初中数学现行三版教材中“统计与概率”内容编排比较分析

张定强 王金燕

摘    要：教材是课程的重要载体，不仅承载可教可学的数学知识，还包含组织和引导教与学的效用，体现“如何教”和“如何学”的动态属性，以及隐性地承载与传播社会文化价值的功能.采用以定性为主、定量为辅的教材研究方法，从教学内容的安排与组织两方面来整体把握研究对象，可以深入挖掘教材的编写意图.因“数据分析观念”是学生发展的十大核心概念之一，故对现行三版教材中的“统计与概率”内容进行分析研究，有助于对各教材的设计理念、呈现意蕴等作精细的挖掘，掌握编写者编排的真实意图，从而更好地运用教材服务教学.

关键词：初中数学教材;内容编排;统计与概率

一、研究背景

随着信息技术的飞速发展和大数据时代的到来，运用数据进行分析、推断以及决策已经成为21世纪公民必备的素养.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将“统计与概率”作为4大内容领域之一列入数学课程，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称“《课程标准》”）进一步明确“统计与概率”的核心目的是发展数据分析观念，并将这一核心目的确定为学生发展的十大核心概念之一.这种“观念”是需要学生在亲身经历的过程中培养出来的对一组数据的“领悟”，由一组数据所想到的、所推测到的，以及在此基础上，对于“统计与概率”独特的思维方法和应用价值的认识[1].教材是课程的重要载体，“以教材为依据”已经成为“教、学、研”的一个重要特征.数学教材已不再仅仅静态地承载可教可学的数学知识，还包含组织和引导教与学的效用，体现着“如何教”和“如何学”的动态属性，以及隐性地承载与传播社会文化价值的功能[2].

目前研究教材的思路有两种.第一种多运用史宁中团队的课程难度模型，将课程难度量化后进行静态间的比较[3]，但该模型对“课程”的定位是基于课标视角的，课标和教材属于上下位关系，二者承载的功能和属性有所差异，有研究者提出这种模型应用于教材后，对“教材所负载的课程经验本身的认知困难”的属性有较好的反映，却缺乏对“教材编写或课程开发过程中试图消解上述认知困难而所作出的努力程度”的反映[4]，特别是在“一标多本”下，教材编写差异更多地体现在“开发过程中试图消解认知困难所作出的努力程度”上，而非其“所负载的课程经验困难程度”上.第二种是运用定性为主、定量为辅的研究方法，从教学内容的安排、组织两方面整体把握研究对象，深入挖掘教材编写意图.本文运用第二种研究思路，对我国发行较多、使用较广泛的三版教材中的“统计与概率”内容进行比较分析，以期引发教育工作者的思考，提升教材建设和使用的水平.

二、研究设计

（一）研究对象

笔者选取按照《课程标准》编写、审定通过的由人民教育出版社2012年出版、北京师范大学出版社2013年出版以及华东师范大学出版社2012年出版的三版初中数学教材（以下分别简称“人教版”“北师大版”和“华东师大版”），对其中的“统计与概率”内容进行比较分析.

（二）研究方法

笔者采用文本分析法、定性研究法和定量研究法对三版教材的“统计与概率”内容进行比较：在宏观层面，先从教材的静态属性方面加以研究，包括分析“统计与概率”的章节占比、章节体例和目录设置，然后从动态属性对章节结构进行分析;在微观层面，剖析不同版本教材知识的引入和呈现方式.

三、研究结果及分析

（一）章节占比

笔者统计三版教材中“统计与概率”在不同年级所占页码数，并计算其占比（不包含词汇索引和数学实验附图等），得到如表1所示的结果：三版中所占的比重都相对较低，均未超过15%.其中，华东师大版各年级占教材的比重随年级升高而递增，且总体占比最高;北师大版各年级占比差异大，总体占比居中;人教版占教材的总体比重最低，仅接近10%.

（二）章节体例

三版教材的章节体例如表2.

1.相同之处

从表2可看出：三版教材在体例上均按照章节顺序展开.章首有章前言，小节内容是教材的核心，节内设置有问题或问题情境、探究过程、小贴士、例题、练习和习题等，还包括拓展延伸性质的诸如“实验与探究”“读一读”“阅读材料”等栏目，章末设置复习题.

2.不同之处

在章前言，人教版用较多的篇幅介绍背景知识以引出本章探讨的主要问题，章主题图为真实情境;北师大版以多个简短的提问为主，列有明确的章学习目标，主题图为虚拟人物;华东师大版呈现一个完整且图文并茂的问题情境，情境下方包含与本章核心内容强相关的一则引语.在章末，人教版和华东师大版设置“小结”栏目，给出本章知识结构图和要点回顾;北师大版设置“回顾与思考”栏目，以问题串为主启发学生自主梳理章节知识，建立个性化的认知框图.

对于“统计与概率”活动，人教版在节末和章末分别设置了“课题学习”和“数学活动”栏目，從两种形式上助推学生发展[5];北师大版在书末设置了与本册内容相关的“综合与实践”栏目，值得一提的是，尽管北师大版九年级下册没有“统计与概率”章节，但依然提供了两个与统计、概率相关的“综合与实践”活动，便于学生巩固知识和综合应用;而华东师大版则在每章末尾设置了与章内容相呼应的“综合与实践”活动.

（三）目录设置

分析三版教材“统计与概率”内容目录，可知人教版共有3章9节内容（含两节课题学习）、3个数学活动;北师大版共有4章13节内容、6个“综合与实践”活动;华东师大版共有4章9节内容（分为21个小节）、4个“综合与实践”活动.

纵向观察目录设置，笔者发现：人教版的结构体系最凝练，章节命名简明，以“实验与探究”“信息技术应用”“阅读与思考”等拓展栏目升华本小节知识，数学味浓厚;北师大版章节数目居中，从“统计图的选择”“从统计图分析数据的集中趋势”等章节名可知，其较为重视学生对图表的灵活运用;华东师大版的结构体系最为翔实，部分小节名以问句形式呈现，如“数据有用吗”“这样选择样本合适吗”等，引导学生自主思考，小节名称和拓展栏目中多次提到计算器和计算机的使用，说明教材较注重与信息技术的融合.此外，华东师大版拓展栏目的数量是最丰富的，在内容上还将文学、英语等知识与“统计与概率”内容进行了跨学科统整.

（四）章节结构

三版教材“统计与概率”内容中统计和概率知识都是分章独立编写的，其中：人教版统计占2章，概率占1章，结构安排为先统计后概率;北师大版统计和概率各占2章，并且交替呈现;华东师大版统计占3章，概率占1章，呈现顺序为统计—概率—统计.

1.结构呈现

具体而言，人教版和北师大版统计部分的结构设计较为相似，均遵循数据从收集、整理、描述（表示）到分析、预测的过程;华东师大版先呈现了数据的收集、表示和初步处理，最后在九年级下册用单独一章来阐述“样本与总体”.这样，人教版和北师大版基本按照“收集数据→全面调查（普查）和抽样调查→统计图→数据的集中趋势→数据的离散程度”的顺序呈现知识，而华东师大版则是以“收集数据→扇形统计图→数据的集中趋势→数据的离散程度→普查和抽样调查（含直方图）”的顺序呈现知识.

在概率部分，三版教材各有特点：人教版遵循“随机事件→概率→用列举法求概率→用频率估计概率”的顺序，经历了“理论分析→重复试验求随机事件的概率”的过程;北师大版遵循“可能性→频率稳定性→概率→等可能事件概率→用树状图或表格求概率→用频率估计概率”的顺序，相较人教版对概率的直接引入，北师大版以试验中频率的趋近值引出概率，经历了“从重复试验→理论分析→重复试验求随机事件的概率”的过程;而华东师大版的知识顺序为“不确定现象→不确定现象的规律→概率→频率与概率→用树状图或表格求概率”，经历了“重复试验→理论分析→重复试验→理论分析求随机事件的概率”的过程，可以看出华东师大版是先让学生反复体会频率和概率的辩证关系，最后引出用树状图或表格求概率的方法.

2.分析讨论

综合来看，人教版和北师大版中的统计和概率既分章独立编写，内容上也没有明显的衔接或相互融通，基本上是先学统计再学概率，这是因为统计数据中隐藏着概率特性[6].华东师大版虽然也分章编写，两部分内容却相互联系，这种联系既包括统计对概率知识的铺垫，也包括概率对统计知识的加深理解.

例如不同于从直方图中引出频数，华东师大版在“统计与概率”内容的学习伊始第15章第1节《数据的收集》中就已明确介绍了频数和频率的概念，设计掷骰子收集数据、记录频数和频率的活动，与第25章第1节《在重复试验中观察不确定现象》形成过渡与衔接.同样，第28章第3节《借助调查做决策》中的“例2”与第25章第2节第1小节《概率及其意义》中的“思考”栏目前后呼应，帮助学生在第三学段末综合理解“统计与概率”的內容.这也就能解释为何华东师大版要把“样本与总体”作为单独一章放在九年级下册学习.基于推断性统计分析是利用样本数据去推测总体的情况，因此，理解用样本估计总体是这块知识需要突破的重难点.经过概率一章的学习，学生已经对“随机”的含义有了更为深刻的理解，能进一步感悟数据的随机性和规律性.在这种认知基础下，以掷骰子中“几次试验说明不了什么问题”来阐述样本的代表性，理解“样本容量应该足够大”这一内涵，学生接受起来将更为容易，也能揭示出概率思想对理解统计的重要意义.而直方图能较好地反应数据分布情况，华东师大版用逐渐扩大的样本分布直方图来代表趋近于总体数据的分布情况，为样本估计总体的意义解析提供了新视角.这一视角对理解简单随机抽样或直方图的性质，都能起到很好的支撑作用，同时也能为学生在高中阶段将要学习的正态分布统计模型奠定基础.

（五）知识的引入和呈现方式

教材中的知识内容以什么样的方式引入和呈现，直接影响着教师的教和学生的学.笔者发现，三版教材中“统计与概率”部分在内容的引入和呈现上存在共同点，如都注重使用不同类型的问题情境引入内容、利用图表帮助学生建立数据分析观念等，但同时也各具特色.

1.人教版更为概括和抽象

人教版将“统计与概率”内容用9节讲完，其余2节为应用性质的课题学习.在统计部分，以第10章第1节《统计调查》为例，人教版以一个完整的数据统计过程向学生传达了从调查问卷的选取和设计、字母代替数的计数技巧、划记法记录表格到条形图、折线图的回顾、扇形图角度算法等知识，接续介绍了抽样调查的代表性和简单随机抽样，最后以一个归纳概括结束本小节.相比之下，同样的内容北师大版用了2.5节讲授，华东师大版用了1章外加2小节，可见人教版的知识介绍简单直接，注重数学知识的统整应用.概率部分也是如此，相较于北师大版和华东师大版2～3次的螺旋进阶，人教版从理论分析到用频率估计概率完成了概率内容的全部讲解，每个知识点环环相扣，从引入、概念、例题到归纳，内容的抽象性和概括性较为明显.

2.北师大版更注重分步骤和多视角

每个学习者接受知识的程度和建构知识的方式不同，因而在接受新概念或程式的过程中，分步骤和多视角的讲解就能给学习者更多的理解空间.与其他两版相比，北师大版在某些知识的讲述上要更为细致和多样.例如《数据的表示》一节，北师大版在问题情境中以三步提问启示学生用扇形统计图表示数据，展现从计算扇形百分比到亲自绘制统计图的步骤.除此之外，还在“做一做”中引发学生对扇形统计图的整体感知和逆向思考，在“议一议”中提示学生两个扇形图区域不能直接看百分比大小进行比较，在“想一想”中表明未加处理的重复数据不能直接绘制扇形统计图等.对于直方图，北师大版以条形统计图在实际应用中的局限性作为引导，让学生整体感知和体会直方图存在的必要性，这里并不要求学生的掌握程度一次到位，而是在后续知识中详细介绍了如何对相对复杂的数据进行分组、确定组距、统计频数、画直方图等步骤.学生通常容易混淆条形图和直方图，不理解二者的本质区别，这样分步讲解，既能让学生明晰两种统计图的性质，又突破了画直方图的重难点.用频率稳定性引出概率时，北师大版的第一个实验活动是掷图钉，掷图钉的结果自然不同于传统抛硬币得到的正反两面频率相近，尽管初中的概率问题大多是等可能事件，但在学习伊始就经历这样的数学活动，却能很好地消解学生对随机事件概率所持有的一种“特殊感”.

3.华东师大版更注重经历各种活动

教材在展现人类文明精华的同时，也要考虑学生探究时的心理逻辑、归纳时的同化顺应以及认知中的整合建构，“统计与概率”内容的独特性在于学生是在数据活动中学习新知的，因此设计各种“统计与概率”活动就显得尤为重要.三版教材在引入和呈现知识时都注重探究性和活动性.相比之下，华东师大版提供了各种填空和空白图表让学生补充、绘制，如“抛掷两枚硬币频数、频率统计表”“频率随抛掷次数变化趋势图”“平均投掷骰子几次掷得1次6”和附录中的“男/女同学身高、体重数据表”等，甚至在练习题中也设置了各种空图表，意在让学生经历活动后统计填写，这样将活动过程显化和量化，能在一定程度上促进师生对“统计与概率”活动的重视程度和实践水平.另外，华东师大版对活动经历的注重程度还体现在计算器和计算机的使用上.一方面，教材中使用计算器和计算机的频率较高，如“用计算器求平均数”“用计算器求方差”“用计算器模拟试验”“用计算机画图”“用计算机求平均数、中位数和众数”等;另一方面，教材对使用计算器和计算机的讲解过程较为详细，例如《用计算器求平均数》一小节是将前一节的例题作为数据对象，分步讲解了数据的输入和输出过程，展示真实的操作流程图，最后提出让学生实际动手操作，求得计算结果.

值得一提的是，华东师大版多次呈现了“试错”过程和“不完美”情境.如在《利用统计图表传递信息》一节中有这样一个问题：“与29届北京奥运会相比，我国代表团在30届获得的奖牌总数有所下降，你怎么解释这个结果呢？”此处提供的问题情境并不完全按照学生预期的走势发展，需要结合实际背景剖析现象，理性分析，客观地评价和认识数据，进而真正了解研究对象.又如在引出“方差”概念时，华东师大版先提供了一种学生容易想到的“用数据与平均数差值的累加来反映一组数据离散程度”的方案，方案被否决后，又让学生自行设计表示离散程度的方法，从而探索“方差”所蕴含的本质思想，后续“思考”栏目中的问题“7次测试中小明因故缺席2次，怎样比较谁的成绩更稳定”，也是引导学生去解决那些在生活中普遍存在的“不完美”“不理想”的现象，进而更好地理解和掌握“方差”.同样，在说明简单随机抽样的样本量要足够大时，華东师大版也以试错的方式，分别用样本数为5，10，40的直方图分布情况和总体直方图分布情况进行对比，带领学生逐步感悟用样本估计总体的本质和关键.

四、结语

随着课改的有序推进，“一标多本”下各教材间同一性与多样化并存的现实使得教材的设计理念、呈现意蕴有所不同，这就为教材的丰富与发展提供了空间，也为教材的使用者留下了广阔的探索机会，教师需要更加精细化地挖掘教材间的异同，掌握编写者编排的真实意图，从而更好地运用教材服务教学.

参考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：95.

[2]杨慧娟，郭蓉蓉，孟梦，等.中韩小学数学教材中分数除法的比较研究[J].数学教育学报，2020（2）：64-69.

[3]孔凡哲，史宁中.现行教科书课程难度的静态定量对比分析——以初中数学课程标准实验教科书“不等式”、“四边形”课程内容为例[J].教育科学，2006（3）：40-43.

[4]闫春更，周青，王婷婷.教科书难度评价的模型建立与方法改进[J].上海教育科研，2015（9）：42-45.

[5]王建波，曹一鸣.中美澳初中数学教材统计内容比较研究[J].数学教育学报，2016（3）：14-19.

[6]张奠宙.大千世界的随机现象[M].南宁：广西教育出版社，1999：2.