正确理解适度拓展充分用好“牛顿第二定律”

施永华

牛顿第二定律是牛顿力学的科学核心.如何帮助高中学生正确理解牛顿第二定律，适度拓展牛顿第二定律的解题功能，从而应用牛顿第二定律更好地解决实际问题？笔者在教学实践中就此问题和学生一起进行了探讨、研究，使学生懂得了牛顿第二定律不仅可以解决单个质点运动问题，也可以解决质点系运动问题；不仅可以解决惯性系中运动问题，也可以解决非惯性系中运动问题；不仅可以解决简单问题，也是解决复杂问题的有力手段.

一、牛顿第二定律F=ma可以处理加速度不同的质点系问题.

一般情况下，F=ma的研究对象是单个质点或具有共同加速度的质点系，对于由多个加速度不同的质点组成的质点系，往往采用隔离研究每一个质点，然后再联立求解的方法.其实，牛顿第二定律的研究对象也可以是由多个加速度不同的质点组成的质点系，即所谓的质点系牛顿第二定律.质点系牛顿第二定律可表述为：质点系所受的合外力等于质点系内各质点的质量与加速度乘积的矢量和.设质点系中各质点的质量分别为m1、m2、…mi、…、mn，质点系以外物体对质点系的力有F1、F2、…Fi、…、Fn，这些力可能作用在质点系内不同的质点，质点系各质点的加速度分别为a1、a2、…ai、…、an，则有：ni=1Fi=ni=1miai分量形式

ni=1Fix=ni=1miaix

ni=1Fiy=ni=1miaiy

与质点牛顿第二定律一样，质点系牛顿第二定律也具有矢量性、瞬时性、独立性和相同的适用范围.

图1

例题1如图1所示，质量为m1的物块A沿质量为m3的光滑直角三角形斜面下滑，质量为m2的物体B上升，斜面与水平面成α角，若滑轮与绳的质量及一切摩擦均不计，求斜面作用于地面凸出部分的压力.

解法1用F=ma隔离研究各个物体，属于常规解法.

对A： m1gsinα-T=m1a

对B： T-m2g=m2a

联立两式得：加速度a=m1sinα-m2m1+m2g

绳子张力： T=m1m2gm1+m2（1+sinα）

对斜面，受力如图2：

Fx=N平+Tcosα-N1sinα=0

∴N平=m1gsinαcosα-Tcosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα

图2图3

解法2用ni=1Fi=ni=1miai对物体系进行研究.

A、B连接体的加速度求法同解法1（略）.

对A、B和斜面系统，其受力情况如图3所示：

由质点系牛顿第二定律有：

Fx=N平=m1acosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα.

通过例题1的求解过程可以看出，与采用隔离法（即分别对每一质点应用牛顿第二定律求解）不同的是，应用质点系牛顿第二定律解题时将使得质点系内质点间的相互作用力变成内力，因而可以减少不必求解的物理量的个数，导致所列方程数减少，使问题的解决变得简洁、明了，并能给人以一种赏心悦目的感觉.其实，质点系牛顿第二定律表达式是更完备的牛顿第二定律的表达形式，其中也包含了力的独立作用原理的重要思想，由于其在解决问题中的重要性，所以很多人把它叫做“牛顿第四定律”.

二、牛顿第二定律F=ma可以处理非惯性系中的问题.

牛顿第二定律只适用于惯性系，比如地面就是一个相当好的惯性系，太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地面有加速度的参考系，都可视为非惯性系.

在非惯性系中，为了使牛顿第二定律在形式上仍然成立，除了要考虑物体受到的真实力F以外，我们可以给每个物体加上一个惯性力F*=-ma0，其中a0是非惯性系相对地面惯性系的加速度，负号表示惯性力F*的方向与a0的方向相反，则在非惯性系中，牛顿第二定律可表示为F+F*=ma*，a*是物体在非惯性系中的加速度.如果物体相对匀速转动参考系（相对惯性系转动的参考系，不管是匀速转动还是变速转动，都是非惯性系）静止，则要加上惯性离心力F*=-mω2R.若质点相对于匀速转动的参考系运动，则质点可能还要受到另一种惯性力，即科里奥利力，简称科氏力，这里不做进一步的讨论.

图4

惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在，故惯性力不存在施力物体，因而也就没有反作用力.惯性力起源于物体惯性，是在非惯性系中物体惯性的体现.

非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容，但在解题时选择非惯性系作为参考系，只要注意引入惯性力可以使问题的理解和处理得到最大程度的简化.如要解释“为什么汽车刹车过程中乘客会往前倾？”现象，可以利用惯性知识解释，也可以在汽车这个非惯性系中研究，有向前的惯性力F*=-ma0（a0为汽车刹车时的加速度）作用在乘客身上，所以乘客会往前倾.又如：物体随如图4所示转台匀速转动，转台与物体间没有相对滑动.在地面惯性系中，物体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有f=mω2r；在转台非惯性系中，物体相对转台静止，引入惯性离心力F*=-mω2r，则有f+F*=0，物体受力平衡，所以转台与物体相对静止.

牛顿第二定律是牛顿力学的科学核心.如何帮助高中学生正确理解牛顿第二定律，适度拓展牛顿第二定律的解题功能，从而应用牛顿第二定律更好地解决实际问题？笔者在教学实践中就此问题和学生一起进行了探讨、研究，使学生懂得了牛顿第二定律不仅可以解决单个质点运动问题，也可以解决质点系运动问题；不仅可以解决惯性系中运动问题，也可以解决非惯性系中运动问题；不仅可以解决简单问题，也是解决复杂问题的有力手段.

一、牛顿第二定律F=ma可以处理加速度不同的质点系问题.

一般情况下，F=ma的研究对象是单个质点或具有共同加速度的质点系，对于由多个加速度不同的质点组成的质点系，往往采用隔离研究每一个质点，然后再联立求解的方法.其实，牛顿第二定律的研究对象也可以是由多个加速度不同的质点组成的质点系，即所谓的质点系牛顿第二定律.质点系牛顿第二定律可表述为：质点系所受的合外力等于质点系内各质点的质量与加速度乘积的矢量和.设质点系中各质点的质量分别为m1、m2、…mi、…、mn，质点系以外物体对质点系的力有F1、F2、…Fi、…、Fn，这些力可能作用在质点系内不同的质点，质点系各质点的加速度分别为a1、a2、…ai、…、an，则有：ni=1Fi=ni=1miai分量形式

ni=1Fix=ni=1miaix

ni=1Fiy=ni=1miaiy

与质点牛顿第二定律一样，质点系牛顿第二定律也具有矢量性、瞬时性、独立性和相同的适用范围.

图1

例题1如图1所示，质量为m1的物块A沿质量为m3的光滑直角三角形斜面下滑，质量为m2的物体B上升，斜面与水平面成α角，若滑轮与绳的质量及一切摩擦均不计，求斜面作用于地面凸出部分的压力.

解法1用F=ma隔离研究各个物体，属于常规解法.

对A： m1gsinα-T=m1a

对B： T-m2g=m2a

联立两式得：加速度a=m1sinα-m2m1+m2g

绳子张力： T=m1m2gm1+m2（1+sinα）

对斜面，受力如图2：

Fx=N平+Tcosα-N1sinα=0

∴N平=m1gsinαcosα-Tcosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα

图2图3

解法2用ni=1Fi=ni=1miai对物体系进行研究.

A、B连接体的加速度求法同解法1（略）.

对A、B和斜面系统，其受力情况如图3所示：

由质点系牛顿第二定律有：

Fx=N平=m1acosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα.

通过例题1的求解过程可以看出，与采用隔离法（即分别对每一质点应用牛顿第二定律求解）不同的是，应用质点系牛顿第二定律解题时将使得质点系内质点间的相互作用力变成内力，因而可以减少不必求解的物理量的个数，导致所列方程数减少，使问题的解决变得简洁、明了，并能给人以一种赏心悦目的感觉.其实，质点系牛顿第二定律表达式是更完备的牛顿第二定律的表达形式，其中也包含了力的独立作用原理的重要思想，由于其在解决问题中的重要性，所以很多人把它叫做“牛顿第四定律”.

二、牛顿第二定律F=ma可以处理非惯性系中的问题.

牛顿第二定律只适用于惯性系，比如地面就是一个相当好的惯性系，太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地面有加速度的参考系，都可视为非惯性系.

在非惯性系中，为了使牛顿第二定律在形式上仍然成立，除了要考虑物体受到的真实力F以外，我们可以给每个物体加上一个惯性力F*=-ma0，其中a0是非惯性系相对地面惯性系的加速度，负号表示惯性力F*的方向与a0的方向相反，则在非惯性系中，牛顿第二定律可表示为F+F*=ma*，a*是物体在非惯性系中的加速度.如果物体相对匀速转动参考系（相对惯性系转动的参考系，不管是匀速转动还是变速转动，都是非惯性系）静止，则要加上惯性离心力F*=-mω2R.若质点相对于匀速转动的参考系运动，则质点可能还要受到另一种惯性力，即科里奥利力，简称科氏力，这里不做进一步的讨论.

图4

惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在，故惯性力不存在施力物体，因而也就没有反作用力.惯性力起源于物体惯性，是在非惯性系中物体惯性的体现.

非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容，但在解题时选择非惯性系作为参考系，只要注意引入惯性力可以使问题的理解和处理得到最大程度的简化.如要解释“为什么汽车刹车过程中乘客会往前倾？”现象，可以利用惯性知识解释，也可以在汽车这个非惯性系中研究，有向前的惯性力F*=-ma0（a0为汽车刹车时的加速度）作用在乘客身上，所以乘客会往前倾.又如：物体随如图4所示转台匀速转动，转台与物体间没有相对滑动.在地面惯性系中，物体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有f=mω2r；在转台非惯性系中，物体相对转台静止，引入惯性离心力F*=-mω2r，则有f+F*=0，物体受力平衡，所以转台与物体相对静止.

牛顿第二定律是牛顿力学的科学核心.如何帮助高中学生正确理解牛顿第二定律，适度拓展牛顿第二定律的解题功能，从而应用牛顿第二定律更好地解决实际问题？笔者在教学实践中就此问题和学生一起进行了探讨、研究，使学生懂得了牛顿第二定律不仅可以解决单个质点运动问题，也可以解决质点系运动问题；不仅可以解决惯性系中运动问题，也可以解决非惯性系中运动问题；不仅可以解决简单问题，也是解决复杂问题的有力手段.

一、牛顿第二定律F=ma可以处理加速度不同的质点系问题.

一般情况下，F=ma的研究对象是单个质点或具有共同加速度的质点系，对于由多个加速度不同的质点组成的质点系，往往采用隔离研究每一个质点，然后再联立求解的方法.其实，牛顿第二定律的研究对象也可以是由多个加速度不同的质点组成的质点系，即所谓的质点系牛顿第二定律.质点系牛顿第二定律可表述为：质点系所受的合外力等于质点系内各质点的质量与加速度乘积的矢量和.设质点系中各质点的质量分别为m1、m2、…mi、…、mn，质点系以外物体对质点系的力有F1、F2、…Fi、…、Fn，这些力可能作用在质点系内不同的质点，质点系各质点的加速度分别为a1、a2、…ai、…、an，则有：ni=1Fi=ni=1miai分量形式

ni=1Fix=ni=1miaix

ni=1Fiy=ni=1miaiy

与质点牛顿第二定律一样，质点系牛顿第二定律也具有矢量性、瞬时性、独立性和相同的适用范围.

图1

例题1如图1所示，质量为m1的物块A沿质量为m3的光滑直角三角形斜面下滑，质量为m2的物体B上升，斜面与水平面成α角，若滑轮与绳的质量及一切摩擦均不计，求斜面作用于地面凸出部分的压力.

解法1用F=ma隔离研究各个物体，属于常规解法.

对A： m1gsinα-T=m1a

对B： T-m2g=m2a

联立两式得：加速度a=m1sinα-m2m1+m2g

绳子张力： T=m1m2gm1+m2（1+sinα）

对斜面，受力如图2：

Fx=N平+Tcosα-N1sinα=0

∴N平=m1gsinαcosα-Tcosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα

图2图3

解法2用ni=1Fi=ni=1miai对物体系进行研究.

A、B连接体的加速度求法同解法1（略）.

对A、B和斜面系统，其受力情况如图3所示：

由质点系牛顿第二定律有：

Fx=N平=m1acosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα.

通过例题1的求解过程可以看出，与采用隔离法（即分别对每一质点应用牛顿第二定律求解）不同的是，应用质点系牛顿第二定律解题时将使得质点系内质点间的相互作用力变成内力，因而可以减少不必求解的物理量的个数，导致所列方程数减少，使问题的解决变得简洁、明了，并能给人以一种赏心悦目的感觉.其实，质点系牛顿第二定律表达式是更完备的牛顿第二定律的表达形式，其中也包含了力的独立作用原理的重要思想，由于其在解决问题中的重要性，所以很多人把它叫做“牛顿第四定律”.

二、牛顿第二定律F=ma可以处理非惯性系中的问题.

牛顿第二定律只适用于惯性系，比如地面就是一个相当好的惯性系，太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地面有加速度的参考系，都可视为非惯性系.

在非惯性系中，为了使牛顿第二定律在形式上仍然成立，除了要考虑物体受到的真实力F以外，我们可以给每个物体加上一个惯性力F*=-ma0，其中a0是非惯性系相对地面惯性系的加速度，负号表示惯性力F*的方向与a0的方向相反，则在非惯性系中，牛顿第二定律可表示为F+F*=ma*，a*是物体在非惯性系中的加速度.如果物体相对匀速转动参考系（相对惯性系转动的参考系，不管是匀速转动还是变速转动，都是非惯性系）静止，则要加上惯性离心力F*=-mω2R.若质点相对于匀速转动的参考系运动，则质点可能还要受到另一种惯性力，即科里奥利力，简称科氏力，这里不做进一步的讨论.

图4

惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在，故惯性力不存在施力物体，因而也就没有反作用力.惯性力起源于物体惯性，是在非惯性系中物体惯性的体现.

非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容，但在解题时选择非惯性系作为参考系，只要注意引入惯性力可以使问题的理解和处理得到最大程度的简化.如要解释“为什么汽车刹车过程中乘客会往前倾？”现象，可以利用惯性知识解释，也可以在汽车这个非惯性系中研究，有向前的惯性力F*=-ma0（a0为汽车刹车时的加速度）作用在乘客身上，所以乘客会往前倾.又如：物体随如图4所示转台匀速转动，转台与物体间没有相对滑动.在地面惯性系中，物体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有f=mω2r；在转台非惯性系中，物体相对转台静止，引入惯性离心力F*=-mω2r，则有f+F*=0，物体受力平衡，所以转台与物体相对静止.