基于数学教育价值视角下的例题教学

林少安

《普通高中数学课程标准》明确指出，高中数学学科教学层面的价值表现为“对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础作用.”数学的教育价值，主要体现在数学教育的应用价值、思维训练价值. 文化价值及科学素养价值等.数学教学离不开例题教学，因此我们应充分挖掘例题的教育价值，在传授知识的同时，注重能力的培养，理性思维的养成，文化的熏陶及科学素养的提升，实现教学目标的多元化，促进学生的全面发展.下面从体现数学教育价值的层面谈谈在例题教学中彰显数学教育价值的几点思考，以期抛砖引玉.

一、注重纵横拓展，培养探究能力

在例题教学中，可以从教育价值的高度来设计问题，精心预设富有启发性的“好问题”，帮助学生构建知识体系，加强纵、横向的联系.在例题讲解过程中，适度的研讨可以让更多的学生主动参与，在师生对话中实现师生合作，促进生生交流以及团队精神.知识的动态生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，激发求知欲，激活思维火花，有效提升学生的探究创新能力.在例题教学中，常见的的“好问题”有“一题多变”(类比、拓展、延伸)、“一题多用”、“多题归一”等.

案例1已知函数f（x）=x3-4x2+4x.

（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）的极值.

在教师与学生共同完成此问题解答后，教师可引导学生对此问题进行编题变式.笔者在教学中做过尝试，学生在经过合作探究后有如下几种变式：

生1（变式1）：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，x∈0，■，求f（x）最大值与最小值.设计意图是限定自变量的取值范围，求函数单调区间、函数的极值，最后确定函数的最值.

生2（变式2）：已知函数f（x）=x3-4x2+ax在区间（1，2）为减函数，在区间（2，+∞）为增函数，求实数a的值.设计意图是根据极值的定义，设计x=2是函数的极小值点.

生3（变式3）：已知函数f（x）=x3-4x2+ax在区间（1，2）为减函数，求实数a的范围.设计意图是引入参数，由函数单调性求参数的取值范围，即f′（x）=3x3-8x+a＜0，对x∈（1，2）恒成立.

在此基础上，经教师的引导，师生又共同探究下列几种变式：

变式4：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，试证：对任意的x1，x2∈0，■不等式f（x1）-f（x2）＜■恒成立.设计意图是考查化归与转化的思想.此问题可转化为求函数f（x）在0，■的最大值为m，最小值为n，证明m-n＜■即可.

变式5：已知函数f（x）=x3-4x2，g（x）=a-4x，试问实数取何值时，两函数的图象有且仅有三个公共点.设计意图是考查函数与方程思想、数形结合思想，化归与转化的思想.此问题可转化为实数a取何值时，方程f（x）=g（x）有三个根，即x3-4x2+4a=a有三个根.

变式6：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，g（x）=8x2-16x-k（其中k为实数），若对于任意x1∈［0，3］，总存在x2∈［0，3］，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范围.设计意图考查化归与转化的思想，考查函数的值域、集合间的包含关系等.

当然还可再进行变式，在此不一一列举.

案例启示：波利亚说：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”我们知道，中学数学函数与导数的核心内容，就是利用导数研究初等函数——图象特征（包括单调性、函数的凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系）.上述问题是从函数与导数的基本问题出发，从研究函数的本质内容、函数单调性及极值出发，通过变式探究，将导数在研究函数中的应用作了较为系统的学习，设计是自然而有效的.一题多变，变的是形式，不变的是本质.问题的变式，使学生更清楚地认识了函数与导数的本质，增强了思维的广阔性，提高对数学的兴趣和热情，培养探究精神.

爱因斯坦在《物理学的进化》中说：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步.”在例题教学过程中，教师要密切关注学生的学习动态，通过教师引导、启发、指导、点拨、评价、矫正，让学生自主地提出问题，才能有效地起到拓展思路、开阔视野、提炼精要、升华情感的作用，让师生对话得以持续，学生的自主、合作、探究学习才能顺畅，学生的思维才有可能从懵懂走向顿悟，内心才有可能从迷惘变得敞亮.

二、关注呈现方式，养成理性思维

理性思维就是人们借助抽象思维，在概括、整理大量感性材料的基础上达到关于事物本质的、全体内部联系和事物自身规律的认识.理性思维是在感性思维的基础上，把所获得的感觉材料，经过思考、分析，加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的整理和改造，形成概念、判断、推理.理性思维是感性思维的飞跃，它反映事物的全体、本质和内部联系.

著名数学教育家波利亚认为：“掌握数学意味着除掌握逻辑分析方法外，还必须掌握探索性思维能力.”数学教学不能仅限于一些演算规则和解题技巧的教学，其中最本质的还是对学生理性思维方法的培养.培养和发展学生的理性思维，其教育意义一点也不亚于数学知识和数学方法的教学.引导学生借助感性材料通过概括获得数学结论并对命题进行逻辑证明是数学教育目标使然，是体现例题教学价值的重要方面.

笔者在一次听课过程中，遇到一位教师是如此展示及处理下述问题.

案例2 n∈N*且 n≥3，证明： nn+1＞（n+1）n.

此题呈现方式是直接将结论给学生.教师在分析题意后问：“与自然数有关问题如何解决？”，生答：“用数学归纳法”.在此基础上，教师引导学生用数学归纳法、二项式定理进行证明，似乎也完成了教学任务.如此教学，追求的仅仅是演算规则和解题技巧的教学，或者说，只是为了完成解决问题而已，未能充分体现对学生的理性思维的培养.

我们不妨做一下改编：你能否判断 nn+1与 （n+1）n的大小？（n∈N*）

教学效果会大不一样.我们知道，在数学学习过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过归纳总结得出结论，经过证明后，又利用它们来解决相关的数学问题.

教师可引导学生通过观察、试验：12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，…

学生有了这些感性材料时，可作出猜想：

当n＜3时， nn+1＜ （n+1）n（n∈N*）；

当n≥3时，nn+1＜ （n+1）n（n∈N*）.

此时，教师进一步引导学生用数学归纳法、二项式定理进行证明.接着，对于基础较好的学生，教师又可适时提出能否将此结论推广到为实数?通过进一步探索，作出新的猜想：

当0＜x＜y＜e时，xy＜yx；

当e＜x＜y＜+∞时.xy＞yx（x，y∈R）.

这样的教学活动，不仅有利于学生形成勇于探索的精神，而且使学生的理性思维探索能力得到了训练和培养.

案例启示：教育家加里宁说过：“数学是训练思维的体操.”数学学科在发展学生思维尤其是理性思维方面具有特有的优势，数学教学必须高度重视理性思维的养成，以充分展示数学理性光芒来提升学生数学学习的层次，实现理性精神的传承，为学生的终身发展奠基.

众所皆知，在心理学上，因信息呈现的方式及顺序不同会出现首因效应或者第一印象效应问题.同样的，在数学例题教学上，例题信息的呈现方式及顺序也会影响学生的数学思维.在例题教学中，我们要注意到在不改变例题本质内容的前提下，研究例题呈现方式、例题条件和结论信息呈现的顺序对数学教学产生的不同教学效果.教师有必要根据学生的思维特点，对例题的呈现方式尽量合理优化，考虑采取何种恰当的、有效的呈现策略，能更好地开启学生的思维，也可以促使更多的学生积极主动地参与到课堂教学活动中来.在此要说明的是，教师在引用他人编拟的例题的时候“多长点心眼”，根据自己的教学意图充分挖掘例题的教育功能，例题信息呈现的方式是一种相对“简便”的教育功能挖掘方式，教师完全可以根据自己的教育意图灵活处理.

此问题的设置，揭示了从特殊到一般的理性思维过程，学生对感性材料进行抽象和概括、分析和综合，寻找事物的本质，进而解决问题，这样的教学处理，理性思维方法就渗透其中，思维的探索品质也得到培养.

三、展示数学文化，弘扬文化价值

数学中蕴含的文化价值是客观存在的，但学生往往感觉不到，导致这一结果的原因是多方面的，其中之一是在数学教学中，过分夸大了数学的智育功能，而忽视了数学的美育功能和人文价值.

笔者在教学中设计了这样的一个问题：

通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

设置此练习题，从知识层面上看，是为了让学生进一步熟悉归纳推理进行的一般过程，同时体会归纳推理的特点和作用.更重要的是，期望着学生能从数学对称美的角度出发，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但从学生作出的解答令人失望，绝大部分的学生只考虑到一般性的结论为sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，从而导致在证明一般性的结论的解答过程较为繁琐.究其原因是学生未能感受到数学美的客观存在.

世界数学名题是数学大师们智慧的沉淀，其蕴含的独特构思、创造性思维技巧以及精彩的结论都堪称数学中的瑰宝.在中学例题教学中，适当引入以数学名题为背景的试题，能让学生领会数学的美妙，提高学生的数学思维能力，对学生感受数学文化有积极的促进作用.

案例3已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=■，当an为偶数时，3an+1， 当an为奇数时，若a6=1，则m所有可能的取值为 .

对于本题，如果就题解题、论题，只是得到形式上、逻辑上的解答，学生对此不会留下什么印象，对观念发展、思维成熟的益处甚微.仅从知识层面解决这一问题，这是例题教学中数学文化价值的缺失.教师对这一背景可作恰当的介绍.此题的背景就是“3n+1”问题”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：给定一个正整数n，如果n是偶数就除以2变成■，如果n是奇数就乘以3再加1变成3n+1，不断地重复这两种运算，则有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的数列问题，孰不知该试题却蕴含浓厚的文化背景.问题如此清晰、明了，连小学生都能看得懂的问题，却难倒了20世纪的许多伟大的数学家.当时，有许多专家、学者都对这个问题陷入了狂热的迷恋中.据说，耶鲁大学有长达一个月之久，人人都在研究这个问题，但却没有任何实性的进展，经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家爱尔特希的说法：数学还没有成熟到足以解决这样的问题.

案例启示：克莱因指出：“数学是形成现代文化的主要力量，也是这种文化极其重要的因素.”数学的本质是一种文化，不仅闪烁着理性、智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向.因此，加强数学文化的渗透是必要的.在数学教学中，关键是对教学内容的挖掘和理解，不但要将数学知识的工具价值展示出来，还要把它的文化价值挖掘出来.既要注意它的知识形态，更要注意它的文化形态，达到全面育人的目的.

法国启蒙思想家狄德罗有一段名言精辟地指出：“数学中所谓美的问题，是指一个又一个难以解答的问题，所谓美的解答是对一个困难复杂问题的简易回答.”对数学的探索伴随着一个探索发现的过程，需要综合运用逻辑思维与非逻辑思维，去找寻解题途径，达到正确的、完美的解题目的.而在这一问题解决过程中，数学审美活动起着不可忽视的潜在作用.数学问题解决中的审美活动主要体现在，审视数学美，启迪问题解决的思路；挖掘数学美，简化问题解决的思路；创造数学美，探索问题解决的途径；追求数学美，总结问题解决的规律.

本题将数学史融入数学课堂教学，展示了数学文化的魅力，是一道意味深长的好题.通过介绍例题的文化背景，不但可以让学生领悟数学文化的价值，而且能激发学生的学习兴趣，给枯燥的数学课程增添生机与活力.

四、捕捉动态生成，养成良好品质

“岁岁年年人不同，题题错错总相似.”每次练习测验考试之后总有一些学生后悔不已，追悔莫及.虽然发生在不同的学生身上，但错因总是那么相同相似.究其原因主要是审题不深入，甚至看错题或者看漏条件，导致这一原因的主要根源就是缺乏严谨的科学态度.

案例4已知函数f（x）=■，是否存在实数m满足方程f（x）=m有三个不同的实根，若存在求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

提出这一问题时，教师不必急于分析解题思路，可让学生独立思考，动手实践.笔者在教学中做过尝试，发现大部分学生是如此解答：求导可得函数f（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，1）上递增，在（1，+∞）上递减，学生画出草图，如图1，则当f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■时，方程f（x）=m有三个不同的实根.

到此，学生很满足，思维进入休眠状态.这时需要教师的点拔激活思维，此时，教师提出：“答案对吗？当x→-∞（或x→+∞）时，函数f（x）=■的值如何？”这一问题犹如一块石头投入平静的思维海洋，激起层层思维波澜，学生人人动手思考，由函数f（x）=■分析，当x→-∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→0，也就清楚函数f（x）并非图1，正确图形应是图2.由图2可知不存在实数满足方程f（x）=m有三个不同的实根.

解题结束时，教师总结，对于“研究方程f（x）=c的实根问题”，若的范围为非闭区间时，一般都要对x趋近端点值时对y进行逼近，判断函数程f（x）在端点处的取值情况，防止出现错误.

案例启示：面对教师设计的熟知问题，学生虽然容易入手，但常因思维的不严谨，如审题不清、画图的随意性等而致误.通过教师对答案提出疑问，使学生思维高度集中，他们急于找出问题的症结而产生内驱力，理解也更为深刻.学生经历“犯错一查因一纠错”的探究过程，揭示问题的本质，加深了学生对问题的深层次的认识和理解，与此同时培养了学生严谨的科学态度.

有智慧的教师应懂得举轻若重.其实，学生在一些看似无足轻重的解题环节的疏忽，恰恰暴露了学生数学知识的缺陷和数学思维的幼稚.如果只注重分析试题的思路，忽略了其中的算理和对运算途径的优化就会影响答题的效率和准确率.忽略对解题的严谨性的强调，学生在解题中就容易丢三落四.作为教师一定要充分预见到学生在解题时，有哪些容易出错的地方，这些问题是数学知识存在的缺陷，还是基本技能不够娴熟，防患于未然.例题教学时，要注意细节，要求学生做到字字有据，步步有理，行行准确.正所谓：小事成就大事，细节成就完美，细心赢得先机，严谨走向成功.

众所皆知，在心理学上，因信息呈现的方式及顺序不同会出现首因效应或者第一印象效应问题.同样的，在数学例题教学上，例题信息的呈现方式及顺序也会影响学生的数学思维.在例题教学中，我们要注意到在不改变例题本质内容的前提下，研究例题呈现方式、例题条件和结论信息呈现的顺序对数学教学产生的不同教学效果.教师有必要根据学生的思维特点，对例题的呈现方式尽量合理优化，考虑采取何种恰当的、有效的呈现策略，能更好地开启学生的思维，也可以促使更多的学生积极主动地参与到课堂教学活动中来.在此要说明的是，教师在引用他人编拟的例题的时候“多长点心眼”，根据自己的教学意图充分挖掘例题的教育功能，例题信息呈现的方式是一种相对“简便”的教育功能挖掘方式，教师完全可以根据自己的教育意图灵活处理.

此问题的设置，揭示了从特殊到一般的理性思维过程，学生对感性材料进行抽象和概括、分析和综合，寻找事物的本质，进而解决问题，这样的教学处理，理性思维方法就渗透其中，思维的探索品质也得到培养.

三、展示数学文化，弘扬文化价值

数学中蕴含的文化价值是客观存在的，但学生往往感觉不到，导致这一结果的原因是多方面的，其中之一是在数学教学中，过分夸大了数学的智育功能，而忽视了数学的美育功能和人文价值.

笔者在教学中设计了这样的一个问题：

通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

设置此练习题，从知识层面上看，是为了让学生进一步熟悉归纳推理进行的一般过程，同时体会归纳推理的特点和作用.更重要的是，期望着学生能从数学对称美的角度出发，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但从学生作出的解答令人失望，绝大部分的学生只考虑到一般性的结论为sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，从而导致在证明一般性的结论的解答过程较为繁琐.究其原因是学生未能感受到数学美的客观存在.

世界数学名题是数学大师们智慧的沉淀，其蕴含的独特构思、创造性思维技巧以及精彩的结论都堪称数学中的瑰宝.在中学例题教学中，适当引入以数学名题为背景的试题，能让学生领会数学的美妙，提高学生的数学思维能力，对学生感受数学文化有积极的促进作用.

案例3已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=■，当an为偶数时，3an+1， 当an为奇数时，若a6=1，则m所有可能的取值为 .

对于本题，如果就题解题、论题，只是得到形式上、逻辑上的解答，学生对此不会留下什么印象，对观念发展、思维成熟的益处甚微.仅从知识层面解决这一问题，这是例题教学中数学文化价值的缺失.教师对这一背景可作恰当的介绍.此题的背景就是“3n+1”问题”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：给定一个正整数n，如果n是偶数就除以2变成■，如果n是奇数就乘以3再加1变成3n+1，不断地重复这两种运算，则有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的数列问题，孰不知该试题却蕴含浓厚的文化背景.问题如此清晰、明了，连小学生都能看得懂的问题，却难倒了20世纪的许多伟大的数学家.当时，有许多专家、学者都对这个问题陷入了狂热的迷恋中.据说，耶鲁大学有长达一个月之久，人人都在研究这个问题，但却没有任何实性的进展，经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家爱尔特希的说法：数学还没有成熟到足以解决这样的问题.

案例启示：克莱因指出：“数学是形成现代文化的主要力量，也是这种文化极其重要的因素.”数学的本质是一种文化，不仅闪烁着理性、智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向.因此，加强数学文化的渗透是必要的.在数学教学中，关键是对教学内容的挖掘和理解，不但要将数学知识的工具价值展示出来，还要把它的文化价值挖掘出来.既要注意它的知识形态，更要注意它的文化形态，达到全面育人的目的.

法国启蒙思想家狄德罗有一段名言精辟地指出：“数学中所谓美的问题，是指一个又一个难以解答的问题，所谓美的解答是对一个困难复杂问题的简易回答.”对数学的探索伴随着一个探索发现的过程，需要综合运用逻辑思维与非逻辑思维，去找寻解题途径，达到正确的、完美的解题目的.而在这一问题解决过程中，数学审美活动起着不可忽视的潜在作用.数学问题解决中的审美活动主要体现在，审视数学美，启迪问题解决的思路；挖掘数学美，简化问题解决的思路；创造数学美，探索问题解决的途径；追求数学美，总结问题解决的规律.

本题将数学史融入数学课堂教学，展示了数学文化的魅力，是一道意味深长的好题.通过介绍例题的文化背景，不但可以让学生领悟数学文化的价值，而且能激发学生的学习兴趣，给枯燥的数学课程增添生机与活力.

四、捕捉动态生成，养成良好品质

“岁岁年年人不同，题题错错总相似.”每次练习测验考试之后总有一些学生后悔不已，追悔莫及.虽然发生在不同的学生身上，但错因总是那么相同相似.究其原因主要是审题不深入，甚至看错题或者看漏条件，导致这一原因的主要根源就是缺乏严谨的科学态度.

案例4已知函数f（x）=■，是否存在实数m满足方程f（x）=m有三个不同的实根，若存在求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

提出这一问题时，教师不必急于分析解题思路，可让学生独立思考，动手实践.笔者在教学中做过尝试，发现大部分学生是如此解答：求导可得函数f（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，1）上递增，在（1，+∞）上递减，学生画出草图，如图1，则当f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■时，方程f（x）=m有三个不同的实根.

到此，学生很满足，思维进入休眠状态.这时需要教师的点拔激活思维，此时，教师提出：“答案对吗？当x→-∞（或x→+∞）时，函数f（x）=■的值如何？”这一问题犹如一块石头投入平静的思维海洋，激起层层思维波澜，学生人人动手思考，由函数f（x）=■分析，当x→-∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→0，也就清楚函数f（x）并非图1，正确图形应是图2.由图2可知不存在实数满足方程f（x）=m有三个不同的实根.

解题结束时，教师总结，对于“研究方程f（x）=c的实根问题”，若的范围为非闭区间时，一般都要对x趋近端点值时对y进行逼近，判断函数程f（x）在端点处的取值情况，防止出现错误.

案例启示：面对教师设计的熟知问题，学生虽然容易入手，但常因思维的不严谨，如审题不清、画图的随意性等而致误.通过教师对答案提出疑问，使学生思维高度集中，他们急于找出问题的症结而产生内驱力，理解也更为深刻.学生经历“犯错一查因一纠错”的探究过程，揭示问题的本质，加深了学生对问题的深层次的认识和理解，与此同时培养了学生严谨的科学态度.

有智慧的教师应懂得举轻若重.其实，学生在一些看似无足轻重的解题环节的疏忽，恰恰暴露了学生数学知识的缺陷和数学思维的幼稚.如果只注重分析试题的思路，忽略了其中的算理和对运算途径的优化就会影响答题的效率和准确率.忽略对解题的严谨性的强调，学生在解题中就容易丢三落四.作为教师一定要充分预见到学生在解题时，有哪些容易出错的地方，这些问题是数学知识存在的缺陷，还是基本技能不够娴熟，防患于未然.例题教学时，要注意细节，要求学生做到字字有据，步步有理，行行准确.正所谓：小事成就大事，细节成就完美，细心赢得先机，严谨走向成功.

众所皆知，在心理学上，因信息呈现的方式及顺序不同会出现首因效应或者第一印象效应问题.同样的，在数学例题教学上，例题信息的呈现方式及顺序也会影响学生的数学思维.在例题教学中，我们要注意到在不改变例题本质内容的前提下，研究例题呈现方式、例题条件和结论信息呈现的顺序对数学教学产生的不同教学效果.教师有必要根据学生的思维特点，对例题的呈现方式尽量合理优化，考虑采取何种恰当的、有效的呈现策略，能更好地开启学生的思维，也可以促使更多的学生积极主动地参与到课堂教学活动中来.在此要说明的是，教师在引用他人编拟的例题的时候“多长点心眼”，根据自己的教学意图充分挖掘例题的教育功能，例题信息呈现的方式是一种相对“简便”的教育功能挖掘方式，教师完全可以根据自己的教育意图灵活处理.

此问题的设置，揭示了从特殊到一般的理性思维过程，学生对感性材料进行抽象和概括、分析和综合，寻找事物的本质，进而解决问题，这样的教学处理，理性思维方法就渗透其中，思维的探索品质也得到培养.

三、展示数学文化，弘扬文化价值

数学中蕴含的文化价值是客观存在的，但学生往往感觉不到，导致这一结果的原因是多方面的，其中之一是在数学教学中，过分夸大了数学的智育功能，而忽视了数学的美育功能和人文价值.

笔者在教学中设计了这样的一个问题：

通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

设置此练习题，从知识层面上看，是为了让学生进一步熟悉归纳推理进行的一般过程，同时体会归纳推理的特点和作用.更重要的是，期望着学生能从数学对称美的角度出发，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但从学生作出的解答令人失望，绝大部分的学生只考虑到一般性的结论为sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，从而导致在证明一般性的结论的解答过程较为繁琐.究其原因是学生未能感受到数学美的客观存在.

世界数学名题是数学大师们智慧的沉淀，其蕴含的独特构思、创造性思维技巧以及精彩的结论都堪称数学中的瑰宝.在中学例题教学中，适当引入以数学名题为背景的试题，能让学生领会数学的美妙，提高学生的数学思维能力，对学生感受数学文化有积极的促进作用.

案例3已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=■，当an为偶数时，3an+1， 当an为奇数时，若a6=1，则m所有可能的取值为 .

对于本题，如果就题解题、论题，只是得到形式上、逻辑上的解答，学生对此不会留下什么印象，对观念发展、思维成熟的益处甚微.仅从知识层面解决这一问题，这是例题教学中数学文化价值的缺失.教师对这一背景可作恰当的介绍.此题的背景就是“3n+1”问题”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：给定一个正整数n，如果n是偶数就除以2变成■，如果n是奇数就乘以3再加1变成3n+1，不断地重复这两种运算，则有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的数列问题，孰不知该试题却蕴含浓厚的文化背景.问题如此清晰、明了，连小学生都能看得懂的问题，却难倒了20世纪的许多伟大的数学家.当时，有许多专家、学者都对这个问题陷入了狂热的迷恋中.据说，耶鲁大学有长达一个月之久，人人都在研究这个问题，但却没有任何实性的进展，经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家爱尔特希的说法：数学还没有成熟到足以解决这样的问题.

案例启示：克莱因指出：“数学是形成现代文化的主要力量，也是这种文化极其重要的因素.”数学的本质是一种文化，不仅闪烁着理性、智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向.因此，加强数学文化的渗透是必要的.在数学教学中，关键是对教学内容的挖掘和理解，不但要将数学知识的工具价值展示出来，还要把它的文化价值挖掘出来.既要注意它的知识形态，更要注意它的文化形态，达到全面育人的目的.

法国启蒙思想家狄德罗有一段名言精辟地指出：“数学中所谓美的问题，是指一个又一个难以解答的问题，所谓美的解答是对一个困难复杂问题的简易回答.”对数学的探索伴随着一个探索发现的过程，需要综合运用逻辑思维与非逻辑思维，去找寻解题途径，达到正确的、完美的解题目的.而在这一问题解决过程中，数学审美活动起着不可忽视的潜在作用.数学问题解决中的审美活动主要体现在，审视数学美，启迪问题解决的思路；挖掘数学美，简化问题解决的思路；创造数学美，探索问题解决的途径；追求数学美，总结问题解决的规律.

本题将数学史融入数学课堂教学，展示了数学文化的魅力，是一道意味深长的好题.通过介绍例题的文化背景，不但可以让学生领悟数学文化的价值，而且能激发学生的学习兴趣，给枯燥的数学课程增添生机与活力.

四、捕捉动态生成，养成良好品质

“岁岁年年人不同，题题错错总相似.”每次练习测验考试之后总有一些学生后悔不已，追悔莫及.虽然发生在不同的学生身上，但错因总是那么相同相似.究其原因主要是审题不深入，甚至看错题或者看漏条件，导致这一原因的主要根源就是缺乏严谨的科学态度.

案例4已知函数f（x）=■，是否存在实数m满足方程f（x）=m有三个不同的实根，若存在求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

提出这一问题时，教师不必急于分析解题思路，可让学生独立思考，动手实践.笔者在教学中做过尝试，发现大部分学生是如此解答：求导可得函数f（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，1）上递增，在（1，+∞）上递减，学生画出草图，如图1，则当f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■时，方程f（x）=m有三个不同的实根.

到此，学生很满足，思维进入休眠状态.这时需要教师的点拔激活思维，此时，教师提出：“答案对吗？当x→-∞（或x→+∞）时，函数f（x）=■的值如何？”这一问题犹如一块石头投入平静的思维海洋，激起层层思维波澜，学生人人动手思考，由函数f（x）=■分析，当x→-∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→0，也就清楚函数f（x）并非图1，正确图形应是图2.由图2可知不存在实数满足方程f（x）=m有三个不同的实根.

解题结束时，教师总结，对于“研究方程f（x）=c的实根问题”，若的范围为非闭区间时，一般都要对x趋近端点值时对y进行逼近，判断函数程f（x）在端点处的取值情况，防止出现错误.

案例启示：面对教师设计的熟知问题，学生虽然容易入手，但常因思维的不严谨，如审题不清、画图的随意性等而致误.通过教师对答案提出疑问，使学生思维高度集中，他们急于找出问题的症结而产生内驱力，理解也更为深刻.学生经历“犯错一查因一纠错”的探究过程，揭示问题的本质，加深了学生对问题的深层次的认识和理解，与此同时培养了学生严谨的科学态度.

有智慧的教师应懂得举轻若重.其实，学生在一些看似无足轻重的解题环节的疏忽，恰恰暴露了学生数学知识的缺陷和数学思维的幼稚.如果只注重分析试题的思路，忽略了其中的算理和对运算途径的优化就会影响答题的效率和准确率.忽略对解题的严谨性的强调，学生在解题中就容易丢三落四.作为教师一定要充分预见到学生在解题时，有哪些容易出错的地方，这些问题是数学知识存在的缺陷，还是基本技能不够娴熟，防患于未然.例题教学时，要注意细节，要求学生做到字字有据，步步有理，行行准确.正所谓：小事成就大事，细节成就完美，细心赢得先机，严谨走向成功.