关于数学教材中数据分析核心素养的研究

张玉环　姚丹

摘    要：经研究发现，南非高中数学统计教材以问题为导向体现数据分析的过程，以情境为依据体现数据分析的难度，以统计知识体系承载数据分析的分布，借助数据挖掘提升数据收集的能力，利用统计思维的变异性培养批判性思维，借助演绎法与图象法诠释统计语言，利用教材体系设计与数学问题体现数据分析的反思过程，利用情境、问题与信息技术引导学生进行数据分析交流.这对我国高中数学统计教材在培养数据分析核心素养方面提供了借鉴.

关键词：数学教材;数据分析;核心素养

2014年3月，教育部印发《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》，“核心素养”被置于课程改革、落实立德树人目标的基础地位.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“2017年版课标”）在课程基本理念、课程目标、课程结构、学业质量、实施建议等方面增加了数学核心素养的内容.数据分析是数学学科核心素养之一，是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养[1].已有文献主要从教师与学生的角度对数据分析核心素养进行研究，但教材对数据分析核心素养的落实与培养起着十分重要的作用，故有必要对教材中关于数据分析的内容结构设计加以研究.

他山之石，可以攻玉.我们可以借鉴国际上其他国家的教材对数据分析进行处理.南非与其他非洲国家相比，不仅经济发达，教育水平在非洲国家名列前茅，而且南非2006年在高中阶段全面启动数学素养课程，以提高公民解决现实问题的能力.因此，选择“数据分析”核心素养为研究对象，以南非Siyavula出版的高中教材（欲了解详细的教材内容请访问www.everythingmaths.co.za）统计内容为研究载体，从数据分析核心素养的问题与情境、知识与技能、思维与表达、反思与交流这四个维度，分析南非高中数学统计教材的设计特征，为中国高中统计教材的编写提供参考.

一、基于数据分析核心素养的教材设计分析

（一）问题与情境

1.以问题为导向体现数据分析的过程

数学学习的过程，既是数学素养形成发展的过程，又是发现、提出、分析、解决数学问题的过程.数学问题贯穿于数学学习的过程，对数据分析核心素养的形成具有引导作用，在一定程度上反映了教材对学生数据分析核心素养的期望发展方向和预测形成目标.统计内容的教学，应借助具体的案例让学生参与数据分析的全过程，通过数学问题对学生的数学思考方式进行优化调整，确保数据分析核心素养正确形成或进一步发展（见案例1）.

案例1   一位心脏病专家想测试静息心率和运动时的峰值心率之间的关系.12名参与者在10千米/小时的跑步机上跑了10分钟.问1：以静息心率為x变量绘制数据的散点图;问2：使用计算器确定最佳拟合直线的方程;问3：估计静息心率为70bpm的人在锻炼后的心率;问4：不用计算器找到相关系数r，用计算器确认答案;问5：关于静息心率和运动后心率之间的关系，你能得出什么结论？

案例1中数学问题的设置除未体现收集数据过程，其他数据分析的主要过程全部体现.此外，问题中体现数据分析主要过程的顺序也遵从学生分析数据的顺序，即给出了对含有两个变量的给定数据情境进行数据分析的一般步骤为：第一，依据已知的数据绘制散点图;第二，选择合适的曲线拟合;第三，计算曲线拟合的相关系数;第四，通过内插或外推进行统计预测;第五，用统计语言表达情境中蕴含的统计规律.

2.以情境为依托体现数据分析的难度

数据主要来源于客观现实世界，任何数据不仅仅是包含数量、文字、符号、图形等抽象信息，必然还包含了与现实情境有关的背景信息，这些背景信息中的人或事物就构成了数据的情境.鉴于数据分析核心素养的培养与情境的高度依赖性，有必要对南非高中数学统计教材的情境进行分析研究.南非高中数学统计教材的情境运用水平不高，创设的情境多是熟悉的生活情境，诸如学校、超市、商店、公共交通等，涉及科学情境的题目较少，即自然界或是科学技术中的问题（综合情境）较少.

（二）知识与技能

1.以统计知识体系承载数据分析的分布

南非高中数学统计内容分布在10、11、12年级的教材中.统计内容主线为：数据收集、数据分析、构建模型、进行推断，涵盖了数据分析的主要过程，形成了较为完善的统计知识体系.进一步，通过具体的数据精确地反映南非高中数学统计教材的完善性，将教材中知识点数量作为衡量教材广度的指标，统计结果为：南非高中数学统计内容的广度为67;依据2017年版课标对统计内容的要求，估算中国统计内容的广度为27，即南非统计内容更广.

南非高中数学统计内容知识体系的完善性承载了数据分析知识的完善性，而数据分析知识的完善性体现在对样本离散程度的数字量化和借助统计图表可视化的有关知识的完善.

2.借助数据挖掘提升数据收集的能力

数据挖掘是从大量、不完全、有干扰、模糊、随机的数据中提取隐含在其中、人们事先不知道但又是潜在有用的信息和知识的过程.

南非高中数学统计内容中涉及的异常值与极端数是对样本的预测结果产生影响的错误数据值，属于数据挖掘知识.因此，学会排除干扰数据的影响是培养学生数据挖掘能力的关键.挖掘数据不仅要求排除干扰数据，还需要学会挖掘隐形的数据信息.

（三）思维与表达

1.利用统计思维的变异性培养批判性思维

高中数学课程依赖统计思维生成数据分析核心素养，2017年版课标在数据分析核心素养水平二的表现中也提到“能够用统计或概率的思维来分析随机现象”.Moore曾说：“变异是统计的基础，没有它统计学将不会存在.”变异性的产生主要与数据、随机性有关，而统计内容的变异性主要来自于数据，统计思维的变异性主要体现在数据收集与数据分析两个方面（比如案例2）.

案例2   测量10个学习者的身高，随后又增加了一个身高为181厘米的学习者.比较增加第11个学习者前后学习者身高的平均值和中位数.

案例2通过增添数据改变数据集使数据分析后样本的数字特征发生了改变，表明对同一事件的分析会由于样本数据的不同而得到不同的推论预测，是统计思维的变异性在数据收集上的体现.

理解统计思维的变异性，从而接受统计推断的差异，不仅使学生感悟确定性思维与统计思维的区别，也是发展学生批判性思维的一个途径，并进一步借助批判性思维培养学生的创新能力.

2.借助演绎法与图象法诠释统计语言

表达是用数学的语言表达，对于数据分析核心素养就是统计图表与统计语言的表达.南非高中数学统计教材的统计图表涉及直方图、频数分布折线图、盒式图等，统计语言包括定性数据、定量数据、均值、众数等.

南非教材中“p分位数”这个概念的给出是演绎的过程，是基于演绎法表达统计语言.

（四）反思与交流

1.利用教材体系设计与数学问题体现数据分析的反思过程

南非课程标准在对教材的编写建议中，明确强调复习回顾的重要性，除了在教材的体系设计上体现反思，南非高中数学统计教材的例题和习题中也注重培养学生反思的习惯.比如利用信息技术对学生所求答案的检查验证，反思计算结果是否正确.一方面，学生只有养成反思的习惯，才会在解决问题后主动地判断步骤的正确性，亦是反思解题错误的原因，这个过程是学生对自我的一种批判，也是批判性思维形成的一个契机.另一方面，教材无形地渗透反思思想，学生内化为反思习惯，不仅在数学学习方面，甚至在各个方面的学习以及为人处事上都受益匪浅，真正体现了核心素养的育人价值.

2.利用情境、问题与信息技术引导学生进行数据分析交流

交流包括师生交流、生生交流、人机交流，与教学方式、情境创设以及数学问题的提出有关.教材中影响交流的因素有情境创设与数学问题.参与度高、体验感强的情境会激发学生交流的兴趣.南非高中数学统计教材为让学生理解“标准差是刻画数据稳定的统计量”这一概念，创设了加油站汽油价格情境，让学生通过计算平均值、标准差判断哪个城市汽油价格更稳定.通过题目辅以可接触、参与的现实情境，学生借以生活常识，讨论交流得出结论.

开放性的数学问题更容易引发学生进行交流讨论.设疑是教师引导学生发现提出问题、交流解决问题，质疑是学生主动发现提出问题、交流解决问题.在数据分析核心素养的培养过程中，统计思维的变异性导致问题的开放性，开放性问题答案的不确定性引起学生的质疑，从而引导学生讨论交流，形成交流的习惯.

二、思考与启示

基于数据分析核心素养的南非高中数学统计教材的分析不仅对统计教材的编写提供建议，而且对落實数据分析核心素养具有重大意义.关于南非高中数学统计教材的研究，对中国高中统计教材设计有以下启示.

（一）适当增加开放性的数学问题，培养学生的创新思维

常规封闭习题的已知和结论都有确定要求.已知开放的数学问题是诸如“计算你所在班级的平均身高”之类的问题，已知开放的数学问题要求学生挖掘有用或隐性信息，可以提升学生的数据分析能力;结论开放的数学问题是诸如“你还能得出什么结论？”之类的问题，结论开放的数学问题一方面可以促进学生的讨论交流，渗透批判思想，另一方面可以提升教材的数据分析水平，促进学生创新能力的培养.数学问题的开放程度对学生可容纳的思维活动空间有一定的影响，开放程度越大，可容纳的思维活动空间越大，创新便由此产生.

（二）渗透统计思维的变异性，促进批判性思维的形成

统计中的变异性无处不在，体现在数据收集、数据分析等环节中，教材的编写中要有所体现，教师在统计内容的讲解过程中更要处处渗透变异思想.分析数据的变化，理解其中的变异性，做出统计推断，这是发展学生批判性思维的阶梯.培养批判性思维是发展学生核心素养的本质要求.对数据分析结果的思考、质疑、批判，奠定大数据公民批判能力、创新能力、问题解决能力、自我反省能力的基础[2].

（三）重视统计语言的直观化，提供易理解的统计语言

统计语言是数据分析核心素养的基础.用统计语言表达现实世界的前提是从本质上理解统计语言.但统计语言由于太过概括、专业的特点而不易理解，需要教材更加直观地进行解释.南非高中数学统计教材中的统计语言或是通过创设情境了解统计语言的现实意义，或是通过演绎的方法给出，或是通过图表直观给出.中国统计教材可以选择借鉴适当的方法，降低学生对统计语言的学习难度，提供易理解的统计语言.

（四）增加综合情境，加大数学与其他学科的联系

综合情境属于数据分析核心素养的最高水平，增加教材中综合情境的占比，可以从增加数学与其他学科的联系入手，增加诸如医学统计、生物统计、经济统计、管理统计、工程统计等等之类的题目.情境的话题、成分、结构、表征形式、信息容量、开放程度、可容纳的思维活动空间等都会对数学核心素养的评价产生密切影响，考虑从上述方面提升统计教材的数据分析水平.

（五）注重反思，体现数据分析素养形成的连续性

反思是以一种审慎、吸收与批判的态度思考自己的行为、策略等，促进自身发展.南非高中数学统计教材中反思的途径有两种：在教材体系中通过复习回顾渗透反思;在解题过程中通过数学问题渗透反思.教材体系中的反思可以调整学生的认知结构，以促使学生形成一个系统性强、相互联系的知识系统，体现数据分析素养在内容上的连续性;然后，在解题过程中进行反思还可以优化调整学生的思维结构，培养创新意识.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：1-7.

[2]李化侠，宋乃庆，杨涛.大数据视域下小学统计思维的内涵与表现及其价值[J].数学教育学报，2017，26（01）：59-63.