真正理解直线与圆的位置关系的实质.）

通过对问题由浅入深的设置，让学生的思维始终处于一种被激活的状态，学生在分析问题、解决问题的过程中加深了对知识的理解与巩固，在体验中领悟直线与圆位置关系的本质.在层层递进的问题组中，促进学生完成对知识以及相关思想方法的复习.通过问题的拓展与延伸，让知识间的纵横联系在学生的实践探究中得到升华，思维能力也随之得到提升，体现了“数学学习是通过相关的数学活动完成的”指导思想.

2.2.5 题后反思设计

荷兰数学家弗莱登塔尔曾指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”，波利亚也说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的一个重要而有益的方面”，可见反思对学习数学的重要性，让师生养成题后反思的习惯尤其显得重要，因此在日常的学习中不要让学生感到“背影已远走，往事随风过”.

作为题后反思的问题设计，教师一定要考虑解决这些问题后的反思所要达到的目标是什么？主要是对问题设计的反思，如①问题所隐藏的内容是否体现单元的完整性？问题是否体现本节课的重点内容，包括知识和方法等，是否便于学生进行自我规整；②问题是否抓住了学生学习的薄弱环节，并能通过这些问题的解决有效地解决学生学习的困难等；③学生自觉参与度如何，是否适合学生间的交流；④问题是否达到了课前效果的预测；⑤学生的相关数学能力是否能够得到最大限度的提高，等等.

案例9 “集合”单元复习的问题设计

1.设全集U=x∈N*x<6，集合A=1，3，B=3，5，则CUA∪B= .

2.集合M={xxx-1>0}，集合N=yy=x12，则M∩N= .

3.集合A=xx2-x-2≤0，B=xx<1，则A∩（CRB）= .

4.已知合集U=R，集合A={y|y=sin（x+1），x∈R}和B={x|x2-x≤0}，

则集合A∩CUB= .

5.已知集合M={x|x2-4<0}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，则集合M∩N= .

学生题后反思的主要内容有：①题目中涉及本部分的知识（点）有哪些？ ②题目中涉及到其它知识（点）（关联知识）有哪些？ ③解决此问题最关键的环节有哪些？ ④我最容易出错的地方在哪儿？ ⑤反思中我还想到了什么？等等. 当然反思的内容还应该包括：解题中的重要方法和技巧，注重基本方法的反思；反思同类问题的一般性解题规律；反思审慎的解题态度；反思新问题与旧问题之间的联系.

当然题后反思的方式很多，还可以引导学生从解题错误原因、解题思维策略、问题实质异同、一题多解和问题引申拓展等多种角度进行观察、联想、分析、思考，教给学生学习的方法，让学生学会自主学习.通过解题反思，巩固基础知识，形成完整的知识网络，尝试改变认识问题的思路，加强知识的有效迁移，长期坚持便养成良好的解题习惯和思维品质.解题后的反思是数学活动的核心动力，是同化、探索、发现、再创造的过程.适时的解题后反思可以深化学生对知识的理解，学会思考，优化和拓宽学生的解题思路，帮助学生理解问题本质，提高学生思维的灵活性、发散性和广阔性，提升解决问题境界.

章建跃教授说过，改变目前的教学现状，抓住教学的整体性、系统思维和单元教学等关键词，这就是对学生核心素养发展做出了贡献，而实施单元教学是把整体性教学和系统思维的培养融为一体的一种有效途径.复旦大学的李大潜院士说过“数学教育看起来只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，以传授与学习数学知识为载体，通过严格认真的数学学习和训练，可以使学生具备一些特有的素质和能力.”所以说对于核心素养的培育，应该基于素质教育，是对素质教育的提升和超越，在具体的实施中，首先应该落实在课程的开发与设计上，落实在学科教学活动中.建议在数学学科教学中要树立育人的理念，要以核心素养为目标和依据，认真学习与研究课程的理念、目标、结构和内容等，正确理解数学学科的特征和本质，将育人理念渗透到学科内容与教学的设计中，将核心素养目标融合到教学设计中，通过科学合理的数学教学活动，让学生在数学学习中实现自我发展、自我超越、自我升华 ，在数学学习的感染下，培养学生的逻辑思维，发展学生的理性精神，让学生的核心素養得到自主发展.因此说核心素养的培养需要教育工作者以此为己任，用心学习和研究，将数学核心素养的培养落实到日常工作的方方面面.

参考文献

[1] 徐道奎.着眼于三个背景的三角函数概念教学[J].中小学数学，2016（10下旬）.

[2] 庄志刚.合理设置，激发思维[J].中学数学杂志，2014（5）.