探究指数函数型复合函数

李秀兰

指数函数与其他代数函数复合后形成复合函数，如y=a f（x）和y=f（ax）（a>0且a≠1），通过对这些复合函数性质的研究，弄清楚指数函数与其他代数函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数性质的区别与联系，下面我们不妨对指数型复合函数的图象与性质的应用进行举例说明.

一、与指数有关的复合函数图象

把指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象进行平移、对称，得到复合函数y=f（a x）（a>0且a≠1）.

例1 把函数y=f（x）的图象向左、向下分別平移2个单位长度，得到函数y=2 x的图象，求f（x）.

分析 本题可运用逆向思维，再利用函数图象的平移规律可得.

二、复合函数的性质

1.定义域、值域

点评 对于上述两个函数，要先确定出复合过程，同时先求出f（x）的值域，再确定出整个函数的值域.

2.单调性

点评 对于复合函数的单调性，首先要注意该函数的定义域，其次才考虑在其定义域内的单调性问题.

分析 平方展开后重新配方，则可以得到所求函数的形式，然后根据二次函数的知识来确定最值.

点评 这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值.

因此，研究指数函数复合函数问题，需要找出函数的复合过程，然后再确定其相关的性质.