数学运算素养下的一题多解

王淼生 黄勇

摘 要：数学运算是数学学科的核心素养之一，历来是课程和教学的重点内容.教师在教学中可以通过一题多解，充分展示培养数学运算素养的精髓，理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求出运算结果，反思运算历程.

关键词：核心素养；数学运算；一题多解

一、数学运算

核心素养是我国新一轮课程改革的主要方向，体现高中课程的总体目标，标志着我国基础教育进入以培养核心素养为中心的新阶段.数学核心素养是未来合格公民应具备的最基本、最重要的学科素养.基于数学学科特点，《普通高中数学课程标准（2017年版）》首次明确提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六大数学核心素养，其中数学运算历来是课程和教学的重点内容.数学运算是指依据运算法则，对数字、式子和量等运算对象进行代换或变换，强调解决问题的过程.数学运算并不仅仅是指数学计算，也不能理解为一般意义上的数学计算.数学运算不仅包括数字的简单计算，还包括各种数学式子及方程的变形，以及极限、微积分、逻辑代数的运算等.因此数学运算的核心就是理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果.下面以一道题的一题多解为例，阐述数学运算素养的培养.

二、题目呈现

如图1所示，[AB]是半圆[O]：[x2+y2=1]（[y≥0]）的直径，点[C]为半圆上任意一点，延长[AC]到点[P]，使得[CP=CB].

当点[C]从点[B]运动到点[A]时，动点[P]的轨迹的长度是（ ）.

A.[2π] B.[322π]

C.[22π] D.[42π]

三、题目分析

（一）运算对象

理解运算对象是实施数学运算的前提，否则数学运算就成为无源之水、无本之木.例题涉及解析几何中的直线、圆及它们之间的位置关系；涉及直线的方程、倾斜角、斜率；涉及平面几何中的圆、等腰三角形、直角三角形相关性质；涉及动点轨迹及弧长等运算对象.

（二）运算法则

掌握运算法则是实施数学运算的基础.对于直线与圆相交可以联立并解方程组，或运用韦达定理，或借助点到直线的距离公式；对于斜率可以利用[k=tanα]，也可以利用点的坐标来表示；对于几何问题，可以借助平面几何中的性质、定理（如三角形全等、相似）来处理.

（三）运算方向

实施数学运算关键在于探究运算方向，只有方向明确，才能保证运算在正确的轨道上运行.厘清问题本质是探究运算方向的基石.例题本质就是求满足条件的动点轨迹，主要有定义法、代入法、参数法、几何法、交轨法等，其中尤其关注轨迹纯粹性.

（四）运算方法

在明确运算方向的背景下，任何数学运算最终必须落实到具体方法与操作流程.解题教学中不仅要向学生阐述构思历程，而且要展示详细运算过程，这既是数学运算核心素养的基本要求，也是培养运算能力的具体操作，更是优化思维品质，提升核心素养的途径.

（五）运算程序

实施数学运算是理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法之后面临的关键问题.设计有效、恰当、简捷的运算程序是破解具体问题的必由之路，更是解决同类及相似问题的普遍方法，达到举一反三、触类旁通的效果，是实施高效解题教学的重要策略.

（六）运算结果

数学运算最终目的是求解结果，不仅运算结果正确，而且追求最佳、最简结论，同时要善于反思、勇于质疑.反思是解题教学的核心.反思解题思路，培养思维发散性；反思解题过程，培养思维严谨性；反思解题结果，培养思维批判性；反思解题规律，培养思维创造性.

四、一题多解

五、感悟反思

（一）命题陷阱

从上述剖析过程可知，动点[P]的轨迹方程为[（x-0）2+（y-1）2=2]（[x>-1]，[y≥0]），因此其轨迹为半圆，轨迹长度为圆周长的一半，这正是选项A.不少学生没有注意到轨迹的纯粹性，误以为轨迹就是整个圆，这正是命题专家故意设置干扰项C的缘由.部分学生注意到[y≥0]，误以为轨迹就是圆[（x-0）2+（y-1）2=2]在[x]轴上方的部分，从而得到轨迹长度为该圆周长的四分之三，这是命题专家设置干扰项B的依据.正如上述解法3，不少学生误以为轨迹是两个圆，这是设置干扰项D的理由.针对选择题，我们必须研究命题专家设置干扰项的“理由”，这是精准解答选择题的关键，也是预防错误并得到正确结果的必经之路.

（二）反思质疑

波利亚将解题过程分为弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思等四个阶段.弄清问题即剖析条件之间的关联，理解运算对象，掌握运算法则；拟定计划就是在探究运算方向的前提下，设计运算程序；实施计划就是选择运算方法并求得运算结果；回顾反思是最重要也是最容易忽略的一个环节，通过回顾所完成的解答，并重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路，巩固知识，提高解题能力，优化思维品质，提升运算素养.

比如，对于解法2，轨迹为何是半圆呢？源于点[C]本身只能在半圆[O]上运动.对于解法3中的①→⑥，為何这样配方呢？有何依据？因为解法2从本源上确定其轨迹是圆的一部分，既然是圆就一定可以这样配方.解法3中怎么会出现两个圆呢？事实上，已知三角形一边与其对角，其动点轨迹本来就是两段圆弧，只是因为动点[C]在半圆[O]上运动，因此其轨迹只能是一个圆的一段弧.为何解法4中可以将[x2+y2]看作一个整体呢？其实，这并非是简单的换元法，而是因为解法2已经明确轨迹为圆的一部分.既然是圆，依据圆的一般方程特点：[x2]与[y2]的系数相同且不为零，这才是看作一个整体的缘由；客观地讲，由（9）与（10）消去参数[α]以及由（12）消去参数[k]并不容易，正是解法2作为铺垫，使得我们明确了运算方向，于是在（10）式与（12）式两边同时减去1，为后续消去参数奠定基础.这也再一次说明探究运算方向、选择运算方法（两式平方相加）并非空穴来风，而是建立在缜密分析的基础上.事实上，在解法6中，利用三角函数的值域，容易得到[x>-1]，[y≥0]，正好与题意吻合，也恰好体现轨迹的纯粹性.上述解法6与解法8毕竟仅仅含有一个参数，相对不算太难，而解法10中含有两个参数[x0]，[y0]，必须承认，从（14）（15）（16）及（17）中同时消去参数[x0]，[y0]是十分困难的，笔者也是经历长时间摸索.遗憾的是，不少教师在实施运算时，往往重视运算方向、方法而忽视具体操作过程，不愿意甚至根本不舍得花时间来详细演绎运算过程，导致学生一看会做、一算就错、会而不对、对而不全.当涉及运算对象（[x]，[y]，[x0]，[y0]）较多，主要矛盾就是减元，这就是为何连续将（14）分别代入（15）（17），将（15）代入（16），将（18）代入（19），将（20）代入（21）的缘故，其终极目标依然是奔着解法2的结果（圆）而去.如果没有这一目标，几乎很难有效消去两个参数.

（三）不可分割

由上述分析过程，我们深刻感悟到数学核心素养之间你中有我，我中有你.它们既有区别又有联系，既各有侧重又和谐统一.数学运算往往与直观想象密切相关，上述解法3、解法4、解法6、解法8以及解法10（数学运算）都是建立在解法2以及解法7（几何直观）的基础上，通过几何直观，启迪解题思路；数学运算又与数据分析密不可分，数据就是信息，透过数据，发现本质，正是上述解法5中的数据，让我们联想到同弧上的圆心角为圆周角两倍，进而紧扣目标（圆）；同时数学运算还与逻辑推理不可分割，通过逻辑推理，发现隐含规律，上述解法3、解法4、解法6、解法8，尤其解法10中的逻辑推理过程非常复杂，在推理的同时关注运算，在运算的过程中体会推理，使得数学运算、逻辑推理、数据分析以及几何直观等核心素养融为一体，相得益彰，在解题活动中，感悟数学思想方法，积累数学思维的经验，在潜移默化中形成和发展数学运算素养.