用“圆与直线的位置关系”解题

刘占溪

学习了“圆与直线的位置关系”后，我们发现有一类过去棘手的数学问题，可以转化为直角坐标系xOy下的圆M：（x-a）2+（y-b）2=r2与直线l：Ax+By+C=0，再利用它们的位置关系求解，便会变得直观而简捷.举例如下：

一、方程问题

例1（2013年湖北省高考题）设实数x，y，z∈R，满足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

分析将问题视为在直角坐标系xOy下：

圆M：x2+y2=1-z2与直线l：x+2y+（3z-14）=0有交点时，求z的值.

解由圆心O到直线l的距离不大于圆的半径，有|3z-14|5≤1-z2，即（14z-3）2≤0得z=31414；于是得x=1414，y=21414；所以x+y+z=3147.

二、平面几何问题

例2（第三届世界数学锦标赛）某直角三角形中，斜边长为4x-2，一条直角边长为415-3x，求另一条直角边长的范围.

分析设另一条直角边长为r（r>0），依勾股定理，只需求r2=x-2-15-3x中r的范围.

令x-2=Y5-x=X，则问题转化为：

在直角坐标系XOY下圆弧M：X2+Y2=3（Y>3X>0）与直线l：Y=3X+r2有交点时，

求r的范围.

图1

解如图1，显然直线l只有从直线Y=3X起向上平移至点B（0，3）之间时才与圆弧M有交点，所以得：0

三、解析几何问题

椭圆与圆是一对孪生兄妹，它们存在着很多相似的性质，而且可以相互转化！

图2

例3（2013年湖南4市高考模拟题）如图2，已知椭圆C：x25+y23=m22（m>0），经过C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆于N，当ON=OA+OB时，求k的值.

分析参考答案，运用大量繁杂的运算，得到了关于k的四次方程，再求解，思路迂回，难于把握.

学习了“圆与直线的位置关系”后，我们发现有一类过去棘手的数学问题，可以转化为直角坐标系xOy下的圆M：（x-a）2+（y-b）2=r2与直线l：Ax+By+C=0，再利用它们的位置关系求解，便会变得直观而简捷.举例如下：

一、方程问题

例1（2013年湖北省高考题）设实数x，y，z∈R，满足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

分析将问题视为在直角坐标系xOy下：

圆M：x2+y2=1-z2与直线l：x+2y+（3z-14）=0有交点时，求z的值.

解由圆心O到直线l的距离不大于圆的半径，有|3z-14|5≤1-z2，即（14z-3）2≤0得z=31414；于是得x=1414，y=21414；所以x+y+z=3147.

二、平面几何问题

例2（第三届世界数学锦标赛）某直角三角形中，斜边长为4x-2，一条直角边长为415-3x，求另一条直角边长的范围.

分析设另一条直角边长为r（r>0），依勾股定理，只需求r2=x-2-15-3x中r的范围.

令x-2=Y5-x=X，则问题转化为：

在直角坐标系XOY下圆弧M：X2+Y2=3（Y>3X>0）与直线l：Y=3X+r2有交点时，

求r的范围.

图1

解如图1，显然直线l只有从直线Y=3X起向上平移至点B（0，3）之间时才与圆弧M有交点，所以得：0

三、解析几何问题

椭圆与圆是一对孪生兄妹，它们存在着很多相似的性质，而且可以相互转化！

图2

例3（2013年湖南4市高考模拟题）如图2，已知椭圆C：x25+y23=m22（m>0），经过C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆于N，当ON=OA+OB时，求k的值.

分析参考答案，运用大量繁杂的运算，得到了关于k的四次方程，再求解，思路迂回，难于把握.

学习了“圆与直线的位置关系”后，我们发现有一类过去棘手的数学问题，可以转化为直角坐标系xOy下的圆M：（x-a）2+（y-b）2=r2与直线l：Ax+By+C=0，再利用它们的位置关系求解，便会变得直观而简捷.举例如下：

一、方程问题

例1（2013年湖北省高考题）设实数x，y，z∈R，满足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

分析将问题视为在直角坐标系xOy下：

圆M：x2+y2=1-z2与直线l：x+2y+（3z-14）=0有交点时，求z的值.

解由圆心O到直线l的距离不大于圆的半径，有|3z-14|5≤1-z2，即（14z-3）2≤0得z=31414；于是得x=1414，y=21414；所以x+y+z=3147.

二、平面几何问题

例2（第三届世界数学锦标赛）某直角三角形中，斜边长为4x-2，一条直角边长为415-3x，求另一条直角边长的范围.

分析设另一条直角边长为r（r>0），依勾股定理，只需求r2=x-2-15-3x中r的范围.

令x-2=Y5-x=X，则问题转化为：

在直角坐标系XOY下圆弧M：X2+Y2=3（Y>3X>0）与直线l：Y=3X+r2有交点时，

求r的范围.

图1

解如图1，显然直线l只有从直线Y=3X起向上平移至点B（0，3）之间时才与圆弧M有交点，所以得：0

三、解析几何问题

椭圆与圆是一对孪生兄妹，它们存在着很多相似的性质，而且可以相互转化！

图2

例3（2013年湖南4市高考模拟题）如图2，已知椭圆C：x25+y23=m22（m>0），经过C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆于N，当ON=OA+OB时，求k的值.

分析参考答案，运用大量繁杂的运算，得到了关于k的四次方程，再求解，思路迂回，难于把握.