掌握性质，学会应用

陆峰

我们知道，在等差数列{an}中，有公差

那么am，an，am+n之间有什么关系呢？

性质1：在等差数列{an}中，

设S，为等差数列{an}的前n项和，则

可知數列{Sn/n}也是等差数列.

根据性质1有：

即

于是又有下面的性质：

性质2：在等差数列{an}中，设Sn为等差数列{an}的前n项和，则对于m，n∈N，m≠n，有

数学的基本原则是：求真、求简、求美，“对称”是数学美的核心.上述两个公式由于“对称”而显得简单优美，运用它们解题时也会给人耳目一新的感觉，本文撷取几例，供读者参考.

例1在等差数列{an}中，am=n，an=m（m，n∈N*，m≠n），则am+n=_____.

解析本题可以先利用等差数列的通项公式求出基本量a1和公差d，然后再求am+n.如果利用性质1会很简洁.

由性质1知，

则am+n-am=-n，

所以am+n=0.

变式1 在等差数列{an}中，S，是前n项和，Sm=n，S，=m（m，n∈N*，m≠n），则Sm+n=_____.

解析不少同学在遇到这道题目时往往感到棘手，字母较多，心生畏惧.注意到题目的特殊性，如果借助性质2本题可以迎刃而解.

由性质2知，

则Sm+n=-（m+n）.

例2等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，它的前3m项的和

为_____.

解析 由性质2知，

故S3m=210.

变式2等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前5m项

的和为_____.

解析 由例2得故S3m=210，则

故S3m=550.

以上几例可以看出，等差数列这两个优美的性质在解决相关问题时，能大大简化解题过程，减少运算量.

巩固练习

1.若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8-S3=20，则S11的值为_____.

2.等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm=Sn（m，n∈N*，m≠n），则Sm+n=_____.

参考答案

1.44. 2.0.