数学课堂教学的“赋”“比”“兴”

朱恒元

赋、比、兴是诗经的三种主要表现手法.赋就是平铺直叙，把思想感情及其有关的事物直接表达出来；比就是打比方，以彼物喻此物，使之更加生动具体、鲜明浅近，便于人们联想；兴就是先言他物，以引起所咏之词，由托物起兴引出所要表达的事物、思想、感情，激发联想，增强意蕴，产生形象鲜明、情意盎然的艺术效果.人云“文理相通”， 教学实践表明，自觉借鉴和运用“赋”“比”“兴”手法，就能增强和提高数学课堂教学的有效性.笔者曾在一次数学教研活动中上过一堂“椭圆及其标准方程”公开课，试想从这节课的教学展开去，浅谈这方面的实践和认识.

一、实录教学片段

教学片段1

师：请思考回答，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？

生：圆.

师：取一条一定长的细绳，把两端固定在同一点，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在黑板上慢慢移动，就可以画一个圆.请同学们求出这个圆的方程.

生：x2+y2=r2.

师：皮之不存，毛将焉附？首先，我们应设细绳的长度，在这里设2a还是a好？其次，还应建立适当的直角坐标系，如何去建立？

生：2a好.

请一位同学来做后一项工作，并写出圆的方程：x2+y2=a2.

师：很好！刚才这位同学合理地运用了建系的两项原则：1.使两坐标轴尽量经过定点；2.充分利用图形的对称性.

教学片段2

师：大家还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆吗？

请学生们回忆教科书中例题、习题、复习题中有关圆的轨迹命题.

生：到两定点距离平方和等于常数的点的轨迹是圆；到两定点距离之比为常数（不等于1）的点的轨迹是圆等.

师：我们已经知道“到两点距离平方和为常数”或“到两定点距离之比为常数”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题进行广泛的探索？类比、联想、直觉是发现问题、提出问题的三大法宝.请同学们尝试加以运用.

讨论片刻，学生会纷纷提出：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”

“到定点与定直线距离相等的点的轨迹.”

……

师：请同学在课外运用坐标法探求它们的方程，运用列表描点，绘出大致图形.刚才有同学提出“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是什么”，这里当然要加上“平面内”这个前提.本节课我们就专门对这个问题作些探讨.

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点，当细绳大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就画出一个椭圆.

教学片段3

师：椭圆在哪些地方见过？

生：汽车油罐横截面的轮廓；天体行星的运行轨迹；立体几何中水平放置的圆的直观图……

师：当细绳长度不变时，逐渐增大F1F2，你会发现图形如何变化？

生：椭圆越来越扁，最后几乎变成一条线段.

师：当绳长小于F1F2时呢？

生：轨迹不存在.

此时，教师及时引导学生概括椭圆定义，并经过修改、补充，得出椭圆的确切概念.

生：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫作椭圆.

师：这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作焦距.

教学片段4

师：由椭圆定义（文字语言）可以发现椭圆的基本几何特征——具有对称性（图形语言），为研究椭圆的其他性质，需要利用坐标法建立椭圆的方程（符号语言）.

师：如何建立适当的直角坐标系？

生：提出两种方案（见图1、图2）.

让学生比较、选择，因为椭圆具有对称美，所以直角坐标系建立也应该具有对称美，无疑选择方案2好.

师：那对“F1F2”、“距离和这个常数”如何设值呢？

师：方程③显然比方程①简单.因为椭圆具有对称美，所以我们同样渴望方程也具有对称美！怎么办？

生：注意到a>c，可设b2=a2-c2，于是方程③又化为+=1.

师：大功告成.请同学们回顾一下，当初若把焦距及动点到两焦点的距离之和分别为a和c，会得到美丽的方程③吗？对美的追求必会获得美的果实.现在引入b，就是对美的追求！接下来，我们还将看到这种追求得到了美的回报——椭圆的几何性质会鲜明而简洁地呈现在我们的面前！

师：那么，椭圆的焦点在y轴上，即焦点为F1（0，-c），F2（0，c）时，如图3，椭圆的方程又应该怎样？凭你的经验和直觉猜猜看.

生：+=1.（a>b>0）

师：为什么？endprint