合理选择参数，简化运算

余建国

圆锥曲线因运动而精彩纷呈.在定性证明和求最值类问题中，选取什么参变量表示运动，通过代数运算得到定值或建立目标函数呢？这里不仅是计算问题，更是算法的优化问题.本文和同学们探讨如何选取参数，简化运算.请看下面问题：

例如图1，已知椭圆0：+y2=1，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M.

（1）记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值.

（2）求PB·PM的取值范围.

先解决问题（1）.

分析一根据“点P是直线l上的一个动点”，可以设P坐标为（m，-2），这样用m表示直线BM，BP的斜率，计算k1·k2为定值，即k1·k2的值与参数m无关.

证明一P坐标为（m，-2），则直线BP的斜率k2=-3/m.

直线PM，即PC的斜率为-1/m，方程为

分析二事实上，我们也可以将问题表述为“M是椭圆，上的一个动点（与B，C不重合），直线CM与l交于点P”.这样我们可以设点M（x0，y0），将它作为参数.

证明二设点M（x0，y0），则x02+4y02=4，即y02-1=-x02/4.

直线BM的斜率

直线PM，即PC的斜率为

分析三既然我们认为“主动点”为M，当然就可以选择直线BM的斜率为参数.

证明三直线BM的方程为y=k2x+1.

显然，我们也可以用直线PM，即PC的斜率kpc为参变量，一方面求点P的坐标，另一方面求点M的坐标，证明过程类似.

归纳总结在圆锥曲线定性证明中，不同的视角决定我们选取不同的参变量，通过代数运算，计算k1·k2的值，最终这个值中参变量被消去了，我们就实现了“定”的目的.比较而言，还是设点M的坐标的方法运算量较小，这里省去了联立直线与椭圆方程解交点的计算.同学们在平时的解题中是否有这种感觉呢？

事实，上，如果我们对椭圆的性质比较熟悉的话，先看出

而直线PB，PC的斜率也有关系

①②两式相乘，得k1·k2=-3/4.

基于上面的分析和求解，第（2）问解法就自然了，一是设点P（m，-2），二是设点M（x0，y0），三是以斜率为参变量.

解法一

解法二

以斜率为参变量的方法留给同学们自已去解决.

解析几何的思想就是用代数的方法研究几何问题.如何表示平面上点或线的运动变化？点的变化用坐标描述，线的变化用斜率（旋转）或截距（平移）表示.在复杂的运动过程中，我们往往从“主动”开始，依次描述“从动”，就能将运动变化的过程表达清楚，定性证明、求最值類问题迎刃而解.正如我们只有抓住舞动彩练的棒子，彩练才能随心而动，舞出绚丽的色彩！