例析2015年浙江数学高考解题中的图形辅助

沈顺良

图形在解决数学问题时常常能起到辅助作用，其中有解决代数问题的几何图形，也有解决几何问题的特殊图形，本文试列举2015年浙江数学高考试题解决中的图形辅助.

一、辅助函数图形

函数图形能直观反映变量间的关系，因此它能辅助解决相关函数的取值、性质等问题.

例1 （理科卷第7题）存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（ ）

运用同样的方法可以解决文科卷第8题，还可以通过图象简单化解决理科卷第10题的分段函数问题.

二、辅助横（竖）线段

斜线段长度常常可以化归到横（纵）线段长度，从而在坐标系中用横（纵）坐标简化解决斜线段长度的相关问题.

例2 （理科卷第5题）如图4，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点在A，B抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）.

分析：首先将△BCF与△ACF的面积之比转化为线段CB与CA长度之比，再通过辅助横线段BE，AD将线段CB与CA长度之比转化为EB，DA长度之比，即B，A的横坐标之比，然后利用抛物线定义将AF，BF长度通过辅助横线段转化为AG，BH的长度，即===.

三、辅助向量几何语言

向量是代数与几何的综合，将向量的符号语言转化为几何语言，则能利用图形直观解决向量问题.

理科卷第6题也可以借助几种特殊类型的Venn图来加以判断.

五、辅助基本几何体

将立体图形补形为基本几何体，则能辅助观察和平移.

理科卷第14题的条件和所求问题可以对应于单位圆盘内的点、线性规划问题.

七、辅助平面图形

立体几何问题的解决可以化归为平面图形来分析解决.

例8 （理科卷第17题）如图13，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°， AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.

（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.

分析：（Ⅰ）由A1在底面ABC的射影为BC的中点E，得A1D⊥A1E.要证A1D⊥平面A1BC，只要证明A1D与BC垂直，借助平行四边形得到只要证A1D⊥B1C1，再借助等腰△A1B1C1，即为中线A1D与底边B1C1的垂直.

（Ⅱ）二面角A1-BD-B1对应的两个平面分别为△A1BD与△B1BD，由于△A1B1C1是等腰直角三角形，故A1D=DB1，而A1D⊥A1E，故△A1BD≌△B1BD，从而直接可以用定义来作二面角的平面角，作A1F⊥BD，垂足为F，连结B1F，则∠A1FB1就是二面角的平面角，A1F（B1F）为△A1BD（△B1BD）斜边上的高，最后可解三角形A1B1F求解.

日常解题教学中我们应该注重图形的辅助，同时渗透等价转化和数学结合等数学思想.