几何概型教学中不得不说的三个问题

孙福明

几何概型是普通高中数学课程标准实验教科书必修3第三章第三小节内容，是新课程新增加的内容之一． 课程标准将其定位为信息化的现代社会“统计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识”，在要求上“初步体会几何概型的意义，会进行简单的几何概率计算”． 教学上的基本要求并不意味着把课堂教学简单化、机械化． 但在实际教学工作中，确实存在由于教师重视不够、研究不深引发的肤浅、粗糙的现象．本文围绕几何概型教学的三个主要问题谈谈个人的认识．

一、 几何概型计算公式的合理性

古典概型的计算是在大量随机试验的基础上，通过统计，借助于频率的稳定值来替代概率的，因为试验次数是正整数，基本事件是有限的，所以古典概型处理的离散问题，可以进行直接计算．几何概型研究的随机试验尽管仍然是等可能的，但基本事件有无限个，无法统计试验的基本事件的次数，因此几何概型的计算就面临着如何进行合理的替代计算的问题． 教材（普通高中课程标准实验教科书 数学必修3）通过若干类型的例题引进相应测度求几何概型，并给出了计算公式，但没有说明这种替代计算的合理性．这就需要教师深入地细化教材，理清两个对象之间的逻辑联系，提升学生的理性思维能力．

下面以教材中的两个引入情境来说明这种合理性． 教材的两个引入情境：

（1） 取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

（2） 射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”． 奥运会射箭比赛箭靶的靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm． 运动员在70m外射箭． 假设射箭都能中靶，且射中靶面上任一點都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

教师首先要引导学生用点来代替基本事件，每个基本事件对应于在某个具体的可以度量的几何图形中随机地取一点． 问题（1）中，无法计算剪刀剪的次数，但可以建立“每剪绳子一次与线段上一点”的对应，在此基础上建立“无数次的随机剪与线段上所有点”的对应，此处还要特别强调由于剪的随机性，得到所有的点是布满这条线段的，或者说这些点在线段上是连续分布的． 最后建立“剪的数量与线段长度”的对应关系． 通过这样的“数（次数）与形（点）与数（长度）” 转换过程，解决无限性无法计算的问题． 借助于这样的“数（次数）与形（点）与数（长度）”转换，类似的处理问题（2），在“射中靶面与圆面上一点”的对应基础上，顺次建立“无数次射中靶面与圆面上所有的点”的对应、“射中次数与圆面面积”的对应．

其次，教师要让学生感受并接受、理解上述的对应是内在的、逻辑的，因此用相对应的几何图形的测度（长度、面积、体积等）来描述基本事件的总数和某个事件中包含的基本事件数量是合情又合理的，最终建立的度量公式是自然的，合理的．

只有让学生的思维经历“直观感知、抽象概括、反思与构建”的过程，让学生有机会对客观事物中蕴涵的数学模式进行理性思维，才能真正提高学生的思维能力．

二、 怎样理解几何概型才是真正把握了概念的本质？

众所周知，数学概念是数学大厦的基石，让学生准确理解概念是教学的重中之重． 只有准确地理解了概念，才能准确地表述概念和准确地运用概念． 几何概型概念的定义，不属于数学概念中的严格定义性，它是一种归纳性地描述定义． 它是对一类可以借助几何图形的测度进行计算的概型的归纳．

1． 几何概型的特征是等可能性和无限性吗？

从教材内容安排的顺序看，几何概型在古典概型之后，这就使得很多教师把两种概型当做了互为矛盾的关系，从基本事件是否有限的维度分类为“有限”“无限”，作为两种概型的特点．其实这种说法是不正确的，因为所谓特点（特征）的说法，指的应该是几何概型所特有的性质，是这一概型区别于其他概型的关键，根据这个特点（特征）就可以判断为几何概型． 很容易举一个类似的反例，在全体实数中取一个数，求取到有理数的概率．这个试验中的基本事件是等可能的，有无数个，满足几何概型的两个特点，但是能用几何概型解决吗？答案显然是不可能的． 所以不能把等可能性与无限性作为几何概型的特征，在教学中防止把两种概型作为矛盾对立面的行为．

那么究竟什么是几何概型的特征呢？上面分析的基本事件的等可能性和无限性仅仅是构成几何概型的必要条件，本人认为几何概型的特征是可以建立随机试验与某个可度量的几何图形之间的对应关系，且这种对应是符合逻辑的，不是牵强附会的．

2． 几何概型的概念重在建模

几何概型概念的理解，重在对试验的正确建模． 建模分三个层面，第一个层面是随机试验的对象与某个可度量的几何图形之间具有合理的对应关系，即首先要确定D． 这个可度量的区域D既可能是问题中直接提供的图形，也可能是需要学生转化后对应的图形，如问题（1）中的线段． 第二个层面对基本事件的建模，教材上的表述是“每个基本事件可视为从区域D中随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样”，也有老师说成“把基本事件理解为一个点”． 其实“可视为”的数学本质是对应，是建立一个实际问题与数学模型之间的合理对应关系，因此“每个基本事件对应于区域D中随机地取一点”的说法更具有数学味． 不同的说法既可能是概念多样性的不同表述，但也有可能对概念的本质理解产生偏差．教师在试图用自己的语言对概念解读时，要再三斟酌，不能为了过分的“通俗”而对概念产生误解． 第三个层面是对某个随机事件A的建模，随机事件A的发生对应着在区域D内恰好取到某个指定的区域d，区域d的确定一般从试题的问题中去建立相对应的模型．

三、 概念的运用就是单纯地运用计算公式解题吗？

在运用概念解题时，教师一定要引导学生学会用概念引导解题的思维方法，即从概念的判断开始，围绕概念的要素分析题意，最后回到概念，加深和丰富概念的内涵和外延． 从表面上看，本节是在运用几何概型的计算公式解题，其实不然，公式的应用不能仅仅停留在代替数字计算的技能层面上，重点是要寻找实际问题中的数学模型，即能否建构随机试验与某个几何图形之间的对应，着力点在利用公式之前．本节课例题都是从实际问题中建立数学模型，教师要反复引导学生仔细读题，形成从三个层面分析问题的思维模式，这三个层面依次是：（1）随机实验的结果是否具有等可能性；（2）随机事件的几何模型是什么，即区域D与d的形状；（3）区域D与d的测度．其中第二点是最关键的，需要指导学生抓准题意的关键词，即“题眼”． 教材例题3与习题3．3第6题，两题背景相似，但研究对象不同，前者为“点”，后者为“射线”，度量的测度随之而变，分别是“长度”、“角度”，所以结果不同．

教材例题2的处理是一个难点． 例2是这样的：在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？

常见的错误建模是，很多教师在教学时为了形象生动起见，常常画出一大一小两个容器，说基本事件是在大容器内取一点，关注的事件是点落在小容器内． 按照这些教师的说法，如果假设基本事件是在大容器内取一点的话，那么它跟小容器内的点有什么关系呢？也就是如果把小容器看做事件A的话，根据这些教师的解释，事件A中就不包含基本事件了，这显然是违背逻辑的！究其原因，在于这些教师没有准确理解这里面蕴涵的几何概型，建模产生了偏差． 数学概念的教学，不能仅仅为了追求直观而忽视对概念本质的理解，不反对教师用自己的个体感受的语言阐述概念，但千万不能违背概念的本质．

本题正确的建模应该是，第一步将种子抽象成点，那么1L 小麦种子就抽象成一个容积为1L 的几何体，即为区域D． 10 mL小麦种子就抽象成容积为10 ml的几何体，即为区域d． 而麦锈病种子这一个点在几何体中任一处出现的机会是随机的、均等的，因此下结论判断这个概型是几何概型问题．

第二步分析随机事件A，在取出来之前，这10mL几何体处于1L几何体里面，形状和位置是特定的，由于基本事件对应为在1L几何体内随机地取一点，从而关注的事件A对应为取出的一点恰好落在10mL的几何体内．

第三步，利用几何概型的计算公式计算．因为几何图形是空间图形，其对应的测度是体积，所以用区域d和区域D的体积之比作为所求概型的概率．

本文所提出的三个问题恰好是教授几何概型这一节时需要把握的三个主要环节，也是笔者在多年教学调研中发现很多教师由于没有深入钻研而暴露出来的三个主要问题． 通过上述三个问题的探讨，笔者深深感到教材分析作为我国基础教育的特色，在新课程背景下没有得到加强，相反的，却弱化了． 本文的目的既是研究几何概型的教学，也是希望提供教材分析的一个点状的案例，以此希望有更多的教师重视对教材的研究，不断丰富个人的学科知识，以此应对新课程深度推进的需要．