一题多解发散思维

聂文喜

对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，善于联系，可以得到多种不同的解法，从而训练思维的广阔性、灵活性和深刻性.

题（2014年高考辽宁卷理16）对于c>0，当非零数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为 .

分析先固定c，将|2a+b|取最大时的a、b用c表示，代入3a-4b+5c后将3a-4b+5c转化为c的函数，再利用函数思想求出3a-4b+5c的最小值.

思路一、产生和式2a+b

解法1（利用实数平方的非负性）： c=4a2-2ab+4b2=58（2a+b）2+38（2a-3b）2≥58（2a

到有X2+Y2=r2，问题转化为：在直角坐标系XOY下，圆弧M：X2+Y2=r2（0≤X，Y，r≤1）与直线l：X+Y=M-r有交点时求M的最大值.

解由圆心O到直线l的距离不大于圆的半径，得|M-r|2≤r即M≤（2+1）r≤2+1；当圆与直线相切时，得X=Y=22r，所以当r=1即x=1，y=12，z=0时，有Mmax=2+1.

五、函数值域问题

例5（2013年“希望杯”高二试题）函数f（x）=1x-1+2x-x2的值域是（ ）.

分析设x-1+2x-x2=d1+2x-x2=y，则问题转化为：在直角坐标系xoy下，求圆弧M：（x-1）2+y2=2（y≥0）与直线l：y=x-d（d≠0） 有公共点时截距d的倒数f（x）的范围. 图3

解如图3，当直线l经过圆弧M的端点A（1+2，0）时，d取得最大值1+2；当直线l与圆弧M相切于点C（0，1）时，d取得最小值-1；所以

有-1≤d≤1+2，从而f（x）的取值范围是（-∞，-1]∪[2-1，+∞）.

六、不等式问题

结构复杂的不等式，没有固定的解答模式，方法常常灵活多变.

例6 （第二届世界数学锦标赛）解不等式：2x-8

+24-2x-2≤2+π.

图4分析原不等式变形为2x-8+16-2x≤2+π，设2x-8=X，16-2x=Y（X≥0，Y≥0），则问题转化为：

在直角坐标系XOY下，求圆弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）

与区域X≥0，Y≥0X+Y≤2+π公共点的坐标范围.

解因圆心O到直线X+Y=2+π的距离|2+π|2>圆的半径22，所以圆弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）上的点均在区域内，只需各式有意义即可，所以有：8≤2x≤16，即x∈[3，4].

七、其它问题

例7（第19届“希望杯”高二试题）已知1-3b，2a，1+3b成等比数列，求8a+9b的取值范围.

分析依题设应有（2a）2+（3b）2=1（a≠0），设2a=u3b=v，8a+9b=t，则问题转化为：

在直角坐标系uov下，求圆u2+v2=1（u≠0）与直线4u+3v=t有交点时t的取值范围.

解由圆心到直线的距离不大于圆的半径得：

|t|42+32=|t|5≤1即-5≤t≤5.

（收稿日期：2014-02-12）

对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，善于联系，可以得到多种不同的解法，从而训练思维的广阔性、灵活性和深刻性.

题（2014年高考辽宁卷理16）对于c>0，当非零数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为 .

分析先固定c，将|2a+b|取最大时的a、b用c表示，代入3a-4b+5c后将3a-4b+5c转化为c的函数，再利用函数思想求出3a-4b+5c的最小值.

思路一、产生和式2a+b

解法1（利用实数平方的非负性）： c=4a2-2ab+4b2=58（2a+b）2+38（2a-3b）2≥58（2a

到有X2+Y2=r2，问题转化为：在直角坐标系XOY下，圆弧M：X2+Y2=r2（0≤X，Y，r≤1）与直线l：X+Y=M-r有交点时求M的最大值.

解由圆心O到直线l的距离不大于圆的半径，得|M-r|2≤r即M≤（2+1）r≤2+1；当圆与直线相切时，得X=Y=22r，所以当r=1即x=1，y=12，z=0时，有Mmax=2+1.

五、函数值域问题

例5（2013年“希望杯”高二试题）函数f（x）=1x-1+2x-x2的值域是（ ）.

分析设x-1+2x-x2=d1+2x-x2=y，则问题转化为：在直角坐标系xoy下，求圆弧M：（x-1）2+y2=2（y≥0）与直线l：y=x-d（d≠0） 有公共点时截距d的倒数f（x）的范围. 图3

解如图3，当直线l经过圆弧M的端点A（1+2，0）时，d取得最大值1+2；当直线l与圆弧M相切于点C（0，1）时，d取得最小值-1；所以

有-1≤d≤1+2，从而f（x）的取值范围是（-∞，-1]∪[2-1，+∞）.

六、不等式问题

结构复杂的不等式，没有固定的解答模式，方法常常灵活多变.

例6 （第二届世界数学锦标赛）解不等式：2x-8

+24-2x-2≤2+π.

图4分析原不等式变形为2x-8+16-2x≤2+π，设2x-8=X，16-2x=Y（X≥0，Y≥0），则问题转化为：

在直角坐标系XOY下，求圆弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）

与区域X≥0，Y≥0X+Y≤2+π公共点的坐标范围.

解因圆心O到直线X+Y=2+π的距离|2+π|2>圆的半径22，所以圆弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）上的点均在区域内，只需各式有意义即可，所以有：8≤2x≤16，即x∈[3，4].

七、其它问题

例7（第19届“希望杯”高二试题）已知1-3b，2a，1+3b成等比数列，求8a+9b的取值范围.

分析依题设应有（2a）2+（3b）2=1（a≠0），设2a=u3b=v，8a+9b=t，则问题转化为：

在直角坐标系uov下，求圆u2+v2=1（u≠0）与直线4u+3v=t有交点时t的取值范围.

解由圆心到直线的距离不大于圆的半径得：

|t|42+32=|t|5≤1即-5≤t≤5.

（收稿日期：2014-02-12）

对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，善于联系，可以得到多种不同的解法，从而训练思维的广阔性、灵活性和深刻性.

题（2014年高考辽宁卷理16）对于c>0，当非零数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为 .

分析先固定c，将|2a+b|取最大时的a、b用c表示，代入3a-4b+5c后将3a-4b+5c转化为c的函数，再利用函数思想求出3a-4b+5c的最小值.

思路一、产生和式2a+b

解法1（利用实数平方的非负性）： c=4a2-2ab+4b2=58（2a+b）2+38（2a-3b）2≥58（2a

到有X2+Y2=r2，问题转化为：在直角坐标系XOY下，圆弧M：X2+Y2=r2（0≤X，Y，r≤1）与直线l：X+Y=M-r有交点时求M的最大值.

解由圆心O到直线l的距离不大于圆的半径，得|M-r|2≤r即M≤（2+1）r≤2+1；当圆与直线相切时，得X=Y=22r，所以当r=1即x=1，y=12，z=0时，有Mmax=2+1.

五、函数值域问题

例5（2013年“希望杯”高二试题）函数f（x）=1x-1+2x-x2的值域是（ ）.

分析设x-1+2x-x2=d1+2x-x2=y，则问题转化为：在直角坐标系xoy下，求圆弧M：（x-1）2+y2=2（y≥0）与直线l：y=x-d（d≠0） 有公共点时截距d的倒数f（x）的范围. 图3

解如图3，当直线l经过圆弧M的端点A（1+2，0）时，d取得最大值1+2；当直线l与圆弧M相切于点C（0，1）时，d取得最小值-1；所以

有-1≤d≤1+2，从而f（x）的取值范围是（-∞，-1]∪[2-1，+∞）.

六、不等式问题

结构复杂的不等式，没有固定的解答模式，方法常常灵活多变.

例6 （第二届世界数学锦标赛）解不等式：2x-8

+24-2x-2≤2+π.

图4分析原不等式变形为2x-8+16-2x≤2+π，设2x-8=X，16-2x=Y（X≥0，Y≥0），则问题转化为：

在直角坐标系XOY下，求圆弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）

与区域X≥0，Y≥0X+Y≤2+π公共点的坐标范围.

解因圆心O到直线X+Y=2+π的距离|2+π|2>圆的半径22，所以圆弧X2+Y2=8（X≥0，Y≥0）上的点均在区域内，只需各式有意义即可，所以有：8≤2x≤16，即x∈[3，4].

七、其它问题

例7（第19届“希望杯”高二试题）已知1-3b，2a，1+3b成等比数列，求8a+9b的取值范围.

分析依题设应有（2a）2+（3b）2=1（a≠0），设2a=u3b=v，8a+9b=t，则问题转化为：

在直角坐标系uov下，求圆u2+v2=1（u≠0）与直线4u+3v=t有交点时t的取值范围.

解由圆心到直线的距离不大于圆的半径得：

|t|42+32=|t|5≤1即-5≤t≤5.

（收稿日期：2014-02-12）