嵌入式拓展型课程应用于数学网课的实践

李德宝 朱培培

摘    要：嵌入式拓展型课程既是义务教育阶段数学课程的基础性、普及性、发展性的整体要求，又是数学课程内容“综合与实践”这一短板的有效弥补;既能促进教师专业发展的与时俱进、知效合一，又能实现“促进学生全面而有个性的发展”的课改总目标的高效实施.

关键词：嵌入式;拓展型课程;网课

受新冠肺炎疫情影响，教育部于2020年1月底下发通知，要求2020年春季学期延期开学，并于2月12日与工信部联合印发通知，对“停课不停学”工作提出明确意见.原本书声琅琅的校园、热闹的班级授课暂停脚步，取而代之的是居家网课的红火上演.作为培养公民素质的基础课程数学教育也不甘落后.网课直播之初，教师过多关注“互联网+教育”下的技术、设备、平台、时长、教学环节、应用效果等.随着网课教学的深入，思考重心转向网课课程类型、网课内容设计、教师专业发展取向与评价、师生之间因材施教的教和学生个性发展的学等教育本质问题.日常的学校教学绝大多数是基础性课程，近期的居家学习则为嵌入式拓展型课程的开展与实施提供了时机和平台.

一、嵌入式拓展型课程的形成

早在一年前，在中国教师智慧与文化研究院的指导下，嵌入式拓展型课程的研究被引入杭州师范大学教师发展合作项目中[1]，其中对数学学科教学进行了深入的探究，形成比较成熟的实践操作体系，为应对此次疫情影响下的教学打下良好的基础.

（一）何谓嵌入式拓展型课程

为实现“促进学生全面而有个性的發展”课改总目标，浙江省在课改指导意见中，把义务教育数学课程从教育功能的角度分成“基础性课程”和“拓展性课程”两大类.基础性课程主要培养学生终身发展和适应未来社会所需要的基础知识，对于数学课程可具体为“四基”.拓展型课程是拓展性课程的表现形式，主要满足学生的个性化学习需要，开发和培育学生的潜能和特长，培育学生的自我认知和自我选择能力，对于数学课程可具体为“四能”和“三会”等学科素养.基础性课程和拓展性课程原本是培养和发展全面而有个性的学生的两个相辅相成的课程，是以学习为中心的课程总要求.嵌入式源自于计算机专业的名词，即嵌入式系统是软件和硬件的综合体，拓展型课程无缝镶嵌有机融入基础性课程，并共同促进学生正向发展和素养形成，即为嵌入式拓展型课程.

（二）嵌入式拓展型课程呈现时机

基础性课程和拓展性课程本是同根生，基础性课程是拓展性课程的基础和保障，拓展性课程是基础性课程的提高和发展，也是下一个基础性课程的基础和保障，两者相辅相成，共同围绕学生的学习为中心，离开或忽视哪一个课程，都会导致学习课程的不完整.二者的关系致使嵌入式拓展型课程呈现时常常为一节课的下半部分，也常顺延出现在一节基础课的下一节课，有时因教学内容、教学课时、教学环境等因素的影响，拓展性课程也可不定时、间隙式呈现.

（三）嵌入式拓展型课程在居家网课教与学中的优势

从课程的完整性和数学育人的功能来看，教师在日常教学活动中，应交替运用基础性课程和拓展性课程来实施教学.由于教学环境和教师自身因素等方面的影响，大多数教师在课堂上展示的较多是基础性课程，拓展性课程展示则处于低频或无频状态.在“停课不停学”的时势之下，开展嵌入式拓展型网课教学个人认为有以下优势：

1.弥补平时学校教学拓展性课程安排不足的弊端，实现基础课与拓展课相辅相成合力促学育人的目标.

2.利于因材施教教学原则的有效贯彻，培养全面而有个性且富有创造性的学生群体.

3.利于贯彻落实“停课不停学”的倡议精神，如倡议要求“非毕业班网课不上新课、网课时间不宜过长、开发模块化教学、优化教学资源”等.

4.利于学生在数学网课教学中有较多时间用于思考或实践操作活动，避免因长时间看屏造成的身心、视觉等方面的影响.

5.利于教师结合学情进行信息技术与教学活动深度融合，避免照搬别的资源硬加给自己的学生，体现数学四个理解中“理解技术”的价值作用.

二、嵌入式拓展型网课的设计

嵌入式拓展型网课的设计要一如既往地遵循“内容依据学情、形式自由多样、紧扣课程标准、落实核心素养、实现育人育才目标”的要求.数学网课通常沿袭常规课的形式，有分课型和混合型两种，分课型就是将一个单元时间分为基础性大课30分钟或拓展性小课20分钟，混合型就是在一节课中灵活融入基础课和拓展课.下面举几个网课中嵌入式拓展课的设计实例，侧重就教材内容进行探讨.

（一）算理法则的嵌入拓展

七年级学生在进行有理数加法运算时，好多教师常把技巧性方法计算作为讲解的重点，而不进行算理和法则渗透.虽然教师对学生进行了大量的计算练习，但是学生仍然是算理不清，法则不明，数学严谨思维训练不足.如能在基础课的基础上嵌入如下算理和法则的拓展内容，数学味的训练价值自会出现.

如计算6÷[（- [12]）+[13] ]时，问：能否写成6÷（- [12]）+6÷（- [12]）？除法可有分配律？若想运用分配律你如何改编这道题？有意设置算理和法则的问题，这样看似简单的计算，如此拓展设计，寓法则和算理于其中，趣味和思维俱在，利于学生数学学科核心素养的形成.

（二）文化视野的嵌入拓展

对于勾股定理《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”，教师可在基础课“已探索出勾股定理并做简单的应用”的基础上作如下嵌入式拓展设计.

拓展问题一：勾股定理至今已有近500种证明方法，自己搜集3～5个你认为比较经典的方法，尝试着去发现这些证明方法背后的人文故事和思路的相同点.

【设计意图】培养学生自主学习、自主阅读的习惯和独立思考、判断分析问题的能力，无痕渗透数学文化：欧几里得原本、赵爽弦图、毕达哥拉斯、加菲尔德等.感悟数学两大最本质的思想方法——转化和构造.

拓展问题二：勾股定理也称毕达哥拉斯定理或百牛定理，号称千古第一定理，联系你所学习的前后数学知识，你认为勾股定理的价值何在？（可写成数学小论文）

【设计意图】学生通过拓展课的学习 ，知道学习勾股定理不仅要了解“直角三角形”这个前提条件及理解“两直角边平方的和等于斜边的平方”这个结论.而且要应用联系的、发展的、整体的数学眼光来认知勾股定理.一般的三角形三边之间仅存在不等量关系，等腰三角形（包含等边三角形）仅存在定义所带来的表层等量关系，而勾股定理则建立直角三角形三边深层的等量关系;从勾股定理的结论不难发现：已知直角三角形的任意两边便可求出第三边，假如没有勾股定理，已知两边和一直角可由全等三角形的知识知道第三边一定是确定的，而勾股定理让这种确定性走向具体的值.

拓展问题三：当直角三角形三边长为正整数时，实际上是建立了三个正整数之间的二次等量关系，退位思考三个正整数的一次等量关系普遍存在，进位思考三个正整数是否存在类似结构的三次等量关系.

【设计意图】通过此内容的设计培养学生类比思想、回归原点找寻本质、拓展变式高阶思维等数学思想方法，同时渗透费马定理等数学文化.

拓展问题四：定理为真命题包含题设和结论两部分，如果把勾股定理的题设改为任意三角形结论如何？若对勾股定理的结论作形式的迁移你会联想到什么？

【设计意图】由直角三角形的勾股定理延伸至一般三角形的结论“余弦定理”，拓展学生的知识视野和思维广度，由勾股定理的平方和等于斜边平方的形式迁移到三角函數中任意角正弦和余弦的平方和等于1的形式.寻求数学问题的生长源和生长路径，让知识点结成知识网.

上述嵌入式拓展型网课四个问题的内容设计，意图在于拓宽学生的数学视野、挖掘数学本质、渗透数学文化、增加思考维度、深度开展教学，从而实现数学拓展课程的价值，对数学教育的同人起抛砖引玉的作用.

（三）综合实践问题的嵌入拓展

义务教育各学段安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”，其中“综合与实践”这部分课程内容常常处于搁浅状态，近期居家网课学习中，正是把这部分内容作为嵌入式拓展型课程的选材内容的时机，一是弥补综合与实践课被忽视的遗憾和缺失，二是综合和实践课程也匹配时势之下的网课教学模式.如基础课《旋转》之后可嵌入《硬币的滚动问题》这个拓展课.

问题设置：一个一元硬币沿另一个一元硬币无滑动地滚动一周，它自身自转的圈数是多少？

实验环节：一元硬币沿直线滚动→一元硬币沿正三角形滚动→一元硬币沿正方形滚动→一元硬币沿正六边形滚动……

跟进环节：分别计算一元硬币滚动的路程与自身周长的比值.

归纳猜想：一元硬币沿任意多边形滚动自身转动的圈数有何结论？一元硬币沿圆形滚动自身转动的圈数又有何结论？

说理论证：对上述猜想的结论说明理由.

结论延伸：把上述结论应用于日常生活中相关现象的解释.

【设计意图】通过此类综合与实践拓展课程的设计，培养学生动手操作的实验能力、观察分析处理数据的能力、由特殊到一般的归纳推理能力，增强数学学习兴趣，积累数学活动经验，建立对生活现象的正确理解，形成如下结论“一元硬币沿另一个一元硬币无滑动地滚动一周，它自身自转了两周”;“硬币沿封闭图形外侧滚动一周，硬币自转的圈数等于封闭图形的周长÷硬币的周长+1”;“齿轮转动的圈数=多边形的周长÷齿轮的周长 +1”.

正如波利亚所说： 数学有两个侧面，一方面，它是欧几里得式的严谨的科学，另一方面，创造过程中的数学看起来却像一门实验性的归纳科学.

（四）推理能力的嵌入拓展

作为数学核心素养之一的逻辑推理常被侧重于演绎推理能力的培养，忽视合情推理的渗透，而归纳推理又是初中数学特别是代数方面应用较多的合情推理形式.网课教学甚至日常教学中若能适时嵌入合情推理的内容作为拓展课的选材，无疑利于学生完整推理能力的培养.

问题设置：1.找规律填数：①7，10，16，22，__… ②3，6，12，__，130，732…

2.说出你填数的具体思路.这种思考问题的方法属于数学中的什么推理？

3.你认为归纳推理与演绎推理比较有何优势？（从特殊、个别可知一般结论）有何弊端？（有时结论出错）如何更好地运用才能发挥优势，克服弊端？（大胆猜想、小心论证）

4.搜集数学史中经典的运用归纳推理的事例.

【设计意图】通过此类拓展课的设计，培养学生逻辑推理的完整性，了解合情推理的合理性和弊端，鼓励学生大胆运用归纳推理，去发现结论，结合演绎推理小心严谨论证，了解近期借助大数据分析研判疫情发展趋势的数学原理，渗透费马数等数学文化.

三、嵌入式拓展型网课的评价

拓展性课程和网课应该被教育者知晓，嵌入式拓展型课程与网课的深度融合不应成为应急之需的一时产物，而应成为数学教育者长期关注开发的资源，对嵌入式拓展型网课的评价，不能仅从居家学习这一个角度，而应综合考虑数学学科的育人功能、学生的长期成长、教师的专业发展等因素.

从教师专业发展的角度来看，要想走出迷惑看清问题，必须站在更高的维度.比如要想搞明白城市的平面轮廓，如果拥有三维的高度视角，问题就太简单了.为此我们结合杭州师范大学刘堤仿教授开发的教师六维度微观评价表来综合考评教师专业发展.六维度指的是教材认知、教学认知、学生认知、专业素养、专业职责、专业效能六个方面 [2].

从教材认知角度来看，嵌入式拓展型网课很好地落实了义务教育课程总目标中数学思考、问题解决、情感态度这三方面的目标.让学生自主经历、体验、探索，在主动操作中体会数学学习的美好过程.这弥补了平时在基础性课程中过多关注知识技能目标的短板.另外，“综合与实践”这部分的课程内容意在培养学生的动手、探究、创造能力，嵌入式拓展型网课正好弥补了这一教学内容的缺失.

从教学认知角度来看，若教师的拓展内容仅是习题演练结合变式应用，没有数学文化的渗透、没有创新型问题的设置、没有前后知识本质的关联、没有学生自主学习的引导，说明教师对教材认知还停留在知识和技能的双基层面，对教学认知还仅仅是流程操作.教学过程中，我们应设计一些让学生亲自动手、动脑的数学活动，让学生去探究，使他们变被动接受学习为主动自主学习.

对学生认知来说，从学生的角度考虑，不应急功近利被一时的分数所蒙蔽，要从利于核心素养的培养来考量.网课不应只是教授书本上的基础知识，否则学生的学习会变得枯燥乏味， 课程的内容要设计活动，要有学生的思考，既要有个人独立思考的过程，也要有动手实践、小组合作的任务.学生不应停留在被动接受的层面，而要有自主学习个性发展，从而实现长远的终身学习.

从教师专业素养来看，嵌入式拓展型网课充分展示了教师的专业智慧和文化，在课程中无不渗透着数学文化、科学知识等等.如《勾股定理》这一课设计中，通过学生自己搜集了解勾股定理的人文故事和证明方法，体会勾股定理的价值所在，从而渗透数学文化.通过类比，寻找问题本质，探索并了解费马定理，从而培养学生的数学思考能力.《旋转》这一课，通过学生实验操作，动手观察渗透生活中的实验科学.

教师的专业职责是传道、授业、解惑的融合统一.所谓“授之以鱼不如授之以渔”，嵌入式拓展型网课充分调动学生的积极性，通过实验、探索、体验，慢慢地发现数学之美的过程.

对专业效能来说，学生通过综合实践活動，探索得到数学结论，才能更好地内化为自身的知识，完善认知结构，对知识的掌握程度、应用能力都会有所提升.

总之，设计开发应用嵌入式拓展型网课，既是义务教育阶段数学课程的基础性、普及性、发展性的整体要求，又是数学课程内容“综合与实践”这一短板的有效弥补;既能促进教师专业发展的与时俱进、知效合一，又能实现“促进学生全面而有个性的发展”课改总目标的高效实施;既是时势之下的应急之需，也是教师“互联网+教育”下专业发展之需，更是学生核心素养培养之需.目前这种课程资源相对匮乏，仍有大片处女地等待数学同人去开发.

参考文献：

[1]徐建华，朱培培，刘堤仿.两化一制：教师群体专业发展新常态[J].中小学教师培训，2015（9）：27-28.

[2]徐建华，涂英.教师群体专业发展新格局[M].北京：光明日报出版社，2019（3）：1-5.