基于“用教材教”理念设计问题串的实践

张启锋 童其林 李祎

摘    要：“用教材教”的理念指的是用好教材、创造性地使用教材，目的是因材施教，提高教育教学质量.在教学中设计符合学生认知规律的问题串，是“用教材教”理念的体现.教师应遵循有情境、有层次、有探索的原则，必要时可对教材进行适当的调整以创设真实、自然的情境，让课堂结构清晰顺畅且符合学生认知，贴近学生的最近发展区，并由浅入深地引导学生展开思维探究，使学生逐步形成数学能力.问题串可从能力层次、函数模型的多样性、情境化、数学实验、课后作业等多个角度进行设计.

关键词：用教材教;问题串;数学建模;三角恒等变换

在设计人教A版（2019）普通高中教科书《数学》必修第一册（以下简称“教材”）第五章第五节第二目“简单的三角恒等变换”第二课时的教学时，笔者发现教材中的“例10”具有建立函数模型、以角为自变量、多个三角公式同时使用等特点，而学生对此理解困难.因此，笔者从“用教材教”理念出发，以问题串形式对教材内容加以整合，设计新的教学方案，让学生的思维有爬升过程并在知识上有所拓展.

“用教材教”是指教师依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“《课程标准》”），根据自身的实践与研究，自主地领会、把握课程与教学，把教材作为一种重要的“中介”加以利用的教学行为.其核心理念就是把教材内容当作基本抓手，当成教学设计的想法库、教学思路的灵感源泉，以此为“圆点”，科学拓展，适度丰富教学资源.也就是说，要用好教材，创造性地使用教材，根据实际情况对教材内容进行必要的取舍、调整甚至创造，从而实现对教材的“二次开发”.

一、基于问题串的设计视角

教师按照《课程标准》、教学目标和学生学情，对一节课的教学内容合理地进行取舍，设计一组或多组问题，组内问题要相互关联，组外问题要层层递进，并将主问题贯穿于整个教学活动中.当然，问题串的设计要贴近学生的最近发展区，遵循有情境、有层次、有探索的原则.基于问题串的课堂教学，能更好地引导学生由浅入深地展开思维探究，推进学生思维的发展，帮助学生形成良好的知识结构并深刻理解知识，从而在过程与结果、知识与能力之间架起桥梁.以下笔者从五个角度，结合实际教学谈谈如何设计问题串.

（一）从能力层次角度设计问题

知识的增长是以能力为媒介的，而能力的发展又以知识为基础，二者相辅相成，一定条件下，还可相互转化.学生能力层次有差异，问题的设计也要注意层次性，遵循先易后难的原则.设计简单问题有两个好处：一是问题层次低，能使每一个学生都积极参与到问题解决中来，都能在问题解决中有所收获;二是切入点多，只要学生有想法、愿动笔，问题都能解决.

本设计首先要突破的就是自变量的选择这一关，笔者从思维量小、切入点多方面出发，设计一道以角[α]为自变量，借助角[α]表示边AB，BC的长度，从而求出矩形的面积的例题，为教材“例10”中以角为自变量作铺垫.“例10”有三层作用：其一，示范作用，包括解题规范、分析方法、公式的综合应用;其二，渗透数学思想，如函数建模思想、化归思想;其三，发挥教材的育人作用，让学生欣赏图形、公式、运算符号之美，经历思维的策略，体验严苛的逻辑.

据此，笔者在设计时把“例10”与教材第228页的“练习2”进行对调，把“练习2”作为第一个问题，把“例10”作为第二个问题，让问题串以递进方式呈现.这样，不仅有利于知识、方法的自然生成，还有利于学生能力的提高、核心素养的培育.

问题1   （即练习2）要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？

解析：设圆心为O，矩形[ABCD]的面积为S，[∠BAC=α（0<α<π2）]，则[AB=2Rcosα]，[BC=2Rsinα]，所以S=AB·BC[=4R2cosαsinα][=2R2sin2α].

所以，当[α]=[π4]时，花坛的面积最大，[S最大=2R2]，此时[AB=2R]，[BC=2R].

另外，此题还可假设[BC=x（0<x<2R）]，则[AB=4R2-x2]，依题意可得[S=AB·BC=]

[x4R2-x2]，[S2=x2（4R2-x2）≤][x2+4R2-x22]

[=4R4]，所以，[S最大=2R2]，此时[AB=2R]，[BC=2R].

解决此类问题有两种思路：一是把长方形的一边当变量，另一边用这个变量表达出来，即可表达长方形的面积;二是引入辅助角，把长方形的两边都用含辅助角的三角函数表达，即可表达长方形的面积.

布鲁姆的掌握学习理论认为，只要在提供恰当的材料和进行教学的同时，给每个学生提供适度的帮助和充分的时间，几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目标.

问题2   （即例10）在扇形OPQ（图略）中，半径OP=1，圆心角[∠POQ=π3]，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记[∠POC=α]，求当角[α]取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

分析：可先建立矩形ABCD的面积S与[α]之間的函数关系[S=f（α）]，再求函数[S=f（α）]的最大值. 在此题的求解过程中，笔者把[y=asinx+bcosx]转化为[y=a2+b2sin（x+φ）]的形式，这一过程蕴含了化归思想（解题过程略）.

从问题1到问题2，学生经历了解题方法由易到难的建构过程.笔者的目的是通过问题驱动和公式之间的相互转化，渗透数学思想方法，培养学生的思维品质.数学家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但不太复杂的题目，帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”

（二）从函数模型的多样性角度设计问题

利用不同知识、选择不同角度，函数模型的选择也会有所不同，但要把握两个基本原则：其一，内容要合适，比如有些函数模型只能在某类知识中使用，不能为了模型，生搬硬套;其二，方法的渗透要得当，最好是能用通法建立函数模型，也可以设计暂时无法求解的函数模型，后者在开拓解决问题的途径方面很有价值，不能因为认识问题和解决问题的能力有限就因噎废食，“虽不能至，心向往之”也是人类探索未知的一个动力，可以激发学生对后续学习的求知欲和兴趣.把握这两个原则设计的问题，既能巩固所学知识，又能拓展学生思维，培育学生的数学核心素养.教师设计多样性的函数模型，可以使不同层次学生的思维得到相应的激发，让学生在潜移默化中增长知识、提升能力，感悟数学模型思想.

问题3   如图1，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角[∠POQ=π3]，[C]是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，求矩形ABCD的最大面积.

问题3即把“例10”中的“记[∠POC=α]”这一条件去掉，设问改成“求矩形ABCD的最大面积”.去掉“记[∠POC=α]”这个条件，就突破了对学生思维的限制，学生可以自由选取符合自己能力的方法，如自变量的选取、函数模型等，尽管所得函数有一部分暂时还无法求出其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到此题求解以角为自变量的优越性.

思路1：与问题2解法相同，此处略.

思路2：在建立函数模型时，可设[AD=x（0<x<32）]，依题意可得[S=x（1-x2-33x）].如此，求矩形ABCD面积S的最大值，对高一学生来说虽然还比较困难，但至少多了一种自变量的选择.

（三）从情境化角度设计问题

怀特海认为，将学科知识的学习嵌入广泛的真实学习情境和真实社会发展情境，可以帮助学生在获取相应的知识、技能和思维方式的同时，还能领会应用这些知识、技能和思维方式的情境化条件，由此为改变“呆滞”顽疾提供重要支撑[1].问题情境的选取应以学生熟悉的环境、身边发生的事例为主，通过对背景材料的组织，构建起知识与现实生活的联系，从而向学生表明，在学校中所学的知识有什么样的用处，赋予学习以实际意义.

问题4   某学校要修建一个矩形的观赛场地.决定在半径为30m，圆心角为[2π3]的扇形空地O的内部修建一矩形观赛场地ABCD（图略），请你确定[B]点的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积.

分析：如图2，设CD的中点为M，连接OM交AB于N，记∠COM=θ，[θ∈（0，π3）]，问题4转化为问题2.

问题4中的矩形ABCD与“例10”中的矩形ABCD内接于扇形的内接方式不同，这就为问题5的提出创造了条件.

（四）从数学实验角度设计问题

问题4与问题2中的矩形是以不同方式内接于扇形中的，那么，不同的内接方式，矩形面积的最大值会发生怎样的变化？这就为数学实验提供了机会.所谓数学实验，是指按照数学思想发展的脉络，创造问题情境，设计系列问题，引导学生自主、积极、批判地思考，然后给出验证和理论证明，从而使学生亲历数学建构，逐步把握認识事物、发展真理的方式方法，培养创造能力和科学研究意识，提高数学素养的一种数学探索活动[2].让学生动手进行数学实验，利用一个由静止的状态到按某一规律运动的动态情境，通过观察和计算，运用直观感知与数学运算方法，得出一般规律，明确不同量之间的内在联系，能激发学生的问题意识、求异思维和发散思维，进而培养学生的创新能力.

课前，笔者预先安排学生4～6人为一组，每组准备1把扇子、1根橡皮筋、4个夹子，然后引导学生做如下3个实验.

（1）把橡皮筋折成4段，构成一个矩形，把矩形内接到扇子上.内接方式一：把矩形一边固定于扇形的母线OP上.内接方式二：把矩形相邻的两个顶点分别固定在扇形的两条母线上，使得OA=OB.

（2）改变扇子夹角的大小.

（3）观察内接矩形面积的大小变化.

让学生动手实验后，笔者再提出下面的问题.

问题5   在扇形OPQ中，设[OP=1]，圆心角∠POQ=θ（[0<θ≤π2]），[C]是扇形弧上的动点，矩形ABCD以两种方式内接于扇形（图略）.当角θ分别取[π6]，[π4]，[π3]，[π2]时，哪种内接方式可使矩形ABCD的面积更大？

（五）从课后作业角度设计问题

作业是课堂教学的延续，是教学过程中不可缺少的一部分，是使学生与教师在认识上达成共识、产生共鸣，并将数学知识内化为学生的个人素养、形成技能的有效方法.作业设计要能体现学生能力层次的差异性、解决问题模式的多样性、解决方法的探索性、问题情境的熟悉性.作业可以布置3～5道题，在教师引导下供学生选择，作业要有基本题、提高题、探索题，采用生活、生产和科技情境，紧扣教学内容，分层设计、多元呈现、开放探索，目的是巩固所学知识、掌握主要方法、培养创新能力.比如以下设计的课后作业1是很具体的问题;课后作业2是利用两个变量分别建立函数关系，以达到复习和巩固之效;课后作业3通过引进变量θ，建立面积函数后，把问题转化为求解三角函数的最值问题，通过三角恒等变换，巩固化归思想解决问题等.

课后作业1   如图（略）所示，某交通协管员站在距L公路40米的P处测到一辆在公路L上行驶的轿车从A点到B点所用的时间为2秒，已知[∠APH=60°]，[∠BPH=30°]（[PH⊥L]），问轿车在这一段公路上是否超过80km/h的限制速度？

课后作业2    （改编自2008年高考江苏卷理科第17题）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A，B，及CD的中点P处（图略），已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.

（1）设[∠BAO=θ（rad）]，将y表示成θ的函数关系式;

（2）设[OP=x（km）]，将y表示成θ的函数关系式.

课后作业3   如图3，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.

二、教学设计反思

（一）体现课标新理念，彰显教材育人价值

新教材是在《课程标准》理念指导下根据数学学科特点和需要编写的，是具有一定范围和深度的体现知识和技能的指导性文本.因此，教师设计教学时，可在遵循《课程标准》原有架构的基础上，进行适当的调整，创设真实、自然的情境，让课堂结构清晰顺畅且符合学生认知，最大限度地调动学生的学习兴趣，避免机械灌输和“填鸭”.本课教学设计从学生认知特点与学情出发，把课后练习与例题进行对调，建构更加符合数学逻辑和学生心理的教学过程，利于学生理解数学知识，形成数学能力，实现数学学科的育人价值.

（二）一般观念引领，通过问题串提炼思想方法

章建跃博士认为，一般观念指的是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括……对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用[3].因此，在一般观念的指导下，问题串的设计从四个角度出发，借助自变量的选取、情境的类比、函数模型的变化等，触发繁与简的对比，再用矩形放置位置的不同、扇形角度大小的改变、不同角的选择等，引发学生思考，形成研究解决问题的一般思路，在变与不变中提炼出函数建模的数学思想方法.

（三）布置探索性问题，促进知识和经验的迁移

教材只是对知识体系中的主要知識、数学思想作了介绍，不可能面面俱到，教师需要主动挖掘知识的深度与思维的广度，不断拓宽学生的思维通道，探索性问题就是很好的载体.比如，问题5让学生在独立思考、自主探究、合作交流下，经历实质性思维参与过程，提升学生的素养，从而实现了数学实验把“抽象问题具体化、隐性问题显性化、静态问题动态化”的功能.因此，依据教学内容恰当地设计探索性问题，促进知识和经验的迁移，能激发学生的好奇心和求知欲，也是体现学科宽度、培养学生创新意识的重要途径.

由于受到各种限制，教材不能将编写者全部的、可能的想法与方案都呈现出来，通常展示的只是一种（或几种）选择（呈现方式、编排顺序、内容载体等），因此，在设计教学时，教师必须考虑更多的因素与可能，从学生获得最大发展的角度进行加工[4].“用教材教”作为一种理念，虽然没有放之四海而皆准的模式和方法，但却是有效教学的重要组成部分，是教师创造力的体现.贯彻“用教材教”这种理念的核心，必须充分发挥教材的示范和价值引领作用，把编写者的智慧与希冀，实实在在地落实在对学生数学能力、意识、品质、素养的提升上.

参考文献：

[1]怀特海.教育的目的[M].庄莲平，王立中，译.上海：文汇出版社，2012：2-3.

[2]邵潇野.数学复习课教学中问题串的设计例谈[J].中学数学教学参考（中旬），2011（6）：14-16.

[3]林淑晶，陈佩凤.用数学实验解决数学问题[J].课程教育研究（学法教法研究），2016（25）：280-282.

[4]丁福珍.整体观指导下的初中函数单元总复习实践研究[J].数学通报，2020（4）：47-51.