基于学生视角的排水法应用题浅议

彭琼莹

(浙江省台州市黄岩区西江小学教育集团 浙江 台州 318000)

排水法这个数学模型是从我们求不规则物体的体积引入的，通过转化的思想将先前获得的求规则物体体积的知识用于解决新的、不熟悉的不规则物体的体积。以橡皮泥跟石头两种不同的物体的体积为例，引导学生经历排水法解决问题的过程。

求不规则物体的体积的基本方法有两个：一是等积变形把不规则物体的体积转化成规则物体的体积；二是用排水法测量不规则物体的体积。通过转化的思想达到问题的解决。从橡皮泥入手，让学生理解等积变形的数学思想，然后再到石头产生思维冲突，通过直观的实验操作，让学生明白水面上升是因为投入了石头，石头占据了水的空间位置，所以增加的体积就是石头的体积，“水和物体的体积-水的体积=物体的体积”。

然而，这只是排水法的初步模型，建立在容器足够大，物体完全浸没在水中的情况，而实际的解题中，排水法却存在很多情形：

1.物体完全浸没

1.1 容器足够大。这是最初步的模型，在这种情况下，水上升的体积就是物体的体积。

水和物体的体积-水的体积=水上升的体积=物体的体积

例如：有一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，容器水深2厘米，现有一个棱长为2厘米的正方体，浸到底部，水面如何变化？

根据已有信息，通过对比水深跟正方体的棱长，很明显正方体可以完全浸没，水上升的体积就是物体的体积。上升水的形状取决于容器的形状，应是长为5厘米，宽为4厘米的长方体，利用长方体体积公式，求高得出2×2×2÷5÷4=0.4(厘米)，水面上升了0.4厘米。

1.2 容器不够大。在这种情况下，水面同样上升，然而由于容器本身不够大，导致一部分上升的水溢出了，所以此时物体的体积由水上升的体积和溢出水的体积两部分组成。

水上升的体积+溢出水的体积=物体的体积

例如：有一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，容器水深2厘米，现有一个棱长为3厘米的正方体，浸到底部，水如何变化？

从题中可以看出，这个容器水面最多只能上升1厘米，即可容纳水的空间只剩5×4×(3-2)=20(立方厘米)，而这个正方体的体积是3×3×3=27(立方厘米)，从容器高度来说能完全浸没正方体，但是造成水上升的体积已经超过了容器所能容纳的空间，水上升后会溢出。所以水面上升1厘米，并且溢出3×3×3-20=7(立方厘米)的水。

2.物体没有完全浸没

2.1 容器足够大。有时候物体未必能完全浸没在水中，此时，影响水面高度的并不是物体的整体，而只是物体浸没在水中的部分。但是究竟有多少浸没在水中？这不等于水原来的高度，因为但凡物体有所浸入水中，占据了水原有的空间位置，都会导致水面上升，那么浸没的高度必定大于水原来的高度。此时物体浸没的高度就是个未知数，用原来的思路解题就显得麻烦。

此时不妨换个思路，在数学解题策略里，有一个抓不变量的思维方法。规则物体不能完全浸没水中，当容器足够大时，若让物体沉入水底，此时水的体积是不变的，只不过被物体挤压，改变了形状，变成了空心柱体，水的底面积变小了，所以高度上升。

水的体积=(原来的底面积-物体的底面积)×水面现在的高度

例如：有一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，容器水深1厘米，现有一个棱长为3厘米的正方体，浸到底部，水如何变化？

2.2 容器不够大。容器不够大时，物体只能浸没到容器口，多余的部分仍然会溢出，不过这种情况不能直接判断，仍然需要计算来证明。

例如：有一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，容器水深2厘米，现有一个棱长为4厘米的正方体，浸到底部，水如何变化？

从题中可以看出，这个容器水面最多只能上升1厘米，可容纳水的空间是4×5×(3-2)=20(立方厘米)。容器的高度是3厘米，正方体最多只能浸没到3厘米处，能让水产生4×4×3=48(立方厘米)的变化，超过了容器可容纳的空间，水上升1厘米厚，还会溢出48-20=28(立方厘米)。

排水法的模型最初是由求不规则物体引入的，但最终却不仅仅停留在求不规则物体体积完全浸没的情况。题目的变形可分为两大类，如下图：

完全浸没 物体的体积=水上升的体积(+水溢出的体积)不完全浸没 物体浸入水中的体积=水上升的体积(+水溢出的体积)由于通常浸入水中的部分未知,可设未知数用方程解答,当物体规则且浸入水底时,可抓住水体积不变形状变来研究水面的变化:水的体积=(原来的底面积-物体的底面积)×水面现在的高度

数学题中一些细节的更改，会让题意产生很大变化，要想对排水法融会贯通，还需要通过同类题不同数据的对比练习强化学生的判断，建立起排水法系统的数学模型。