自组织理论观照下的数学家常课教学

刘权华

摘    要：自主、合作、探究的学习方式是教学本源的回归.自组织理论观照下的数学家常课教学应该注重情境创设、台阶搭建和帮助学生知识内化梳理，教会学生善于用数学眼光观察世界、用数学观点思维世界、用数学语言表达世界.

关键词：自组织;数学;家常课

自组织，最早是作为一个哲学概念由德国哲学家康德提出的.他认为，自组织的自然事物具有这样一些特征：它的各部分既是由其他部分的作用而存在，又是为了其他部分和整体而存在，各部分交互作用，彼此产生，并由于它们间的因果联结而产生整体，只有在这些条件下并且按照这些规定，一个产物才是有组织的并且是自组织的产物，才称为一个自然目的.自组织理论认为，真正意义上的学习一定是自我学习，自主、合作、探究的学习方式是教学本源的回归.真正有效、高效的教学，有时不在于教学设计多么精致、教师的分析多么精辟、教学的技艺多么精湛、学生的活动多么“精神”、反馈的结果多么精彩，而在于学生有没有真正地思维参与，学习活动有没有真正发生[1];如果我们对教材的处理，对教学的设计，使学生对学习材料的意义没有认识，不能实现个体意义赋予，那么，外人看来，再重要再有意义的内容，也与学习者无关，更无法唤起主动亲近的感觉.学习材料有其固有意义，教者追求的应是学习材料的固有意义对每个学生有意义.根据自组织重要理论基础的协同学理论，有人提出一种新的教学过程理论：教学过程是一个学生、教师、教材和环境相互协同的过程，是学生在教师引导下完成对教学内容掌握的同时，其认知系统从被组织向自组织转变的过程[2].所谓的被组织，教学过程的自组织，是指“在教师的引导下，学生的知识、技能和方法等参量之间进行相互协同和竞争，当学生的大脑进入从无序到有序的临界值时，导致只有少数参量支配学生的认知系统，最终实现学生的认知从无序变为有序，达到‘教是为了不教的目的”[3].

作为教师，我们必须清醒地认识到，学生始终是学习的主体，领会、感悟知识意义，训练、提高技能，发展、提升能力，始终是学生主动同外部环境相互作用的过程.因而教学设计应充分考虑学习者的自组织特性，为其自组织提供充分的外部条件（物资、能量和信息），以促进学生的发展.家常课，即常态课，是我们的地盘，如何在自己的地盘上有效行使权力，实现使学习者会“用数学的眼光观察世界、用数学的观点思维世界、用数学的语言表达世界”学科核心素养的教学追求，值得我们每一位教师认真思考并努力实践.下面以家常课“二项式定理”的起始教学为例，阐述自组织理论观照下、基于核心素养的教学设想及实践.

一、内容分析

二项式定理是苏教版数学教材选修2-3第1章第5节的内容，它是代数多项式的推广，内容安排在“计数原理”之后，是“计数原理”的一个应用，能够深化对组合数的认识，能利用二项式定理解决整除、近似计算、不等式证明等问题，在后继的随机变量及其概率分布、二项分布等内容的学习中起着承上启下的作用.教材为确定[（a+b）n（n∈N?）] 的展开式，从n=2，3的情形入手，由特殊到一般推导出二项式定理，然后就是三道例题：例1.利用二项式定理展开下列各项：[（1）（a-b）6;（2）（1+1x）4].例2.在[（1+2x）7]的展开式中，求：（1）第4项的二项式系数;（2）含[x3]的项的系数.例3.求[（x-12x）6]的二项展开式中的常数项.

二、自组织理论观照下数学家常课教学的做法

学生是在外部方式的引领、组织、合作下学习成长，具体到个体的改变却是自内而外按自我的意愿进行的，是外在影响的个人塑造.教师要做的是通过教学材料和教学活动，实现学生的自适应、自设计、自改造、自批判、自教育、自创生、自完善.

（一）注重情境创设，引出课题

家常课，按部就班，最省事，最直接，最节省时间，但如果想让学生感受到数学源于生活并用于生活，学会用数学的眼光观察世界，注重情境创设是最好的办法之一.本课若创设如下情境，效果就不大相同.

情境1：同学们，每天进步一点点，一年以后，你会进步很大，每天退步一点点，你会不知不觉有较大的退步，你能用数学的语言（符号、文字、图形）来描述这个事实吗？（足够的时间后，给出[（1+0.01）365、（1-0.01）365]的比拟，此时学生可能会惊呆，惊喜，激动不已，但是，这仅是用意之一）如果我们不借助于计算工具，怎样快速地比较它们的大小呢？

【设计意图】激趣，感悟，让学生感受到数学源于生活，用于我们的日常生活，用数学的眼光看世界，以此揭示学习二项式定理的必要性，引发学习的意向.

情境2： 1664年，伟大的科学家牛顿，年仅22岁在剑桥大学就读的他，在研读英国数学家沃利斯的《无穷算术》中的[（a+b）2]=[a2]+2[ab]+b[2]，[（a+b）3]=[a3]+3[a2]b+3[ab2]+[b3]时，发现了[（a+b）n]展开式的规律（即二项式定理）.

【设计意图】遵循“历史发生原理”，将牛顿发现二项式定理的历史融入教学，以此激发学生的学习兴趣，启迪思维，同时让学生受到数学文化的熏陶，培育數学素养.

创设了以上情境后，学生学习的积极性会被调动起来，接着话锋一转：为了探讨[（a+b）n]的展开式，你是否见过相同或类似的式子？引出[（a+b）2]、[（a+b）3]，然后再从特殊到一般的探求法，这样或许自然得多，流畅得多！在家常课教学中，要抓住数学的本质，了解学生的认知规律，创设合适的情境，提出合适的问题，启发学生思考，鼓励学生数学的表达，在掌握数学知识技能的同时关注学生数学核心素养的培育.

（二）注重问题引导，搭建台阶

美国优秀教师格蕾塔曾说过：如果一定要我说教学有什么诀窍的话，那就是问题.当教师能够不断向学生提问并得到回答的时候，就已经接近想要达到的目标了.教学不应奴性地跟随学生认知发展的自然过程，而应向学生提供具有挑战性问题，同时又处在合适的机会，促使学生的发展步步向前.教师需要转变自己的教学理念，转变传统的教学方式，改革教学方法，由课堂的执行者转变成课堂的组织者、引导者和合作者.学生获取数学核心素养依赖于经验的积累，在新课改的背景下，我们要让学生成为“跳起来摘桃子的人”，而不是“装桃子的筐”.

为思维而教，帮助学生学会数学地思维.要搭建思维的台阶，让学生能够摘到桃子，其中通过设置具有思维含量的问题是一种比较好的方法.先设计七八个关键主问题，在关键问题处再根据学生的具体情况设计（追问）几个小问题，让学生能够学会、学好不同的数学.如本节课的起始部分可设计如下的主问题.

问题1   [（a+b）2，][（a+b）3]是怎样得到其展开式的？

【设计意图】让学生自主思考，给予学生较大思考空间，引导学生思考组合数是怎么来的，让学生对特殊情况进行观察和比较，利用归纳推理的办法去发现一般规律，让学生寻找解决问题的办法，同时，提高学生的归纳推理能力.

问题2   展开式中的项是如何确定的？

【设计意图】让学生明白多项式乘法法则是推导二项式定理的本源之一.

问题3   你能根据以上两个式子写出[（a+b）4]的展开式吗？

【设计意图】在這个过程中，引导学生依据多项式乘法探求展开式每一项的构成及项数，强调运算规则的运用与算法过程的分析，直指“数学运算”“逻辑推理”等核心素养的培育.

问题4   你能用组合数表示上述展开式中的系数吗？

问题5   二项式系数的实质是什么？系数呢？

【设计意图】问题4、5虽然是“小”问题，却是为学生解决关键问题搭建的台阶，起到了铺垫的作用，为解决问题6、7架桥铺路.

问题6   根据多项式概念，你认为应从哪些角度观察以上三个公式的共同特征？

【设计意图】引导学生从项数、次数、项及系数等方面来探求其规律.

问题7   你能根据以上两个式子猜出[（a+b）n]的展开式吗？

【设计意图】至此一切水到渠成，下面让学生体验“观察—归纳—猜想—论证”的数学学习模式，学生通过参与数学活动过程，让学生感悟数学的基本思想，积累数学思维和实践的基本经验，进而促进学生形成和发展数学核心素养.

问题8   二项式定理有哪些重要特征？

【设计意图】培养学生用数学的语言描述定理，理解定理，把握定理的本质特征.

在自组织阶段，学生是学习的主体.利用自组织转换理论，让学生再发现、再交流和再反思，通过教师的诘问补充，帮助学生完善思维过程，真正实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何以知其所以然”的跨越，让学生真正成为课堂的主角，让学习真正发生，使得课堂探究精彩纷呈，意犹未尽.

当然对一些难以理解的关键问题，也可以搭建一些“台阶”，比如在展开[（a+b）3]时，标记字母[b]，展开[（a+b）3=（a+b1）（a+b2）（a+b3）][=a3+a2b3+a2b2+ab2b3+b1a2+b1b3a +]b1 b2 a+b1b2b3.

其中[b1]，[b2]，[b3]是同一个b.如此设计，就可以让学生有一个从具体到抽象的思维渐进过程，从组合数的角度观察各项系数的生成特点，再从特殊推广到一般情况，得到[（a+b）n]的展开式，并总结展开式的基本特点.

巧妙搭建台阶，真诚关心学生，激励学生信心，等待倾听，让学生在教师的耐心等待和真诚希望中增强学习的勇气、信心和力量，让课堂焕发出生命色彩和人性光辉.

（三）注重分析梳理，建构体系

梳理是帮助学生知识内化的过程.创设条件让学生对所学知识进行“自组织”——识别、赋意;教师要做的是通过教学材料和教学活动实现学生的自适应、自改造、自批判、自教育、自创生和自完善.

1.对定理、公式的推导过程以及思想方法进行梳理

如本节课可以对二项式定理从展开式的结构——项数、指数、系数、二项式系数等方面进行梳理，通过提炼，实现知识的进一步精确化，建立对二项式定理的完整认识;对所用到的“从特殊到一般，从具体到抽象”等的思维方法进行梳理，并尝试用数学符号或数学术语进行表征.

2.对关键思路和关键步子进行梳理

对关键环节的细致分析、解读，能让我们领略授课者的匠心独运和教学智慧，让我们久久回味和深深思考，这就是课堂的魅力和价值.如对问题5可以按照如下的推理线索进行梳理：各项的系数←确立项的方法种数←得到[an-rbr]的方法是什么←在n个因式（a+b）中选择哪r个因式中选取b字母.如此索因，使学生掌握问题分析的方法.

3.对例题、习题解法的回顾与反思

解题完毕，并不意味着一次学习任务的完成，回顾与反思恰恰是教学过程中最重要、最概括化也是最容易忽视的环节，如按照波利亚的解题表，梳理一下“能否检验答案？”“能否用别的方法推理这个结果？”“能否把这个结果或方法用于其他问题？”，这样的反复提问能够使学生作不同方面的推广，使知识系统化.

4.对本节课的学习过程进行呼应和梳理

在小结阶段，回应课堂开始创设的情境，如本节课的最后让学生估计[（1+0.01）365、（1-0.01）365]的数值（前者约为37.8，后者仅为0.03），此时学生一定会在惊讶的同时，为自己的学习成就自豪，顿悟“每天进步一点点”的数学和哲学意蕴，“无声胜有声”的教学效果顿显.正如史宁中先生所言：学生核心素养的形成与发展，是在教师的启发和引导下，学生通过自己的独立思考或者与他人交流，最终是自己“悟”出来的[4]，由此实现他组织到自组织.通过梳理同时也让学生厘清思路，形成思维体系，让新学的知识纳入原有的认知结构，实现同化或顺应.要想真正取得好的效果，一定要用规范的数学语言进行表征，至于形式，可以是学生在黑板上板书，也可以是学生讲、教师板书，数学的思维是受到约束的思维，所以板书一定要清晰而规范.

三、思考与结语

“情境创设、问题引导、分析梳理”的三個“注重”不应只是形式.家常课的教学，首先要实现教学理念的转变.以生为本，培养学生的责任感，学习、生活的能力，科学精神，创新、创造的能力，已成为国际上追求的共同教育理念.当下我国新课程改革的教学理念主要有：（1）生活性——生活化教学，让课程内容从生活中来到生活中去;（2）发展性——发展性教学，让每一个学生都能得到适宜的充分发展;（3）整体性——整体化教学，强调的是关联而不是孤立，建构而不是复制，是“化学反应”而不是“物理反应”;（4）自主性——自主化教学，强调的是要由教转为学，由依赖走向独立;（5）有意义——意义化教学，教学的终极目标是引导学生理解知识、能力对“我”的素养立意，从而不断充盈自己的内心世界，提升自己生命的意义.这是在核心素养背景下数学家常课教学的五个主要理念，或者是家常课教学中倡导的五个主要策略.

观念指导行动.在家常课的教学中践行先进的教学理念，可以帮助我们反思以下问题.

我们的教学是否真正发生？关键是四看：一看学生的学习任务是否清晰具体，并且具有适切性和挑战性;二看学生是否具有清晰的责任意识和目标意识;三看学生有没有形成探究的思维活动和经历;四看学生能否借助学习成果进行实际的比较和判断，在变化的情境下产生迁移.

学生的学习是否真正发生？关键看是否实现四个“转变”：（1）学习态度的转变：学生由“要我学”转变为自觉自主的学习;（2）学习角色的转变：由个体的接受学习，转变为学习共同体的共同学习;（3）学习目的的转变：由学会知识与应付考试转变为学会学习，学会运用与创新;（4）教与学方式的转变：教师由单一的教学变为师生、生生共同的学习探究.

核心素养是在特定的情境中表现出来的知识、能力和态度，要实现核心素养真正落地生根，必须重视情境的创设和问题的引导，并通过台阶搭建、分析梳理实现学生的知识体系建构.设计情境和提出问题，其目的是启发学生思考，其基础是教学内容的本质.只有通过合适的情境才利于学生感悟.情境和问题是多样的、多层次的，一个情境是否合适并不仅仅取决于情境本身，而在于所提出的问题是否能够揭示数学的本质.这些都是我们在家常课教学中需要注意的问题.

在我们平时的家常课教学中，自觉运用自组织系统理论，改进我们教的方式，从仅强调运用外部力量改造学生以达成学习目标的他组织教学方式，通过对教学材料的组织，贴合和顺应学生的思维，走向培养学生自主地求取知识、组织知识，实现教学目的的自组织成长方式，让学生在自组织的经历中自我地“设计、改造、批判、完善”，逐步提高自我组织能力，形成自我教育，实现学生的可持续发展.这是一种多么美好的前景！让我们为学生的自组织而教，为学生的可持续成长而教！

参考文献：

[1] 严必友.听课、评课应当关注的六个关键点 [J].教学与管理，2019（3）：36-37.

[2] 陆泽璇，林乐鑫.物理教学过程的自组织转变[J].物理教师，2019（5）：21-24.

[3] 陈海梅，郝红军，雷凤兰.从建构主义到自组织转变理论：科学理论的重要变革[J].首都师范大学学报（自然科学版），2008（6）：28-33.

[4] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018，27（1）：8-10.