小学生空间观念的培养

田丹妹　戴莹

《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）指出：要着重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。很显然，空间观念是小学数学教学中的重要组成部分，其目标在于使学生初步形成空间观念，感受符号和几何直观的作用，让学生能够了解生活中各种各样的物体都和数学息息相关，使他们能够主动参与到数学学习活动中，乐于学习数学。所谓的空间观念就是指学生能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。因此教师在课堂教学中，应以“图形与几何”知识为载体，遵循学生的认知发展规律，采用合理有效的教学方法，培养学生的空间想象能力。回归到实际教学中，教师可以从以下几点着手培养学生的空间观念。

一、注重生活经验是培养学生空间观念的基础

皮亚杰的认知理论告诉我们：小学阶段的学生，年龄大都处在7～12岁，思维处于由前运算阶段向具体运算阶段过渡，思维具有不可逆性并且尚未获得物体守恒的概念，反映到教学中学生并不是一无所知地来到学校，在进入学校时，他们已经接触了生活中大量的物体，例如：自己的玩具、游乐园中玩的各种项目，但他们对这些物体只是简单地知道名字和玩法，无法从中抽象出数学知识，头脑中对这些物体图形只是表象的认识，无法对它们进行归类，无法用数学的语言描述物体所蕴含的奥秘，而学生学习的空间知识又是来自他们生活中一些丰富的现实原型，因此，学生所积累的这些生活经验对于培养他们的空间观念是至关重要的，是基础性的。这是因为小学生的思维发展过程是由具体形象思维发展到半具象符号思维最后上升到抽象思维，因此需要为他们呈现大量原图，积累丰富的生活经验，没有足够的生活经验作为基础，发展学生的空间观念能力是难以实现的。因此，教师在培养学生空间观念中应该为学生呈现丰富的生活原型，加强生活实际和数学之间的联系。如：教师在讲授《三视图认识》一课中，教师把事先准备好的相同大小的正方体摆出的图形呈现给学生，引导学生从不同方位进行观察并试着画出主视图、左视图和俯视图，但光做到这一点学生是无法从立体图形中抽象出平面图形的，教师应帮助学生理解从具体形象思维到抽象思维的发展需要经历一个“压缩”的过程，教师应引导学生明白为什么画出的平面图形就是从摆放的立体图形中抽象出来的。这就需要具体做到：①呈现大量的摆放图形（用相同大小的正方体摆放而成）。让学生从不同角度进行观察，然后进行小组讨论和交流，使学生能够对不同角度看到的图形形成清晰的表象认识。②感受变化过程。从立体图形到平面图形的转化需要经过“压缩”的过程，这个“压缩”是学生自己通过对具体物体的动手操作以及结合多媒体的动态展示中探究出来的，这一过程使得学生能够在头脑中形成压缩流程图，从而明白立体图形经过在大小、长度、高低不变的情况下压缩，从而得到不同的平面图形。

学生通过对压缩得到的图形进行观察，发现从左边看到的图形和右边看到的图形一样，因此可以将他们归为一类，从而形成了主视图、左视图和俯视图。③再操作。在形成深刻的压缩流程图的基础上，再次进行动手操作，以验证这一方法是否也适用于其他的图形，这样一来，学生不仅能够正确的画出三视图，并且能够掌握从立体图形到平面图形是一个压缩的过程，学生能够形成深刻的印象，在以后的学习中不必再经历搭建和观察的过程，只需要在大脑中想象压缩流程图，然后画出三视图，既省时间，又能够使学生轻松掌握这一知识点，为以后高阶段学习立体几何知识打下坚实的基础。当然，这一压缩的过程对于学生从立体到平面的理解是有极大帮助的，但这一过程的运用要合适恰当，否则会在学生从三视图到立体图形还原时造成一定的阻碍。

二、注重实践操作是培养学生空间观念的保证

小学生的思维处在形象思维向抽象思维过渡的阶段，要想发展他们的空间观念，使他们从具体形象的事物中抽象出数学知识，必须经历“做数学”这个环节。做数学就是让学生自己亲自动手操作，通过自己涂一涂、剪一剪、量一量、拼一拼，积极主动地投入到数学学习中去，在动手操作的过程中，发现蕴含的数学知识，理解数学的本质。加德纳的多元智能理论告诉我们，智力的内涵是多元的，它由七种相对独立的智力成分构成，其中包括言语智力、空间智力、逻辑-数理智力等，每种智力都是一个独立的功能系统，这些系统可以相互作用，产生外显的智力行为。因此，学生通过在动手操作中学习数学知识，不仅发展了他们用数学语言描述物体特征的能力，提高了他们的空间想象力，他们的逻辑推理能力也能够得到加强。例如：教师在讲授五年级上册三角形面积公式一课时，①让学生先回忆学过的长方形的面积S=长×宽。②学生拿出准备好的长方形，沿着它的对角线剪开，这时会发现变成了两个完全一样的直角三角形。

到这里，学生只是建立了一个初步的三角形面积公式的计算方法，接着向学生出示两个完全一样大的等腰三角形，将其中的一个三角形沿高剪开，变成两个直角三角形，鼓励学生自己动手剪一剪、拼一拼，学生就能在自然而然中拼成一个长方形，并且会发现三角形的底就是长方形的长，三角形的高就是长方形的宽。长方形面积的大小等于两个等腰三角形面积的大小之和，即长方形面积=2个三角形面积之和。

在这个过程中，由于学生所理解到的都是特殊的三角形，在一定程度上能够说明问题，但不具有普遍性。从心理接受上来说，学生对三角形面积公式的推导还是持有怀疑的态度，这时可以向学生呈现不具有特殊性的三角形，让学生再去剪一剪、拼一拼，在这一过程中学生就会发现依然可以拼成长方形，并能够从中发现不是特殊三角形的面积依然等于长方形面积的一半，即S=长×宽÷2=[12]×底×高。

这种动手实践操作的方法，能够避免学生忘记除以2的情况。鼓励学生亲自动手操作，经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，深刻理解和掌握三角形面积公式的由来和本质，并且能够灵活运用于计算生活中存在的三角形物体的大小，真正做到从现实中提取出知识，再用知识去解决现实生活中的数学问题，学生能够切身感受到数学与现实生活是紧密联系的，数学来源于生活，又高于生活。

三、注重空间想象是培养学生空间观念的关键

小学生对知识的掌握程度是有限的，对于知识的掌握速度比较慢，需要经历一个循序渐进的过程。这就需要教师“以学生为中心”，给学生充分的时间去动手剪一剪、拼一拼、量一量，让学生自己在亲自做的过程中去想象，推理验证，因为数学学习的过程本身就是一个积极思辨的过程，学生在不断地尝试中一次次地推翻自己原有的思维定式，不断地向其注入新的知识，对头脑中正确的表象加以再认识，对错误的认知进行纠正，这一过程不仅是学生加深对知识理解的过程，更重要的是能够帮助学生理清自己的思路，将头脑中零散的知识点建构起来，形成属于自己的知识网。

四、注重数学思想是培养学生空间观念的内在需要

在教学过程中教师常常会产生这样的困惑，知识点的讲解学生都能听懂，但课后练习的结果却不理想。究其原因，主要是教师没能完全理解数学思想在教学中的影响，没能将数学思想恰到好处地渗透在自己的教学中。譬如：在讲解圆锥的体积公式时，学生能够明白圆柱的体积V=sh，形成了思维定式，当他们再学习圆锥的体积时无法一时直接转化过来，并且没能从内心真正理解圆柱和圆锥的区别到底有哪些？因此在这一知识讲授的过程中，教师要把学生会产生困惑和容易搞混的地方着重讲解，做到深入剖析。在讲解之前，教师要先帮助学生理清圆柱和圆锥的区别：①圆锥只有一个底面，圆柱有两个完全一样大的底面（上底面和下底面）；②圆锥只有一条高，圆柱有无数条高；③圆锥的侧面展开图是一个曲面，为扇形，圆柱的侧面展开图也为曲面，展开图是长方形（或正方形）

通过这一对比，学生清楚了解到圆柱和圆锥的不同之处，那自然而然学生就会知道圆锥的体积和圆柱的体积也是不同的。在这样的基础上再去讲解圆锥的体积，学生的思维会变得更加清晰。接下来，需要学生发挥动手操作的能力，引导学生在亲自实践中发现圆锥体积的计算公式是如何得出来的。在这一环节中，教师先引导学生回顾体积的概念，需要指出的就是能够让学生清楚地区分体积和容积的概念。体积是指一个物体占据空间的大小；容积是指容器容纳物体的大小，是容器（箱子、仓库、油桶等）的内部体积，当做到这一点学生依然是无法从本质上对体积和容积加以区别开来的，需要从体积和容积在特征方面的不同真正将两者区别开来。

这一对比，学生便会在原有认知的基础上，对体积和容积的认识更加明确，再通过让学生自己举例来说一说哪些物体可以求体积和容积，哪些物体只能求体积，学生在自己举例说明的过程中不仅能够理清自己的思路和认识，还能够强化对知识点的理解。

在学生分清体积和容积的基础上，再次请学生动手实践。将准备好的等底等高的圆柱和圆锥容器，往圆锥中注满水，并且倒入圆柱体中，学生通过不断地实验会发现，要想将圆柱中注满水，需要3次，在这一过程中学生便会理解圆柱的体积ν=3倍圆锥的体积。所以圆锥的体积ν=[13]圆柱的体积=[13]sh（s为圆锥的底面积，高为从圆锥的顶点到底面圆心的距离），使学生真正理解[13]是如何得出来的。通过第一步区分圆柱和圆锥，打破学生之前对圆柱体积的理解定式；第二步，区分体积和容积的概念，让学生暂时将圆锥的体积独立出来，不被其他的知识点干扰；第三步，建立圆柱的体积和圆锥体积之间的联系，让学生明白圆锥的体积等于[13]圆柱的体积。按这样的顺序进行下去，不仅帮助学生澄清了知识点中存在的困惑，而且也让学生深刻掌握了圆锥体积的计算方式，并且在列式计算中也不会出错，能够帮助学生在头脑中对圆柱和圆锥建立起联系。其实，在实际教学中像这样将数学基本思想贯穿于自己教学中是必不可少的，它的呈现方式有时是显性的，有时是隐性的，是学生空间观念形成的内在需要。通过数学基本思想的渗透，帮助学生从动手操作中抽象出数学公式，引导学生的思维经历从具体形象到抽象思维转化的过程，在动手操作、合作探究、推理验证中培养学生的空间观念。

五、注重逻辑推理能力有助于学生空间观念的形成

小学生对知识点的掌握是零散的，无系统的，而学生空间观念能力的发展依赖于一定的逻辑推理能力，只有当学生对几何形体的特征有了充分认识，理解了各种图形之间的相同点和不同点，能够对它们建立一定的联系时，它们的逻辑推理能力便得到了一定的发展。例如，当学生学习完平行四边形、梯形和三角形的面积公式时，能否帮助学生在这三者之间建立一定的关系呢？能否帮助学生将他们头脑中零散的知识点加以系统化整理呢？①教师可以先让学生将准备好的梯形、平行四边形、三角形拿出来，让学生运用割补法将梯形补成一个平行四边形，初步感知梯形转化为平行四边形的过程，思考梯形的上底和下底满足什么关系时，可以变成一个平行四边形；当梯形的上底和下底满足什么关系时，可以变成一个三角形，让学生在不断剪、拼中理解三种图形之间的转化和关系，帮助学生建立起知识之间的联系，使他们头脑中的知识更加系统化、明了化，形成一个知识网。

当学生能够对平行四边形、梯形、三角形之间存在的关系进行梳理时，他们就会得出三者之间是存在着密切联系的，而且能够用数学的语言描述出变化的过程。当梯形的上底b等于下底a时，梯形就变成了平行四边形；当梯形的上底b=0时，梯形就变成了三角形，利用知识点之间的关系，有利于帮助学生清晰地认识这些平面图形的变化过程、计算公式的推导转化过程、图形和公式之间的内在联系，有利于学生更好地理解公式和应用公式，进一步加深对这些图形计算方法的理解，从而增强空间观念。

数学教育作为促进学生全面发展的重要组成部分，既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更需要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用，这一作用的发挥必须从早从小做起。小学生的好奇心和求知欲很强烈，他们渴望去探索这个世界，因此教师在教学的过程中可以充分利用这一点，从学生的生活实际出发，向学生传授生活化的数学，培养他们从最具体形象的感知中提取数学知识，让学生亲身经历“想数学”“做数学”“探数学”“用数学”的过程，使知识为他们所用，让他们在愿意中学习数学，在快乐中学习数学，在推理中验证数学，在创新中运用数学。

【作者单位：渤海大学教育与体育学院 辽宁】