例谈具体函数抽象化解题

雷亚庆

我们在解决抽象问题时往往把它具体化，便于理解，但是有些具体函数的问题被繁杂的表象掩盖了本质，或解法很明确，却面临繁琐的化简与运算.而这时我們反其道而行之，把具体函数抽象化，利用函数的基本性质来解决问题，往往会收到事半功倍的效果.

例1 定义在（-1，1）上的函数f（x）=-5x-sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）>0，则实数a的取值范围为_____.

分析 如果直接导入解析式则所得不等式为

-5（1-a）-sin（1-a）+[-5（1-a2）-sin（1-a2）]>0.

面对这样复杂的不等式，我们只能望洋兴叹，但如果我们改变思维习惯，利用函数的单调性（问题的本质所在）将其转化为抽象不等式求解，则会大大简化.

解 函数y=-5x在（-1，1）上是减函数，因为（-1，1）C[-π/2，π/2]，函数y=-sinx在（-1，1）上是减函数，所以f（x）=-5x-sinx在（-1，1）上是奇函数，且是减函数.

则f（1-a）+f（1-a2）>0可化为f（1-a）>-f（1-a2），即f（1-a）>f（a2-1），

解得1

所以实数a的取值范围为（1，√2）.

例2 已知函数f（x）为奇函数，且x>0时，f（x）=x，且Vx∈[t，t+2]，都有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范围.

分析本题可以转化为二次函数问题中的恒成立问题解决，但需要分类，解答会.很繁琐，如利用抽象函数的单调性解决则容易得多.

从而可以推出函数在R上为单调增函数，且对任意的x∈R，都有2f（x）=f（v2x），所以问题转化为：

巳知抽象函数f（x）在R上单调递增，且对任意的x∈[t，t+2]，都有f（x+t）≥f（√2x）恒成立，求t的取值范围.

由函数单调性得x+t≥v2x在[t，t十2]上恒成立，

即（√2-1）x≤t在[t，t+2]上恒成立.因为h（x）=（√2-1）x在[t，t+2]为增函数，

所以h（x）max=h（t+2）=（√2-1）（t+2），

所以有（V2-1）（t+2）≤t，

解得t≥/2.

例3设函数f（x）=-（x+1）2+sinx的最大值为M，最小值为m，则M+m=_____.

分析该组合函数的最值很难直接求出，如果我们把原函数分解为一个奇函数与常数的和后，利用奇函数的图象与性质则可顺利解决问题.

平时解题中我们更习惯利用具体函数来帮助理解抽象函数问题，而上述问题则反其道而行之，把具体问题抽象化，利用函数的基本性质来解决问题.通过这样的逆向思维，可以加深对函数性质的理解，完善知识结构，形成良好的思维习惯.

巩固练习

1.已知函数f（x）为奇函数，且x>0时，f（x）=x2，且Vx∈[-2，2]，都有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范围.

2.已知定义在（-1，1），上的函数f（x）=sinx+2x，且有f（1十a） +f（a）<0，求a的取值范围.

参考答案

1.[2√2-2，+∞）.

2.（-1，-1/2）.