教给学生“讲理”的数学解题方法

王昀

解题教学要立足于培养学生的思维能力、发展学生的智力，是一线数学教师普遍认可的教学理念；通过各种不同形式的探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，进而提升学生的创新意识，是一线教师广泛采用的教学策略.然而，把理念和策略转化为具体的教学行为并非轻而易举，尽管相关的研究成果不断运用到实践中，但教师归纳题型加重复训练的教学模式并没有根本改变，记忆解题套路加题海战术依旧是学生提高成绩的主要途径.

解题教学课到底应当怎样上？最近，笔者就此进行了一次调研，调研期间听的一节课给笔者很大启示.这是一节高三导数内容的复习课，授课教师是天津市一所重点中学的特级教师，授课班级是该校基础较好的理科班.

一、激活思维

得到解法之后，教师和学生进行了短暂的交流，只有五个学生想到上面方法，而且都是浅尝辄止，用方程根的定义转化并消去a之后并没有继续下去，转而寻找其他方法.多数学生则认定只用方程根的定义很难证明结论，肯定要用到导数的知识才能解决，于是他们执着地寻找利用导数求解的方法.

无论从哪个角度看，例1都不能称为难题，但就是这样一道题却令几十位“高才生”折戟沉沙.这使笔者想到，一个高中生在长达三年的数学学习中，少则做数千道题，多则做上万道题，高考重点考查的内容还要反复练习，见过的题型、做过的题的难度、掌握的解题方法都远远超过了高考的要求，但在考场上面对二十道似曾相识的高考题时依然力不从心（个别难题除外）.这说明，记忆的题目、方法、套路再多，如果不会思考，也不过是僵化的知识而已，解题能力并没有真正形成.例1用到的基础知识、基本方法，学生早已烂熟于心.解题思路也极为平常，甚至是解题尝试中的首要选择，学生一旦“意识”到这种思路，解题便轻而易举，然而学生缺少的恰恰是这种“意识”.这种“意识”是数学能力的关键要素，这是因为教师引导下的顿悟和学生的自我发现有天壤之别.

简单的想法往往是学生思维的盲点，例1暴露了学生的思维缺陷，教师的解法如醍醐灌顶，激活了学生因忽视基本方法而沉睡的思维.

二、深化思维

读完例2，学生心领神会，例2和例1是相同类型的题目，毫无疑问可套用例1的方法求解.第（Ⅰ）问很快完成.f（x）有极小值，极小值为f（1）=0，f（x）无极大值.

但接下来出现了意外，套用例1的方法无法证明第（Ⅱ）问.由已知得[e][x1]-ex1=[e][x2]-ex2，从而[e][x1]-[e][x2]-e（x1-x2）=0，多数学生写到这一步后，由于[e][x1]-[e][x2]无法“分解”出x1-x2而陷入困境.好在有了例1的经历，部分学生很快醒悟：既然无法用例1的方法解决，那么就从本题的特点出发，寻找其他的途径，和例1类似，本题也一定有基本的方法（这是笔者课下和学生座谈时了解到的学生当时的解题心理.事实上，这是从套用解法到套用想法的一个转变，是思维深刻的一种表现），经过反复探索，有几位学生找到了如下证明思路：

这几位学生的想法是：既然直接从已知条件证明结论有困难，那就再从结论出发，寻找使结论成立的充分条件.观察发现[e][x1]-ex1=[e][x2]-ex2中的e与要证的结论x1+x2<2能够取得联系，于是想到把问题转化为证明[e][]

然而很多学生对解法产生了质疑，他们觉得解法具有一定的偶然性，有运气的成分，不等式[e][]<两边同除以[e][x2]之后，恰好能构造函数，如果无法构造函数又该怎么办？另外，x1+x2<2的等价形式[e][]

至此，两道例题的作用显现出来，例1让学生思维重心下移，回归到最普通的思路上，让学生明白数学的概念、基本思想方法既是解题的起点，又是最好的解题策略和解题“技巧”.例2和例1看似是同样的问题，但因函数不同，导致模仿例1的解法不能奏效，从而引发学生认知上的冲突，意识到在模仿解题方法的同时还要根据已知条件和结论的特征寻找解题突破口.例2没出现学生预期的成功，这使他们因思维惯性导致的思维表层化的印迹逐渐消失.两道例题是通过改变问题情境，引起学生的反思并进行更加深入的思考，如果学生能在新的情境中找到解决的方法，那么学生知识的迁移能力就会得到提高.

三、增进思维

二次函数f（x）=x2-2x+3的图象关于直线x=1对称，则有x1+x2=2，通过类比，猜想图象不具有对称性的函数f（x）=ex-ex，应有结论x1+x2<2，这是此结论得来的思考过程，也恰恰是解题者解题的切入点，由此展开的解题活动便成为一种有源泉、有活力的思维活动.教师对解法追根溯源的点拨，使抽象、缺少思考支撑点的问题，一下子变得形象、生动起来，学生从盲目尝试、漫无边际地联想状态，迅即转变为方向明确的有效思考中.更重要的是，解法得来的过程自然合理、触手可及，一下子拉近了解法和学生的距离，学生潜意识里会产生解法就在身边，数学解题并不困难的念头，感到数学是讲理的、简单的、有规律的，学习的热情也随之高涨.

有学生提出，例1也可用上述方法证明，只不过计算量要大一些.由此可见，解题方法本身没有优劣之分，关键是要根据具体问题选择合适的方法.

对两道例题的处理，教师不是以寻求解题方法为教学重点，而是以解题方法得来的过程为核心，在为什么要想到这种解法上做文章，传递给学生的是思维的方法，其间没有刻意渲染数形结合、等价转化和化归等数学思想方法的应用，而是让数学思想方法伴随着学生的思索自然而然地出现.

四、发展思维

证明思路：对例1证明过程中的[x1][2]+x1x2+[x2][2]-k=0，用不等式2x1x2<[x1][2]+[x2][2]转化即可.

结论2 直线y=kx与y=f（x）图象围成的两个封闭图形的面积相等.

画出图象，这个结论显而易见.

思考过程：函数f（x）=x3-kx是奇函数，图象关于原点对称，这样直线y=kx与y=f（x）图象围成的两个封闭图形也关于原点“对称”，因此它们的面积应相等.

证明思路：设直线y=kx与y=f（x）的图象交于点A（x1，f（x1）），B（-x1，f（-x1））（点A，B异于原点），根据定积分的几何意义可证.

结论3 曲线y=f（x）在原点处的切线“穿过”曲线.

思考过程：受结论1的启发，考虑曲线的切线.原点既在函数图象上，又是函数图象的对称中心，比较特殊，曲线在这一点处的切线会有什么特殊的性质呢？曲线在原点处的切线方程为y=-kx，通过观察图象，这条直线和曲线除原点外没有其他交点，所以它“穿过”曲线，即曲线在y轴左侧部分在切线下方，在y轴右侧部分在切线上方.

证明思路：构造函数h（x）=f（x）+kx，证明x>0时，h（x）>0；x<0时，h（x）<0.

引导学生发现问题，是培养学生探究能力和创新意识的一种手段，这种手段能否达到教师预期的目标，关键在于设置什么样的问题、学生最终能探究出什么样的结果.为了探究而探究是没有意义的，游离于教学内容的所谓“发现”是没有价值的.探究并非是孤立的一个环节，而是解题教学不可分割的一部分，很多数学题都需要解题者通过发现找到解法.只注重形式和结果而忽视推理论证的探究是低层次的，因为没有经过证明的“成果”不是真正意义上的发现，学生感受不到成功的喜悦，思维也不会得到真正的发展.

由于已经研究了f（x）=x3-kx的单调性和极值，学生对这个函数有一定的了解，以此为基础深入探究，便于学生发现规律；此函数外表朴实，但内涵丰富，有探究的空间；此函数具有的性质和本节课的内容紧密相关，刚刚学过的方法有用武之地.因此，这是一个较好的探究问题.从三个结论看，虽然比较简单、直观，但揭示了这个函数的本质特征，发现这些结论需要一定的观察、联想、类比的能力.这说明探究是有价值的思维活动.从探究的时机看，例2“讲理”的解法实际上就是一种思考问题的方式，进一步体验这种思考问题的方式，运用其发现问题正是发展学生思维的有利时机.

本节课的教学设计有三个突出的特点，一是函数解析式非常简练，已知条件较少，信息量小，学生在短时间内就能读懂题意，之后能迅速投入到寻求解题途径的思考中；二是两道例题要证明的结论具有较强的直观性，便于学生理解；三是例题间的设问具有递进关系，这种递进不是单纯的问题间的关联，而是思维由此及彼、由表及里的深入.这样的设计体现了授课教师“载体简单化，结论形象化，问题系统化”的例题教学理念，其中的“结论形象化”并非仅是图形直观的视觉感知，只要问题的提出自然合理，符合学生的认知基础和思维习惯，符合数学问题发生的规律，就是“形象化”的体现.

听完本节课，笔者有这样的感受，解题教学中，例题和练习题并非越多越好、越难越好，关键是题目能否启迪学生的思维；简单的题目同样可以培养学生的解题能力，甚至更有利于培养学生的解题能力，关键是教师要充分挖掘题目蕴含的数学规律和思想方法，对题目进行再创造；高三复习课不应只是重复巩固，不应只是增加题目难度，不应只是变化情境让学生熟练掌握各种解题方法，还要追寻数学问题提出的缘由，探寻“讲理”的解题方法，真正让学生感到数学可亲、可近，在探究中学会思考.endprint