例谈椭圆中“点分弦所成比”问题的求解策略

王盈慧

圆锥曲线的弦被某一点分成两段，关于这两段长所成比发散出一类很典型、很重要的问题，我们以椭圆为例，介绍“點分弦所成比”问题常见题型及处理方法.

1.焦点分弦所成比问题，小题小做，利用统一定义构造直角三角形.

填空题中“焦点分弦所成比”问题，可以利用网锥曲线的统一定义，将焦点弦、焦点弦所在直线的倾斜角归集在以焦点弦为斜边的直角三角形中，解这个直角三角形即可.此法可以大大减少运算量.

2.解答题中非焦点的点分弦所成比问题，设而不求，“韦达定理”消参求解.

“点分弦所成比”问题中，当弦不是焦点弦时，圆锥曲线统一定义的转化不再适用.这类问题一般的解法就是联立消元法，也即：设出弦所在的直线方程，联立直线和圆锥曲线的方程，借助一元二次方程的根与系数的关系及参数法求解.

3.点分弦所成比的范围相关问题，利用函数与方程思想求解.

若弦的具体位置不确定，则“点分弦所成比”只能求解出相关范围.此类问题可以先建立比值λ和刻画弦所在直线倾斜程度的参数m之间的关系，再借助函数与方程思想求解.