数形结合，促进学生深度学习

柯美琴

所谓数形结合，指的是把抽象的数量关系、数学语言和具体的位置关系、数学图形等结合起来。因此，在教学中，我们可以借助数形结合，使复杂问题简单化、抽象问题形象化，让数学学习可视化，促进学生深度学习，从而提升学生的数学核心素养。

一、借助数形结合，让数学概念可视化

数学概念是抽象、复杂的，它是人们对数学生活的反映形式和数量关系的一种表现形式，对很多学生来说都是不容易理解的。因此，在教学中，我们可以借助数形结合，把繁杂的数学概念进行可视化，让学生迅速理解数学概念的本质属性。

以人教版五年级下册《分数的意义》一课为例。学生对“一个物体或是一个计量单位可以看作一个整体”这一内涵容易理解，也容易理解“这样的一份或几份都可以用分数来表示”，而对“分数单位”的理解却有一定的难度。因此，笔者借助课件的动态演示设计了四张图片（把12粒糖果平均分成两堆；把12粒糖果平均分成三堆；把12粒糖果平均分成四堆；把12粒糖果平均分成六堆），让学生说说每张图片中的分数单位分别是多少。

教学中，笔者通过课件把12粒糖果平均分成2份，学生很容易说出每份是这堆糖果的二分之一。于是，笔者再次借助课件动态演示，把12粒糖果平均分成3份，學生也很容易说出每份是这堆糖果的三分之一。接着，笔者继续借助课件动态演示，把12粒糖果平均分成4份，学生也很容易说出每份是这堆糖果的四分之一。最后，笔者再次借助课件动态演示，把12粒糖果平均分成6份，学生就能在之前交流的基础上很容易说出每份是这堆糖果的六分之一。在此基础上，笔者适时追问学生：什么是分数单位？然后师生一起探讨交流，从而顺势提炼出这样的结论：把单位“1”平均分成若干份取其中一份的数，这样的数就叫分数单位。这样，借助数形结合，突破了教学的难点——什么是分数单位，从而让分数的概念建构更加完整、更加深刻。

二、借助数形结合，让数学算理可视化

计算数学的核心是让学生理解数学算理，而数学算理看似简单，实则具有一定的抽象性。因此，在教学中，我们可以借助数形结合，让抽象的数学算理可视化，让学生轻松理解，从而大大提高学习效率。

如教学人教版三年级下册《长方形、正方形面积的计算》一课时，笔者设计了两张图片（一个长6厘米、宽4厘米的长方形；一个长和宽都是5厘米的正方形），然后让学生比较这两个图形的大小。交流时，学生答案不一，于是，笔者借助图片的动态演示，帮助学生理解计算长方形、正方形面积的算理，从而顺势比较出两个图形的大小。

教学中，笔者以长方形为载体，每行先摆出6个1平方厘米的正方形，再连续摆出4行，这样就可以求出长方形的面积是6×4等于24平方厘米。这个动态演示其实就是从乘法意义的角度引导学生进行思考，学生理解起来就变得更加容易了，也让学生知道长方形的面积可以用“长×宽”，也就是把两个数乘起来，让学生初步形成长方形面积计算的模型。接着，笔者以正方形为载体，再次借助动态演示，每行先摆出5个1平方厘米的正方形，再连续摆出5行，这样就可以求出正方形的面积是“5×5等于25平方厘米”。这时，笔者启发学生思考：正方形是长和宽相等的长方形，所以……学生很快从中得出正方形的面积可以用“边长×边长”来计算，也就是把两个数乘起来，让学生初步形成正方形面积计算的模型。在此基础上，笔者再让学生比较两个图形的大小，学生自然而然就能算出正方形的面积比长方形的面积大。

三、借助数形结合，让数学规律可视化

数学规律是一种比较抽象的数学现象，它是人们在日常生活中通过细心观察和认真思考而提炼出来的。因此，在教学中，我们可以借助数形结合，让抽象的数学规律可视化，让学生深刻理解数学规律的表象，直至真正理解数学规律的内涵，从而让学生快速掌握数学规律。

如教学人教版六年级上册《圆的认识》一课时，“同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等”这一规律怎样才能让学生彻底信服呢？如果只是凭借几个例子，学生是很难彻底相信的。为此，笔者设计了这样的练习：“你能在一个圆中画出多少条半径、多少条直径？它们之间有什么关系呢？”

在学生练习和思考后，笔者让学生回答自己从练习中得到的发现，学生的答案五花八门。于是，笔者借助课件出示一个圆，并通过圆心画出一条半径；接着通过复制功能在圆内复制半径，直到把整个圆全覆盖住；然后引导学生仔细观察，便会发现圆的半径有无数条，而且这些半径都是相等的。随后，笔者又出示了另一个圆，运用相同的方法在圆中画出无数条直径，再引导学生通过观察，让他们发现圆的直径也有无数条，而且这些直径也都是相等的。在此基础上，学生就会明白在圆内可以画出无数条像长度相等的半径和直径，这样，“同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等”这一规律的提炼也就瓜熟蒂落了。

四、借助数形结合，让解题思路可视化

清晰的数学解题思路，可以达到“以一带十”的教学目的。然而，学生的生活经验不足，解题思路有限，很难用简单的语言将解题思路讲清楚。因此，在教学中，我们可以借助数形结合，把解题思路转化成流程图，让学生清晰地理解解题思路，从而提高解题的准确率。

如教学人教版三年级上册《分数的初步认识：几分之几》一课时，学生受到生活经验的影响，很难理解部分是整体的几分之几，也不知如何比较它们的大小。怎么办呢？笔者利用画思维导图的方法，获得了比较好的效果。

教学中，笔者利用课件出示一张纸，并把这张纸用虚线平均分成五部分，让学生说出每一部分占这张纸的几分之一，学生很快说出了答案，即五分之一；接着把其中的两部分涂上蓝色，再让学生说说涂上蓝色部分占这张纸的几分之几，当学生说出是五分之二时，笔者让学生说说自己的思路，他们便结合图示认为每一部分都是整张纸的五分之一，而涂蓝色的部分有2份，也就是有2个的五分之一。接着，笔者又把剩下的三部分涂上红色，让学生说说红色的部分占整张纸的几分之几。当学生说出是五分之三时，笔者又让学生说说自己的思路，他们同样结合图示认为每一部分都是整张纸的五分之一，而涂红色的部分有2份，也就是有3个的五分之一。最后，笔者让学生比较一下涂红色部色大还是涂蓝色部分大，学生通过比较后，发现红色部分有3份，而蓝色部分只有2份，都认为红色部分比蓝色部分大。在此基础上，学生自然就理解了什么是“几分之几”，从而实现了“一例带一串”的教学目的。40066ECC-1545-4DF2-A5F2-726CCC87DB7E

五、借助数形结合，让学习过程可视化

学生生活经验不足，再加上数学知识比较抽象，很难理解数学知识产生的过程。因此，在教学中，我们可以借助数形结合，通过直观的课件演示，让学生经历学习数学知识的过程，把难以用语言表达的知识用图形表现出来，从而清晰掌握数学知识的本质。

如教学人教版四年级上册《数学广角——优化》一课时，教学的重点是让学生经历合理安排时间的优化过程，明白怎样优化时间。因此，笔者让学生在小组讨论的基础上，利用课件演示的方法要求学生画出烧水沏茶示意图，从而突破了重点。

首先，笔者利用课件出示烧水沏茶的几件事：烧水6分钟、洗茶杯2分钟、接水1分钟、洗水壶1分钟、找茶叶1分钟、沏茶1分钟。接着让学生小组讨论完成烧水沏茶这件事一共需要多长时间，汇报交流时，有的学生认为需要12分钟。笔者追问后才得知，这个学生是把课件上的每件事所需要的时间都加起来了。于是，笔者继续引导学生：怎样才能尽快让客人喝上茶呢？于是，学生结合课件深入思考：要烧水，必须先洗水壶、接水，这个过程需要2分钟。接着，笔者又让学生思考：等待水开的时间可以做点什么呢？学生再次思考后，发现可以洗茶杯、找茶叶。最后笔者让学生用示意图来表示烧水沏茶这件事，学生思考后画出了这样的示意图：洗水壶+接水+烧水+沏茶（1+1+6+1），这个过程只需要9分钟。可以说，通过模拟操作到画示意图就是一个思维提升的过程，当学生借助操作经验画出烧水沏茶示意图后，学生对合理优化时间的方法就可以真正得到领会。

六、借助数形结合，让教学策略可视化

数学策略，往往对学生来说都是比较难以理解的，它是数学思想方法的具体运用，也是解决数学问题的主要手段。因此，在教学中，我们可以借助数形结合，让学生体验到使用数学策略所带来的好处，从而更好地掌握难以用言语表达的数学教学策略。

如教学人教版五年級下册《2、5、3的倍数的特征》一课时，如果只是简单地讲授，课后仍然还有很多学生弄不清2、5、3的倍数的特征是什么。因此，笔者借助课件设计了一张1—100的表格图，让学生在不知不觉中理解了2、5、3的倍数的特征。

首先，笔者让学生从表格中圈出是5的倍数的相关数字，并让学生说说从中发现了什么。学生比较找到的数字后发现个位上是0或5的数都是5的倍数。然后，笔者让学生从表格中圈出是2的倍数的相关数字，并让学生说说从中发现了什么。学生比较找到的数字后发现个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。接着，笔者让学生从表格中圈出是3的倍数的相关数字，并让学生说说从中又发现了什么。学生再次比较找到的数字后发现任何一个是3的倍数的数字个位上的数和十位上数字的和都是3的倍数。最后，笔者利用课件随机出示几个数字，让学生直接判断出这些数是不是2、5、3的倍数，学生很快就能根据它们的倍数的特征马上做出判断。可以说，这样的教学策略，既让学生了解了2、5、3的倍数的特征，又让他们体验到运用策略学习的优势和价值，从而提升学生解决实际问题的能力。

总之，数学可视化通过语言表达、动手操作、形象表述等，让抽象的数学思考、数学道理和数学思维显性化，从而积累丰富的活动经验，形成数学学科的关键能力。

【本文系2019年度福建省基础教育课程教学研究立项课题《基于核心素养的小学数学“主题情境图”有效运用的策略研究》课题编号：MJYKT2019—225）研究成果之一】40066ECC-1545-4DF2-A5F2-726CCC87DB7E