算两次，显奇效

徐子茗

在高中一年的数学学习中，我印象最深刻的当属向量了，作为一-种沟通代数、几何和三角函数的利器，向量在处理很多问题时有着无与伦比的优越性.如三角形重心问题，我们知道三角形中三条中线交于一点称为重心，并且重心分中线形成的线段长度之比为2：1，如何证明这一-结论，用传统的方法证明大费周章，而用向量法则简单明了.

如图，E，F分别为边AC，AB的中点，G为△ABC的重心.

上述证明方法中，我们从两种路径分解向量AG，最后“殊途同归”（①式与②式相等），老师告诉我这种方法叫做“算两次”，即对同一事物从两个不同视角计算使之相等的方法.奇妙的是，上述方法可以拓展，如将F点换成三等分点，我们可以用同样的办法证得G分BE得到的线段之比為定值（与△ABC的形状无关），是不是感觉很奇妙？

而后的学习中，我们又多次与“算两次”不期而遇：

例1如图，巳知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM=xAB，AN=yAC，求

例2 两角差的余弦公式的推导证明.

例3 数列中的子数列问题.

通过上面的例子，想必同学们对“算两次”有了更深人的理解：对同一个数学问题，从两个不同的角度，运用两种不同的方式计算两次，借助“殊途同归”的等量关系，达到出奇制胜的效果.简单的说，我理解的“算两次”就是“一方面，另一方面，综合可得”.其实，我们对“算两次”思想并不陌生，早在小学时我们就自觉使用过，如做算术题时要保证正确率我们需要再算--次，但如果只是循规蹈矩完全重复算--遍是很难发现错误的，所以要尽可能采取不同的路径（如减法用加法检验，除法用乘法检验等）;又如初中计算如图3所示的正方形面积时，一方面看整体，面积为（a+b）2;另一方面，化整为零，四个矩形的面积和为a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，于是得到平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，是不是很直观？