一道填空题的探究之旅

时间：2024-05-10

闵骏祥

也许是对数学情有独钟，自从我进高中以来，我从未放弃过遇到的任何一道难题.通法解不了的，多观察，用特殊的方法解.代数方法解不了的，就用图象来辅助求解.多做尝试，多转换思路，多变动审题视角.哪怕实在解不出，我也会将其记录下来，在日后的学习过程中将其攻克.好的数学思维绝不是短时间形成的，只有通过长期的思考和积累才能锻炼出来.如果不是天才，那么我们只有思考得比别人多，花的时间比别人长，才可能拥有比别人好的数学成绩.

下面我就通过学习过程中遇到的一道难题，在探究解决的过程中发现了一个特别的方法，与同学们分享交流--下.

题目已知函数f（x）=|ax-1|（a>1）的图象为曲线C，0为坐标原点，若P为曲线C上的任意一点（点P不与原点0重合），曲线C上存在点Q使得OP⊥OQ，则实数a的取值集合是

★一、解题历程

分析一将y=ax（a>1）的图象向下平移1个单位长度得到y=ax-1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对称翻折到上方得到f（x）的图象，取点Q，点P，使OP⊥OQ，如图1.由垂直得到两直线的斜率乘积等于一1，用点的坐标表示出斜率。

探索一

先讨论下点P，Q关于y轴的位置：

①点P，Q在y轴的同侧：

则kop与ko同号，乘积取不到负1，所以不成立.

②点P，Q在y轴的异侧：

不妨先设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1<0

由于x≠0，所以无法确认函数的单调性.

于是我便去寻求帮助，先是借助了网络，看了下网，上的解题过程，发现网上直接由①g（x）在{x|x≠0}上单调递减，②g（x|）=1/g（x2），得出a=e，我并不理解也不认可这一步过程.用几何画板画出g（x）=x/ex-1的图象后发现，对于任意g（x1）（x1<0）都有一个g（x2）（x2>0）与之互为倒数，但仅凭这个函数图象并不能帮助我解决最初的难题.

看来我必须要回过头来，再好好想--想.

疑问：网上的答案a=e是正确解吗？如果正确，為什么会具有唯一性？这道题这么复杂，是不是可以简化呢？是不是有什么条件我没有利用到，没有看透呢？

分析二绝对值的存在使得函数的性质及其图象变得相当复杂，这一点很不利于我的分析思考，那如果将绝对值去掉可不可行呢？这样做又会有什么效果呢？虽然这种尝试有些盲目，但是化繁为简的数学思想是起到了一-定的引领作用的.我似乎抓住了什么，有了一点新的思路.赶紧试--试！

探索二之前的探索并非无功而返，P，Q-定是在y轴两侧取点，即P，Q在原点0的两侧.

不妨令P（x1，y1）在原点左侧，Q（x2，y2）在原点右侧，即x1<0

我们想一下，对于脱去了绝对值的函数y=a°-1而言，P的位置发生了变化，不妨记之为P，即将P（x1，y1）变为P（x1，-y1），如图3，此时kop'·koe=1，因为我们假设了P在原点左侧，如果P在右侧，则Q的位置相应地变化为Q'（x2，-y2），最后类似得到kOP·kOQ1=1.

既然跟斜率、跟原点都有关系，我又试着在原点处作切线l1，记l1的斜率为k，k=f'（0）=lna.此时我脑海中灵光一现，联想到a=e，使我想到了Ine=1.瞬间接上了，斜率乘积等于1.

此刻我的内心无比激动，很显然，之前的努力并没有白费.由斜率想到切线，打通了我的思路.

我们先简化下原题：

[等价题]巳知函数y=ax-1（a>1）的图象为曲线C，0为坐标原点，若P为曲线C上的任意一点（点P不与原点O重合），曲线C上存在点Q使得kOP·kOQ=1，则实数a的取值集合是_______.

我们根据两点P，Q的相对位置分两种情况思考：

（1）点P在原点左侧，点Q在原点右侧，连结OP，OQ，如图4.