对香港高中三角函数教材的研究

郝保国

【摘 要】 三角函数知识是高中数学的核心知识，因此，三角函数教材的编写显得特别重要.通过对香港三角函数教材的研究，发现香港教材对三角知识的定位科学，知识内容呈现丰富，公式与定理的严格性水平较高，例习题的设置层次分明且综合程度高，而且教材注重基础性、探索性、开放性，与实际生活联系紧密.这些都对大陆三角函数课程建设与教材编写很有启发，值得借鉴.

【关键词】 定位；知识呈现；严格性水平；综合程度；衔接

函数是高中数学知识框架中最重要的支柱，三角函数是函数知识的重要组成部分.大家知道，大学微积分是以函数研究为对象的.因此，三角函数知识的强化或弱化对大学微积分学习影响较大.究竟高中教材对三角函数应做怎样的取舍，才能不对后续学习产生负面的影响呢？我们不妨研究一下香港教材.香港数学教育一向受英美影响较深，很有成绩.

本文研究选取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中数学与生活》[1]系列教材，其中与三角函数有关的两本教材是《新高中数学与生活（必修部分）4B》（下文简称《必修4B》）与《新高中数学与生活（延伸部分）单元二——代数与微积分1》（下文简称《微积分1》）.《新高中数学》教材系列在香港影响较大.希望通过我们的研究，能让教材与教参编写者有所借鉴，对一线教师有所裨益.

1 三角函数在高中教材中的定位

香港目前使用的各种版本的高中数学教材，都是依据2007年制订的《数学课程及评估指引（中四至中六）》编写的.教材内容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函数最基础的知识及简单应用.《必修4B》的序言指出：“为所有学生提供必要的数学基础，配合他们日后在不同领域进修的需要.”延伸部分备有两个选修单元，单元一有教材2本，单元二有教材3本.《微积分1》是单元二的第1本教材，属选修教材，包涵的三角函数知识是《必修4B》所选三角函数内容的加深与拓展，绝大部分知识与大学数学衔接有关联.《微积分1》的序言指出：“集中在更深层次的数学上，为希望学习高等数学的学生奠下巩固的代数与微积分基础”；“冀能对学生日后升学或从事与数学有关联的专业，有所裨益”.从这里可以看出，《微积分1》是供相当于大陆的理科学生选修的.

香港教材将“三角函数”最基础的一部分内容定位为必修内容，将难度稍大且与大学数学衔接的内容定位为选修内容，对以后不同方向发展的学生作了不同的要求.反观大陆2007年编写的“人教A版”高中数学教材，将三角函数定位为必修内容，学生高中阶段所学的所有三角函数知识全编写在《必修4》[2]中.

2 三角函数知识在教材中的具体呈现

《必修4B》中的三角函数内容有132页（每页接近4A纸大小），大约18课时；《微积分1》中的三角函数内容有90页，大约14课时.两本书共有三角函数内容222页，大约共需32课时.

《必修4B》中三角函数知识呈现在第10章“续三角”与第11章“三角学的应用：二维空间”.第10章的具体编排是：基础知识重温；101旋转角：处于标准位置上的角，四个象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定义，三角比的正负值；103三角函数的图像：y=sinθ的图像，y=cosθ的图像，y=tanθ的图像，三角函数的周期性；104三角方程的图解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代数方法解三角方程；数学探究：直角三角形的正切值；IT活动：三角比的正负值，利用单位圆绘画y=sinθ的图像；点滴分享知多些：交流电与三角学在港灯电力供应中的应用；答案.第11章的具体编排是：基础知识重温；111 三角形面积：三角形面积，海伦公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角学上的二维空间应用题：回顾，二维空间的应用题；数学探究：圆内接四边形的面积；答案.

《微积分1》中三角函数知识呈现在第4章“续三角函数（一）”与第5章“续三角函数（二）”中.第4章的具体编排是：41弧度制：度与弧度制的转换，透视弧度法求弧长及扇形的面积；42三角函数：三角函数定义，三角关系，三角函数的图像；43解简易三角方程；答案.第5章的具体编排是：51 复角公式：正弦的复角公式，余弦的复角公式，正切的复角公式；52 二倍角公式；53 积化和差公式与和差化积公式；答案.

《必修4B》介绍了海伦公式：△ABC的面积=s（s-a）（s-b）（s-c），教材还不避繁琐用代数方法严格地证明了海伦公式.《微积分1》第4章介绍了y=cscθ与y=secx两个函数.这样，诱导公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式.这些都是人教A版《必修4》中没有的知识. 《微积分1》第5章介绍了积化和差公式与和差化积公式，并给予了简单的证明.因为有了这些公式，《微积分1》中出现了：在△XYZ中，证明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2这类例题，也出现了：化简

sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9这类习题.人教A版《必修4》给出了例题： 证明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.这是积化和差与和差化积两个公式，其他6个公式的证明放在习题中，但教材没有配套与这8个公式相应的练习题.

三角方程内容在《必修4B》和《微积分1》中都出现过，由于没有编排反三角函数的知识，三角方程都是比较简单的，若不是特殊函数值就需查三角函数值表来解决.《微积分1》在《必修4B》的基础上，介绍了y=cotx、y=cscθ、y=secx的图像、周期性以及定义域与值域，但没介绍这些函数的单调性.人教A版《必修4》介绍了正弦、余弦、正切三个函数的单调性，并介绍了三角函数更一般形式的单调性的求法.恒等式证明在《必修4B》与《微積分1》中都有涉及.《必修4B》的恒等式证明大多利用诱导公式完成，难度较小；因《微积分1》介绍过积化和差与和差化积公式，所以《微积分1》中给出的恒等式证明题，若从难度上讲，大多比人教A版《必修4》中的恒等式证明题难度要大.

3 知识的呈现模式与严格性水平

3.1 章首与章尾的内容与结构

《必修4B》与《微积分1》呈现的三角内容共有4章.每章章首都标明了学习重点，并给出与本章内容密切相关的一个生活中的实际例子，起提纲挚领及导入新知识的作用；每章章尾附有本章摘要，起归纳总结的作用.以《微积分1》的第5章“续三角函数（二）”为例，章首标明的学习重点有3点；生活中的实际例子是“声波之总和”：在大自然中，声波之传播可以用正弦函数表示.当几个声波交叠時，只要把代表各声音的波加起來，便可得出合波.对于两个相同振幅的声波W1和W2，其合波可写成函数y=sinu+sinv.这样就很自然地连接上和差化積公式.章末有重要词汇与重要概念.重要词汇有4条，均是中英文对照；重要概念包含19个重要公式.知识结构完整，内容前后呼应.

人教A版《必修4》每章章首有类似于导言的文字，章末有小结.“导言”简明扼要，也起到了提纲挚领的作用.章末有小结，包含本章知识结构及回顾与思考两个方面.知识结构一般用框图形式呈现出来；回顾与思考有3点，回顾了本章的重要知识点，还提出了几个相关的问题，这对进一步巩固学生所学知识起到了较好的作用.

3.2 重要概念的引入与公式的推导

《必修4B》与《微积分1》在重要概念的引入上，一般是在旧知识的基础上拓展到新知识，从特殊情形拓展到一般情形.比如任意角的三角比定义，《必修4B》先从锐角θ说起，利用直角三角形写出锐角θ的三角比，再定义一般角θ的三角比：将任意角θ放在坐标平面上，设P（x，y）是角θ终边上的任一点（异于角的顶点），定义sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.这种引入重要概念的方法符合学生的认知规律.人教A版《必修4》的做法是，设角θ的终边与单位圆的交点为P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定义表述很简洁.比较而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在细节的处理上要到位一些.教材中比较清晰地讨论了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用数形结合的方法使基础一般的学生能很好地理解与记忆.

在重要公式的推导上，《必修4B》与《微积分1》的做法与人教A版《必修4》有些不同.例如推导复角公式，《微积分1》先推导sin（A+B）的结论：设在△OPQ中，过顶点O作OR⊥PQ，R是垂足，并设∠POR=A，∠ROQ=B.利用△POQ面积=△POR面积+△ROQ面积，证明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此处提示了该公式对任意角也成立.因为角A与角B不是任意角，这样的推导过程不够严谨.人教A版《必修4》第三章是先推导cos（α-β）的结论的，证明过程中设α、β是任意角，利用单位圆和向量的方法完成了证明.这样证明难度稍大，但证明过程非常严谨.

3.3 定理、法则与公式的严格性水平

严格性一般划分为四个水平层次：水平1：直接给出理论，没有任何解释或证明；水平2：通过例子解释理论；水平3：较为严格地解释理论的正确性，但不进行证明；水平4：严格地证明理论.

《必修4B》与《微积分1》两本教材中，正弦的两角和公式实际是由特例解释的，算不上严格的证明，达到严格性水平2；诱导公式、海伦公式、正弦定理、余弦定理、弧长公式、扇形面积公式、同角三角函数关系式、正弦两角差公式、余弦的两角和与两角差公式、正切的两角和与两角差公式、二倍角公式、积化和差公式、和差化积公式，均是通过严格证明得到的，达到了严格性水平4.

人教A版《必修4》中，与-α和π-α相关的诱导公式、正弦的两角和与两角差公式、正切的两角和与两角差公式、正弦与余弦的二倍角公式都是直接给出的，没有严格证明，达到严格性水平1；与π2+α相关的诱导公式只给出了严格的解释，并没有证明，达到了严格性水平3；与π+α和π2-α相关的诱导公式、余弦的两角和与两角差公式均通过了严格的证明，达到了严格性水平4.

可见香港教材的严格性水平整体比较高.人教A版《必修4》的不少公式是直接给出，可能编者认为这些公式的证明并不难，学生可以举一反三自己完成.

4 例习题的设置及综合性程度

4.1 例习题的设置比较

《必修4B》与《微积分1》的例习题编写很有特色，层次分明，坡度合理.课内有例题，大多深入浅出，展示不同的数学技巧.紧跟例题后面有即时练习，是些与例题一一对应的题目，以巩固学生的知识，有时后面还配有综合性稍强的跟进练习或课内练习.课后一般配有不少的练习题，按程度分为初阶和进阶，并备有开放式题目.每章末配有总复习题，按程度分为初阶、进阶、多项选择题及公开试题目，并为能力较强的学生提供香港数学竞赛题目.总复习外还配有少量的数学探究题与IT活动题.设置数学探究题的目的是透过富有趣味性的题目，培养学生数学解难题技巧，激发学生探索与研究的兴趣；设置IT活动题的目的是让学生熟悉新技术的运用，帮助学生对数学问题的深度理解.

以《必修4B》的第10章“续三角”为例统计：例题19个，即时练习题19个，跟进练习题15个，课堂练习题5个.课外练习中，初阶练习题53个，其中有4个开放式练习题；进阶练习题48个.本章总复习题中，初阶练习题19个，其中有1个开放式练习题；进阶练习题26个，多项选择题14个，公开试题目5个，香港竞赛题4个，数学探究问题2个，IT活动题目6个.

对应地对人教A版《必修4》第1章“三角函数”进行统计：例题25个，课内习题58个，课外练习A组题61个，B组题15个，探究题7个，IT活动题目1个.由此可见，人教A版《必修4》课内练习还是做的很扎实.课外练习共76个题，比《必修4B》的第10章“续三角”课外练习159个少了83个.

4.2 例习题的综合性程度

例习题的综合性分为四种类型：类型1：与三角领域内其他知识的综合；类型2：与数学其他领域内知识的综合；类型3：与其他学科知识的综合；类型4：与具有实际生活背景的问题综合.

仍以《必修4B》的第10章“续三角”为例，根据上述综合性的分类标准来统计：例题中属类型1有14个，类型2有2个，类型3有2个，类型4有1个；习题中属类型1有159个，类型2有30个，类型3有14个，类型4有12个.由此可见，《必修4B》的第10章“续三角”中的例习题，主要体现了三角知识在三角领域内的运用，突出对三角知识的理解与掌握，同时也兼顾到数学学科内各分支知识的联系，以及三角知识在其他学科上的综合应用.

人教A版《必修4》第1章“三角函数”中，例题中属于类型1的18个，类型2的3个，类型3的2个，类型4的4个；习题中属类型1的61个，类型2的3个，类型3的2个，类型4的6个.可见，人教A版《必修4》主要关注学生对三角基础知识的理解和掌握，也注重三角知识在实际生活中的应用.

5 启示

5.1 香港教材内容丰富详实、系统性较强

相对于英国和美国的三角函数教材，香港教材少了反三角函数内容.但相对于人教A版《必修4》，香港教材多了简单的三角方程、海伦公式、余切函数、正割函数、余割函数等.人教A版《必修4》虽然也出现过积化和差与和差化积8个公式，但因这8个公式只出现在例题和习题中，教材并没有把它们当公式用，也没有编排相应的巩固练习题，加之高考又不考，所以，这8个公式学生学了等于没学，在学生的知识链上没有留下多少记忆的痕迹.这样看，其实香港教材还多了积化和差与和差化积公式.我们常将三角学划分为“三角函数与方程”、“三角恒等变换”和“三角学的应用”.相对于这种划分，香港三角函数教材内容是完整的、丰富详实的，系统性较强.人教A版《必修4》相对于香港教材和2003年前的大陆旧教材，删减内容过多.没有了简单的三角方程，学生连已知三角函数值求角都不会做，因而连一些简单的三角函数应用问题也处理不了；不学积化和差与和差化积公式，若有稍微综合一点的三角恒等变形或证明问题，學生是没办法处理的.我们新的课程标准和新教材编写，要借鉴香港教材对三角函数内容的取舍方法.

5.2 关注三角函数知识与大学数学的衔接

我们都知道，无论是大学文科数学或理工科数学，在学习微积分内容时，都会学习求函数的定义域、值域、极限、微分、积分等知识，都会用到6个三角函数和4个反三角函数的知识及恒等变换技巧.从2003年开始，虽然高校出版的大学微积分教材多少会参照高中的课程标准，但是很少能找到衔接好高中知识的大学教材，因此大多数微积分教材得不到大一与大二学生的认可.由于高校的录取数量逐年增加，参加高考的学生75%以上都能被不同层次的各类大学录取，因此，不少二本或三本大学新生的数学基础并不算好，也不具备自学高中三角函数知识的能力；加之大学没有安排时间补习那些被弱化和被删减的知识，这样，相当一部分学生学习大学微积分很吃力，甚至不及格.参考英美各国教材和香港的教材，我们要树立长远的课程和教材理念，不要过度弱化或删减高中三角函数核心内容，为使学生学好大学微积分，高中应为他们打好相应的基础.

5.3 进一步凸显习题设置的层次性

习题既是知识的应用，又是知识和能力的再生.从上文研究可以看出，香港教材在习题设置上很有创意，内容丰富、层次感强.这种细化分层具有一定的弹性，照顾到了不同基础学生的意愿，让他们有很大余地去选择课内与课外的练习题；同时，这种细化分层使习题具有很好的坡度，知识点要求从单一到综合，技巧要求从易到难，容易使学生达到巩固和提高的目的.而且书中还附有答案，学生在练习过程中可以得到及时反馈，便于学生自学.我们的教材中习题分层简单，习题量小，因此学生的选择余地就小.不少老师为了弥补这一缺陷，就组织学生去找书商购买课外参考资料.经常因这些参考资料的质量参差不齐，影响了学生的课外学习.我们的教材编写者应该向香港的同行学习，学习他们对习题设置的理念与方法，能使我们的教材进一步凸显习题的层次性，发挥习题应有的功能和价值.

参考文献

[1] 文炳辉 杨仲明 张兴仁.新高中数学与生活系列教材[M].香港：朗文教育出版社，2009年.

[2] 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修4[M].北京：人民教育出版社，2007年.