找准“变”与“不变”，架起“平面”与“立体”

韩文美

立体几何的翻折问题是指将一平面图形翻折后变成空间图形，然后根据平面图形的数量关系、位置关系等的变化与否来研究空间图形中各元素间的数量关系、位置关系等问题.所以，解决翻折问题的关键是确定翻折前后的不变量与改变量.

一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键.

一、翻折中的判定问题

通过平面图形的翻折后变成空间图形，进而研究翻折后的空间图形中的点、线、面的位置关系，判定相关的点、线、面的平行或垂直关系，以及相应量的变化等.

点评 平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，据此可加以分析与判断.

二、翻折中的距离问题

通过平面图形的翻折后变成空间图形后的距离问题，往往涉及空间几何体的表面积与体积，以及空间距离等数量关系的证明与计算等.

例2 如图3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

三、翻折中的探究问题

结合平面图形的数量关系与位置关系研究翻折后的空间图形中的点、线、面的开放与创新探索问题，包括点、线的位置确定，存在性或探究性问题等.

例4 如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE翻折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图5.

（1）求证：DE∥平面AlCB；

（2）求证：A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.

分析 （1）由D，E分别为AC，AB的中点，通过线线平行的转化，易证DE∥平面AlCB；

（2）由题中线线垂直可证DE⊥平面A1 DC，进而有DE⊥A1F，结合线面垂直的判定可证A1F⊥平面BCDE，进而得到对应的线线垂直关系；

（3）分别取A1C，A1B的中点P，Q，可得PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，结合（2）中的线面垂直关系的转化，利用线线垂直关系来证明对应的线面垂直关系，进而得以解决存在性问题.

证明 （1）因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC，

义因为DE 平面AlCB，BC 平面A1CB，所以DE∥平面AlCB.

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC，

所以DE⊥A1D，DE⊥CD，

义A1D ∩ CD=D，所以DE⊥平面A1DC，

而A1F 平面A1DC，所以DE⊥A1F，

又因为A1F⊥CD，CD∩ DE=D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.

（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.

理由如下：如图6，分别取AlC，AiB的中点P，Q，则PQ∥BC，

又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP，

由（2）知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C，

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，

故线段A1B上存在点Q，使得AlC⊥平面DEQ.

点评 在解决翻折中的开放、创新或探究性问题时，一般通过先确定存在性、位置关系等开放性结论，再通过合理的推理与分析来说明.而正确的翻折处理、直观图的判定以及科学的推理论证都是必不可少的.

立體几何的翻折问题背景简单，立意深远，对考生的空间想象能力要求很高，可以有效改善同学们对立体几何的思维定势，构造空间立体几何结构直观图，使静态数学动态化，优化思维品质.