圆锥曲线常见错误归类剖析

方晓玲

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考重点考察内容.在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易混淆或用错，本文将一些常见的错误分类展示出来，期望能增强同学们防错的“免疫力”.

一、套用定义，产生错解

在历年高考试题中，圆锥曲线的概念是一个必考点.圆锥曲线的定义、焦点坐标等，这些是要牢记的知识点，不能混淆.

例1已知双曲线x216-y29=1上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到点（-5，0）的距离是.

错解设双曲线的两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5，0），由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=8，所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.故点P到点（-5，0）的距离为16.5或0.5.

剖析由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1，所以|PF1|=0.5不合题意.事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线的定义，分析出点P的存在情况，然后再求解.本题中，因左支上的点到右焦点的最短距离为9>8.5，故点P只能在右支上，故|PF1|=16.5.

二、 忽视范围，造成误解

在解关于圆锥曲线的综合题时，要考虑圆锥曲线本身的范围，而在进行纯代数运算时常常会忽略它.

例2已知实数x，y满足x24+y2=1，试求z=（x-1）2+y2的最值.

错解由x24+y2=1，得y2=1-x24，则有z=（x-1）2+y2=34（x-43）2+23≥23，

所以z的最小值为23，不存在最大值.

剖析圆锥曲线中的横纵坐标存在其本身固有的范围，求有关最值时若忽视了这一点，就会出现上述解法中的错误，事实上，本题中还应考虑到-2≤x≤2，于是可得z的最大值与最小值分别为9与23.

三、盲目互换，形成疵解

在求圆锥曲线方程时，要注意焦点在x轴还是y轴.

例3若双曲线的渐近线方程为y=±

12x，焦距为10，则此双曲线的方程为

.

错解若双曲线的焦点在x轴上，可设其标准方程为x2a2-y2b2=1，由a2+b2=（102）2及ba=12可解得a2=20，b2=5，所以此时双曲线方程为x220-y25=1；若双曲线的焦点在y轴上，由a2+b2=（102）2及ab=12可解得a2=5，b2=20，得双曲线的方程为：x25-y220=1.故所求双曲线方程为x220-y25=1或x25-y220=1.

剖析若双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程变为y=±abx（不是y=±bax），故应为ab=12，此时双曲线标准方程为y2a2-x2b2=1，结合a2+b2=（102）2可解得a2=5，b2=20，从而双曲线方程为y25-x220=1，故正确答案应为x220-y25=1或y25-x220=1.

其实这两解互为共轭双曲线方程.错解的原因就是不针对具体情况进行认真考虑，而只是盲目地简单互换.

四、考虑不周，导致漏解

在将方程变形时应注意范围的变化，这样才不会出错.

例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴

在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，32）到这个椭圆上点的最远距离是7，求这个椭圆的方程.

错解依题意可设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34， ∴b2a2=14，即a=2b.

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3

当y=-12时，d2有最大值，从而d也有最大值，∴4b2+3=（7）2.解得a2=4，b2=1.

于是，所求椭圆的方程为x24+y2=1.

剖析尽管上面的解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的，结果正确只是碰巧而已，当y=-12时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y的取值范围.事实上，由于点（x，y）在椭圆上，∴-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值时，应分类讨论如下：

若-12<-b<0，即0

当y=-b时，d2取最大值，此时的d是点P（0，32）与椭圆和y轴负半轴交点的距离，由d2=|32+b|=7，得b=-32±7，这与0

若-b≤-12，即b≥12时，当y=-12时，d2取最大值. ∴由4b2+3=7得b2=1，a2=4.于是，所求椭圆的方程为x24+y2=1.

综上两种情况，所求椭圆的方程为：x24+y2=1.

五、忽视隐含，引起增解

在解关于圆锥曲线的综合题或运用圆锥曲线性质时，要注意一些隐藏条件，避免出现增解.

例5 （人教A版（选修2-1）第62页B组第4题）已知双曲线x2-y22=1，过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且点A是线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

错解一假设存在直线l，设其方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）x2-y22=1整理得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由x1+x2=2k（k-1）k2-2得：k（k-1）k2-2=1，可得k=2.

故直线l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

错解二假设满足题设的直线l存在，并设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

则x21-y212=1x22-y222=1两式相减得：（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

∵x1+x22=1，y1+y22=1，∴kl=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2.

于是直线l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析以上两种解法出错的原因都在于忽视了隐含条件“直线l与双曲线有两个交点”，故应该还有限制条件： Δ=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0

得k<32，显然符合题设的直线l不存在.

追本溯源关于中点问题一般可以采用两种方法解决：（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；（2）利用“点差法”求出与中点、斜率有关的式子，进而求解.不管应用何种方法都必须注意判别式Δ的限制.因为对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出直线的斜率k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点.

跟踪练习

1.在△ABC中，BC=4，2sinC=sinA+2sinB，求顶点A的轨迹方程.

正解以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.

∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0），由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得：2|AB|=|BC|+2|AC|，即|AB|-|AC|=12|BC|=2<4，即点A到点B的距离与点A到点C的距离之差是常数2. 由双曲线定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支（除顶点），其

中2a=2，∴a=1，

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考重点考察内容.在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易混淆或用错，本文将一些常见的错误分类展示出来，期望能增强同学们防错的“免疫力”.

一、套用定义，产生错解

在历年高考试题中，圆锥曲线的概念是一个必考点.圆锥曲线的定义、焦点坐标等，这些是要牢记的知识点，不能混淆.

例1已知双曲线x216-y29=1上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到点（-5，0）的距离是.

错解设双曲线的两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5，0），由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=8，所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.故点P到点（-5，0）的距离为16.5或0.5.

剖析由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1，所以|PF1|=0.5不合题意.事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线的定义，分析出点P的存在情况，然后再求解.本题中，因左支上的点到右焦点的最短距离为9>8.5，故点P只能在右支上，故|PF1|=16.5.

二、 忽视范围，造成误解

在解关于圆锥曲线的综合题时，要考虑圆锥曲线本身的范围，而在进行纯代数运算时常常会忽略它.

例2已知实数x，y满足x24+y2=1，试求z=（x-1）2+y2的最值.

错解由x24+y2=1，得y2=1-x24，则有z=（x-1）2+y2=34（x-43）2+23≥23，

所以z的最小值为23，不存在最大值.

剖析圆锥曲线中的横纵坐标存在其本身固有的范围，求有关最值时若忽视了这一点，就会出现上述解法中的错误，事实上，本题中还应考虑到-2≤x≤2，于是可得z的最大值与最小值分别为9与23.

三、盲目互换，形成疵解

在求圆锥曲线方程时，要注意焦点在x轴还是y轴.

例3若双曲线的渐近线方程为y=±

12x，焦距为10，则此双曲线的方程为

.

错解若双曲线的焦点在x轴上，可设其标准方程为x2a2-y2b2=1，由a2+b2=（102）2及ba=12可解得a2=20，b2=5，所以此时双曲线方程为x220-y25=1；若双曲线的焦点在y轴上，由a2+b2=（102）2及ab=12可解得a2=5，b2=20，得双曲线的方程为：x25-y220=1.故所求双曲线方程为x220-y25=1或x25-y220=1.

剖析若双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程变为y=±abx（不是y=±bax），故应为ab=12，此时双曲线标准方程为y2a2-x2b2=1，结合a2+b2=（102）2可解得a2=5，b2=20，从而双曲线方程为y25-x220=1，故正确答案应为x220-y25=1或y25-x220=1.

其实这两解互为共轭双曲线方程.错解的原因就是不针对具体情况进行认真考虑，而只是盲目地简单互换.

四、考虑不周，导致漏解

在将方程变形时应注意范围的变化，这样才不会出错.

例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴

在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，32）到这个椭圆上点的最远距离是7，求这个椭圆的方程.

错解依题意可设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34， ∴b2a2=14，即a=2b.

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3

当y=-12时，d2有最大值，从而d也有最大值，∴4b2+3=（7）2.解得a2=4，b2=1.

于是，所求椭圆的方程为x24+y2=1.

剖析尽管上面的解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的，结果正确只是碰巧而已，当y=-12时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y的取值范围.事实上，由于点（x，y）在椭圆上，∴-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值时，应分类讨论如下：

若-12<-b<0，即0

当y=-b时，d2取最大值，此时的d是点P（0，32）与椭圆和y轴负半轴交点的距离，由d2=|32+b|=7，得b=-32±7，这与0

若-b≤-12，即b≥12时，当y=-12时，d2取最大值. ∴由4b2+3=7得b2=1，a2=4.于是，所求椭圆的方程为x24+y2=1.

综上两种情况，所求椭圆的方程为：x24+y2=1.

五、忽视隐含，引起增解

在解关于圆锥曲线的综合题或运用圆锥曲线性质时，要注意一些隐藏条件，避免出现增解.

例5 （人教A版（选修2-1）第62页B组第4题）已知双曲线x2-y22=1，过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且点A是线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

错解一假设存在直线l，设其方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）x2-y22=1整理得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由x1+x2=2k（k-1）k2-2得：k（k-1）k2-2=1，可得k=2.

故直线l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

错解二假设满足题设的直线l存在，并设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

则x21-y212=1x22-y222=1两式相减得：（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

∵x1+x22=1，y1+y22=1，∴kl=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2.

于是直线l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析以上两种解法出错的原因都在于忽视了隐含条件“直线l与双曲线有两个交点”，故应该还有限制条件： Δ=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0

得k<32，显然符合题设的直线l不存在.

追本溯源关于中点问题一般可以采用两种方法解决：（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；（2）利用“点差法”求出与中点、斜率有关的式子，进而求解.不管应用何种方法都必须注意判别式Δ的限制.因为对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出直线的斜率k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点.

跟踪练习

1.在△ABC中，BC=4，2sinC=sinA+2sinB，求顶点A的轨迹方程.

正解以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.

∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0），由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得：2|AB|=|BC|+2|AC|，即|AB|-|AC|=12|BC|=2<4，即点A到点B的距离与点A到点C的距离之差是常数2. 由双曲线定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支（除顶点），其

中2a=2，∴a=1，

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考重点考察内容.在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易混淆或用错，本文将一些常见的错误分类展示出来，期望能增强同学们防错的“免疫力”.

一、套用定义，产生错解

在历年高考试题中，圆锥曲线的概念是一个必考点.圆锥曲线的定义、焦点坐标等，这些是要牢记的知识点，不能混淆.

例1已知双曲线x216-y29=1上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到点（-5，0）的距离是.

错解设双曲线的两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5，0），由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=8，所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.故点P到点（-5，0）的距离为16.5或0.5.

剖析由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1，所以|PF1|=0.5不合题意.事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线的定义，分析出点P的存在情况，然后再求解.本题中，因左支上的点到右焦点的最短距离为9>8.5，故点P只能在右支上，故|PF1|=16.5.

二、 忽视范围，造成误解

在解关于圆锥曲线的综合题时，要考虑圆锥曲线本身的范围，而在进行纯代数运算时常常会忽略它.

例2已知实数x，y满足x24+y2=1，试求z=（x-1）2+y2的最值.

错解由x24+y2=1，得y2=1-x24，则有z=（x-1）2+y2=34（x-43）2+23≥23，

所以z的最小值为23，不存在最大值.

剖析圆锥曲线中的横纵坐标存在其本身固有的范围，求有关最值时若忽视了这一点，就会出现上述解法中的错误，事实上，本题中还应考虑到-2≤x≤2，于是可得z的最大值与最小值分别为9与23.

三、盲目互换，形成疵解

在求圆锥曲线方程时，要注意焦点在x轴还是y轴.

例3若双曲线的渐近线方程为y=±

12x，焦距为10，则此双曲线的方程为

.

错解若双曲线的焦点在x轴上，可设其标准方程为x2a2-y2b2=1，由a2+b2=（102）2及ba=12可解得a2=20，b2=5，所以此时双曲线方程为x220-y25=1；若双曲线的焦点在y轴上，由a2+b2=（102）2及ab=12可解得a2=5，b2=20，得双曲线的方程为：x25-y220=1.故所求双曲线方程为x220-y25=1或x25-y220=1.

剖析若双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程变为y=±abx（不是y=±bax），故应为ab=12，此时双曲线标准方程为y2a2-x2b2=1，结合a2+b2=（102）2可解得a2=5，b2=20，从而双曲线方程为y25-x220=1，故正确答案应为x220-y25=1或y25-x220=1.

其实这两解互为共轭双曲线方程.错解的原因就是不针对具体情况进行认真考虑，而只是盲目地简单互换.

四、考虑不周，导致漏解

在将方程变形时应注意范围的变化，这样才不会出错.

例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴

在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，32）到这个椭圆上点的最远距离是7，求这个椭圆的方程.

错解依题意可设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34， ∴b2a2=14，即a=2b.

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3

当y=-12时，d2有最大值，从而d也有最大值，∴4b2+3=（7）2.解得a2=4，b2=1.

于是，所求椭圆的方程为x24+y2=1.

剖析尽管上面的解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的，结果正确只是碰巧而已，当y=-12时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y的取值范围.事实上，由于点（x，y）在椭圆上，∴-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值时，应分类讨论如下：

若-12<-b<0，即0

当y=-b时，d2取最大值，此时的d是点P（0，32）与椭圆和y轴负半轴交点的距离，由d2=|32+b|=7，得b=-32±7，这与0

若-b≤-12，即b≥12时，当y=-12时，d2取最大值. ∴由4b2+3=7得b2=1，a2=4.于是，所求椭圆的方程为x24+y2=1.

综上两种情况，所求椭圆的方程为：x24+y2=1.

五、忽视隐含，引起增解

在解关于圆锥曲线的综合题或运用圆锥曲线性质时，要注意一些隐藏条件，避免出现增解.

例5 （人教A版（选修2-1）第62页B组第4题）已知双曲线x2-y22=1，过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且点A是线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

错解一假设存在直线l，设其方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）x2-y22=1整理得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由x1+x2=2k（k-1）k2-2得：k（k-1）k2-2=1，可得k=2.

故直线l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

错解二假设满足题设的直线l存在，并设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

则x21-y212=1x22-y222=1两式相减得：（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

∵x1+x22=1，y1+y22=1，∴kl=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2.

于是直线l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析以上两种解法出错的原因都在于忽视了隐含条件“直线l与双曲线有两个交点”，故应该还有限制条件： Δ=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0

得k<32，显然符合题设的直线l不存在.

追本溯源关于中点问题一般可以采用两种方法解决：（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；（2）利用“点差法”求出与中点、斜率有关的式子，进而求解.不管应用何种方法都必须注意判别式Δ的限制.因为对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出直线的斜率k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点.

跟踪练习

1.在△ABC中，BC=4，2sinC=sinA+2sinB，求顶点A的轨迹方程.

正解以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.

∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0），由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得：2|AB|=|BC|+2|AC|，即|AB|-|AC|=12|BC|=2<4，即点A到点B的距离与点A到点C的距离之差是常数2. 由双曲线定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支（除顶点），其

中2a=2，∴a=1，