一道数学阅读理解题的编制

卞少云

阅读理解型问题能较好地考查学生的自学能力、阅读理解能力、观察分析能力、实践能力、建模能力及数学归纳能力等. 它要求学生在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义或新方法”，做到“化生为熟”，现学现用，在一定程度上起到了促进教学方法和学习方式的转变，是学生“可持续发展”理念的具体体现，因而受到一线教师的广泛重视.编制出较好的阅读理解型问题是初中数学教师一项重要的研究课题.在此，笔者想结合一道阅读理解问题的编制过程谈谈实践中的一些认识与思考.

一、选材

已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.

（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时，BC的长；

（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明.

这时由作法可知BB′=20，所以B′C=10，∴l=10+10，因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10.

【评析】这道试题的考查亮点，在于将初中阶段的变量讨论的两种方法——“数”与“形”的方法有机地结合在了一起. 但本题的最后一问对学生的思维挑战较高，要求从利用函数模型解决变量的最值问题中，迅速转换到利用形的方法处理变量的最值问题中来.一方面，这种大跨度的思维切换，在短时间内是大多数学生所不能完成的；另一方面，距离最短问题的基本模型的运用相对来说学生不够熟悉，更何况在综合性问题中需要经历画图、理解、建模、再运用，这一长段的思维过程，需要的是对解题模型的清晰理解与认识，才能在探索中不偏离方向.这也是造成本题的得分率很低的一个根本原因，本题的考查功能不能很好地得到发挥.因此，笔者想以此为题材进行一次阅读理解问题的编制尝试.

二、编制

（一）初次编制，关注了方法，但学用脱节

试题呈现1：

阅读理解

初中数学研究的对象可分为“数”和“形”两部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系称之为数形结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：借助于“数”的精确性来阐明形的某些属性；借助“形”的几何直观性来阐明数之间的某种关系.

例题

解：如图2，作线段BC，分别构造直角边为1，x和（4-x），2的两个直角三角形，当它们的斜边在一条直线上时，两条斜边的和最小；作EG⊥AB于点G，在Rt△AGE中，由勾股定理得，AE2=AG2+EG2，即AE=5，所以，最小值为5.

如图3，在△ABC中， 高AD=3，BC=8，若D在边BC上运动，当BD等于多少时，△ABC的周长最小？最小周长是多少？请用上述方法解决该问题.

【同行的质疑】如果不读例题，都可以做出来，那要例题干什么？

【反思】本意是想将数形结合的方法结合起来，将一道“数”的问题用“形”的方法进行阐述解决.从而引导学生进行模仿运用，却没有想到由于只关注到题目的外部结构上的变化，虽然给出了例题指导，但例题的问题特征是一个“数”的问题，而要求应用的问题给出的是一个“形”上的问题，造成了例题的学习不能提供解决后续问题的帮助，形成了学与用的脱节.

（二）再次编制，关注了指导，但指向不明

试题呈现2：

阅读理解

在数学解题中，我们一方面常常以熟悉的问题解决方法作为原型，对新问题进行类比转化，另一方面结合重要的数学思想进行探索，从而可以获得解决问题的途径.

原型1 两点之间线段最短.

原型2 如图4，已知A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小.

我们只要作点B关于l的对称点B′（如图5），根据对称性可知，PB=PB′.因此，求AP+BP最小就相当于AP+PB′最小，显然当A，P，B′在一条直线上时AP+PB′最小，联结AB′，与直线l的交点就是所求的点P.

（1） 请用原型1方法求解.

（2） 请用原型2方法求解（提示，顶点A的路线是一条与BC平行的直线）.

【同行的质疑】原型方法的说明并不具体，方法运用的指向不明.

【反思】本意是想从解题的基本原理出发，给学生提供切实可以的解法参考，一是构造位于直线异侧的两点，形成原型1，从而解决问题；二是构造位于直线同侧的两点，形成原型2，即“将军饮马”问题，从而获得解题途径.但实际的情形却是，大篇幅的叙述，给出更多的是束缚，而不是启示——两个原型图，再加上一个例题示范图，学生不知道参考什么，也就不能在自身已有的知识水平上，通过阅读理解获得有效的方法指导，从而领会解题方法的实质.

（三）三次编制，关注了心理，终得以成慧

试题呈现3：

问题研究

小明同学在学习了利用函数模型解决变量最值问题后，研究了这样一道题：如图8，在四边形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=1，BC=2，DC=4，点P在边DC上运动，当DP等于多少时，AP+BP的值最小？是多少？

总结规律

小明在解题后进行了反思：当两个直角三角形的一组直角边为已知数，另一组直角边的和为定值，那么它们的斜边长之和的最短问题，都可以用这样的轴对称构图方法进行解决.

如图10，在△ABC中，若D在边BC上运动，AD⊥BC， AD=3，BC=8，当BD等于多少时，△ABC的周长最小？最小周长是多少？

【学生的解答】

解答1：如图11，将图10中的△ABD，△ADC重新摆放成示例中的位置形式，再进行转化.

解答2：如图12，学生想到点A的动路径是一条与BC平行的直线，于是直接构图解出.

【反思】“两个思考”，既阐明了“数”与“形”的内在联系，又为后续的两个问题指明了求解的方向和解答的示范；“总结规律”，是将问题中的关键性特征与图形摆放形式予以再次明晰和强调，引导学生进行关注；“类比尝试”，是给出一个较易模仿的表层问题，让学生在解题中加深对基本方法的认识和理解，为最后一问的探索做好相应的储备和助力；“深入应用”的环节，是本道题的难点所在，一方面，图形上与示例图差距较大，学生不能直接进行转化，另一方面，解法的运用可以留给学生更多可供发挥的空间，由于有了前面示例的对旧知的唤醒，有了从类比实践中获得的解题启示，让学生对本道题的操作得以从外而内，从领会到领悟的升华，进入“学而得智”，“思而达慧”的理想的解答状态.

三、结语

好的试题编制素材的发现与收集，需要在长期的教学研究过程中多留心，多思考，只有通过对原素材进行长期揣摩与推敲，设想多种可能的情形，并多次在实践中请教同行专家，倾听他们的宝贵意见，在“一句惊醒梦中人”后有所收获；而另一方面，通过观察学生的解答样本，与学生交流对话，从中分析学习者的心理困惑与感受，可以更真切地获得有效的改编路径.一如本案例中，通过观察与交流，笔者的关注点从定位于题，到定位于学，再到关注更为重要的初中生的学习心理.而正是抓住了对学习者内在的心理规律的分析，才使得“自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质”的阅读理解成为可能，才使得“阅读—分析—理解—创新应用”的解题过程更为顺畅，而当听到学生回答为什么能解答最后一问时的回答——“直觉”时，编题者终觉释然.